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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題18 直角三角形問題
考點掃描☆聚焦中考
直角三角形問題近幾年各地中考主要以填空題或選擇題的形式考查,屬于中低檔題，較為簡單，少數以解答題形式考查，屬于中檔題，難度一般；考查的內容主要有：直角三角形的性質；勾股定理及其逆定理；銳角三角函數；特殊角的三角函數值；解直角三角形的應用；考查熱點主要有：直角三角形的性質；勾股定理及其逆定理；銳角三角函數；解直角三角形的實際生活應用。
考點剖析☆典型例題
例1 （2022 岳陽）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C＝40°，則∠1的度數是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【點撥】根據直角三角形的性質求出∠CED，再根據平行線的性質解答即可．
【解析】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，
則∠CED＝90°﹣40°＝50°，
∵l∥AB，
∴∠1＝∠CED＝50°，
故選：C．
【點睛】本題考查的是直角三角形的性質、平行線的性質，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關鍵．
例2（2021 廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，連接BD．若CD＝1，則AD的長為 　2　．
【答案】2．
【點撥】由線段垂直平分線的性質可得AD＝BD，利用含30°角的直角三角形的性質可求解BD的長，進而求解．
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∵CD＝1，
∴BD＝2CD＝2，
∴AD＝2．
故答案為2．
【點睛】本題主要考查線段的垂直平分線，含30° 角的直角三角形的性質，求得AD＝BD是解題的關鍵．
例3（2023 荊州）如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點．若AC＝8，CD＝5，則DE＝　3　．
【答案】3
【點撥】根據直角三角形斜邊上的中線的性質得到AB＝2CD＝10，根據勾股定理得到BC＝＝6，根據三角形中位線定理即可得到結論．
【解析】解：∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，
∴BC＝＝6，
∵E為AC的中點，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE＝BC＝3，
故答案為：3．
【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，三角形中位線定理，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．
例4（2023 湖北）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點D在邊AC上，且BD平分△ABC的周長，則BD的長是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】根據勾股定理得到AC＝＝5，求得△ABC的周長＝3+4+5＝12，得到AD＝3，CD＝2，過D作DE⊥BC于E，根據相似三角形的性質得到DE＝，CE＝，根據勾股定理即可得到結論．
【解析】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∴△ABC的周長＝3+4+5＝12，
∵BD平分△ABC的周長，
∴AB+AD＝BC+CD＝6，
∴AD＝3，CD＝2，
過D作DE⊥BC于E，
∴AB∥DE，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE＝，CE＝，
∴BE＝，
∴BD＝＝＝，
故選：C．
【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
例5（2023 武漢）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數為2cm，若按相同的方式將37°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數是 　2.7　cm（結果精確到0.1cm，參考數據sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【答案】2.7．
【點撥】過點B作BD⊥OA于D，過點C作CE⊥OA于E，根據等腰直角三角形的性質可得CE＝2，再通過解直角三角形可求得OE的長，進而可求解．
【解析】解：如圖，過點B作BD⊥OA于D，過點C作CE⊥OA于E，
在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，
∴CE＝BD＝2cm，
在△OCE中，∠COE＝37°，∠CEO＝90°，
∴tan37°＝，
∴OE＝2.7cm，
即OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數是2.7cm．
故答案為：2.7．
【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用，構造直角三角形是解題的關鍵．
考點過關☆專項突破
類型一 直角三角形的性質
1．（2022 賀州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，則∠A的度數為（　　）
A．34° B．44° C．124° D．134°
【答案】A
【點撥】根據直角三角形的兩銳角互余計算即可．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
則∠B+∠A＝90°，
∵∠B＝56°，
∴∠A＝90°﹣56°＝34°，
故選：A．
【點睛】本題考查的是直角三角形的性質，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關鍵．
2．（2022 紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【點撥】根據平行線的性質，可以得到∠CBF的度數，再根據∠ABC＝90°，可以得到∠1的度數．
【解析】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，
∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故選：C．
【點睛】本題考查直角三角形的性質、平行線的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用平行線的性質解答．
3．（2021 福建）如圖，某研究性學習小組為測量學校A與河對岸工廠B之間的距離，在學校附近選一點C，利用測量儀器測得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．據此，可求得學校與工廠之間的距離AB等于（　　）
A．2km B．3km C．km D．4km
【答案】D
【點撥】直接利用直角三角形的性質得出∠B度數，進而利用直角三角形中30°所對直角邊是斜邊的一半，即可得出答案．
【解析】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4（km）．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了直角三角形的性質，正確掌握邊角關系是解題關鍵．
4．（2023 衢州）如圖是脊柱側彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（　　）
A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO
【答案】B
【點撥】根據直角三角形的性質可知：∠O與∠ADO互余，∠DEB與∠ADO互余，根據同角的余角相等可得結論．
【解析】解：由示意圖可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，
∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，
∴∠DEB＝∠O，
故選：B．
【點睛】本題考查直角三角形的性質的應用，掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題的關鍵．
5．（2023 攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝　10°　．
【答案】10°．
【點撥】由∠C＝90°，∠A＝40°，求得∠ABC＝50°，根據線段的垂直平分線、等邊對等角和直角三角形的兩銳角互余求得．
【解析】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，
故答案為：10°．
【點睛】此題考查了直角三角形的性質、線段垂直平分線性質，熟記直角三角形的性質、線段垂直平分線性質是解題的關鍵．
6．（2020 綿陽）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點M是四邊形ABCD內的一個動點，滿足∠AMD＝90°，則點M到直線BC的距離的最小值為 　3﹣2　．
【答案】3﹣2
【點撥】取AD的中點O，連接OM，過點M作ME⊥BC交BC的延長線于E，過點O作OF⊥BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解決問題．
【解析】解：取AD的中點O，連接OM，過點M作ME⊥BC交BC的延長線于E，過點O作OF⊥BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF．
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，
∴OM＝AD＝2，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGF＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，
∴CG＝2，
∴OG＝2OD cos30°＝2，GF＝，OF＝3，
∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，
∴當O，M，E共線時，ME的值最小，最小值為3﹣2．
【點睛】本題考查解直角三角形，垂線段最短，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．
類型二 含30度角的直角三角形
1．（2023 貴州）5月26日，“2023中國國際大數據產業博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是（　　）
A．4m B．6m C．10m D．12m
【答案】B
【點撥】作AD⊥BC于點 D，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可得∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，再根據含30度角的直角三角形的性質即可得出答案．
【解析】解：如圖，作AD⊥BC于點D，
在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，
又∵AD⊥BC，
∴AD＝AB＝12＝6（m），
故選：B．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質，三角形內角和定理，含30度角的直角三角形的性質等，解題關鍵是掌握30度角所對的直角邊是斜邊的一半．
2．（2023 揚州）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是銳角三角形，則滿足條件的BC長可以是（　　）
A．1 B．2 C．6 D．8
【答案】C
【點撥】作△ABC的高AD、CE．根據銳角三角形的三條高均在三角形的內部得出BC＞BD，AB＞BE．解直角三角形求出2＜BC＜8，即可求解．
【解析】解：如圖，作△ABC的高AD、CE．
∵△ABC是銳角三角形，
∴AD、CE在△ABC的內部，即BC＞BD，AB＞BE．
∵在直角△ABD中，∠B＝60°，AB＝4，
∴BD＝AB cosB＝4×＝2，
∴BC＞2；
又∵BC＝＜＝＝8，
∴2＜BC＜8，
∴綜觀各選項，BC可以為6．
故選：C．
【點睛】本題考查了解直角三角形，三角形的高，三角形的三邊關系，得出BC的范圍是解題的關鍵．
3．（2021 陜西）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC邊上的兩個動點，以EF為邊的等邊△EFP的頂點P在△ABC內部或邊上，則等邊△EFP的周長的最大值為 　6　．
【答案】6．
【點撥】當點F與C重合時，△EFP的邊長最長，周長也最長，根據30°角所對的直角邊是斜邊的一半可得AC＝4，AP＝2，再由勾股定理可得答案．
【解析】解：如圖，
當點F與C重合時，△EFP的邊長最長，周長也最長，
∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，
∴∠PCA＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠APC＝90°，
△ABC中，AC＝AB＝4，
△ACP中，AP＝AC＝2，
∴PC＝＝＝2，
∴周長為2×3＝6．
故答案為：6．
【點睛】本題考查含30°角的直角三角形的性質，運用勾股定理是解題關鍵．
4．（2021 樂山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一個銳角為60°，AB＝4．若點P在直線AB上（不與點A，B重合），且∠PCB＝30°，則CP的長為 　2或或2　．
【答案】2或或2．
【點撥】分∠ABC＝60、∠ABC＝30°兩種情況，利用數形結合的方法，分別求解即可．
【解析】解：（1）當∠ABC＝60°時，則BC＝AB＝2，
當點P在線段AB上時，
∵∠PCB＝30°，
∴CP⊥AB，
則PC＝BCcos30°＝2×＝；
當點P（P′）在AB的延長線上時，
∵∠P′CB＝30°，∠ABC＝60°，
∴P'C＝2PC＝2．
（2）當∠ABC＝30°時，如圖，
∵∠PCB＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴△PAC為等邊三角形．
∴PC＝AC，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝2．
∴PC＝2．
綜上，PC的長為：2或或2．
故答案為2或或2．
【點睛】本題是解直角三角形綜合題，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形等，分類求解是本題解題的關鍵．
5．（2022 十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點E，F分別在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，則EF＝BE+DF．
【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分別有景點M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之間修一條直路，則路線M→N的長比路線M→A→N的長少 　370　m（結果取整數，參考數據：≈1.7）．
【答案】370．
【點撥】構建【閱讀材料】的圖形，根據結論可得MN的長，從而得結論．
【解析】解：
解法二：如圖，延長DC，AB交于點G，連接CN，CM，則∠G＝90°，
∵CD＝DM，∠D＝60°，
∴△DCM是等邊三角形，
∴∠DCM＝60°，
由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，
∴△CGN是等腰直角三角形，
∴∠GCN＝45°，
∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，
∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，
由【閱讀材料】的結論得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，
∵AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．
答：路線M→N的長比路線M→A→N的長少370m．
故答案為：370．
【點睛】此題重點考查了含30°的直角三角形的性質，勾股定理，二次根式的混合運算等知識與方法，解題的關鍵是作出所需要的輔助線，構造含30°的直角三角形，再利用線段的和與差進行計算即可．
6．（2021 杭州）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點D，AE⊥BC于點E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．
（1）求證：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面積．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【點撥】（1）計算出∠ADB和∠BAC，利用等角對等邊即可證明；
（2）利用銳角三角函數求出BC即可計算△ABC的面積．
【解析】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵∠C＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，
∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴AB＝BD；
（2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，
∴BE＝＝，
在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，
∴EC＝＝3，
∴BC＝3+，
∴S△ABC＝BC×AE＝．
【點睛】本題考查等腰三角形的判定以及利用銳角三角函數求值，解題的關鍵是求出∠ADB和∠BAC的度數．
類型三 直角三角形斜邊上的中線
1．（2021 新疆）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于點D，E是AB的中點，則DE的長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【點撥】利用三角形的內角和定理可得∠B＝60°，由直角三角形斜邊的中線性質定理可得CE＝BE＝2,利用等邊三角形的性質可得結果．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°,
∵E是AB的中點,AB＝4，
∴CE＝BE＝,
∴△BCE為等邊三角形，
∵CD⊥AB,
∴DE＝BD＝,
故選：A．
【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質，熟練掌握定理是解答此題的關鍵．
2．（2023 株洲）一技術人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應的刻度為1、7，則CD＝（　　）
A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
【答案】B
【點撥】根據圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計算出CD的長．
【解析】解：由圖可得，
∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點D為線段AB的中點，
∴CD＝AB＝3cm，
故選：B．
【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
3．（2023 赤峰）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．點F是AB中點，連接CF，把線段CF沿射線BC方向平移到DE，點D在AC上．則線段CF在平移過程中掃過區域形成的四邊形CFDE的周長和面積分別是（　　）
A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16
【答案】C
【點撥】先論證四邊形CFDE是平行四邊形，再分別求出CF，CD，DF，繼而用平行四邊形的周長公式和面積公式求出即可．
【解析】解：由平移的性質可知DF∥CE，DF＝CE，
∴四邊形CFDE是平行四邊形，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝＝8，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，點F是AB的中點，
∴CF＝AB＝5，
∵DF∥CE，點F是AB的中點，
∴＝＝，∠CDF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴點D是AC的中點，
∴CD＝AC＝4，
∵點F是AB的中點，點D是AC的中點，
∴DF是Rt△ABC的中位線，
∴DF＝BC＝3，
∴四邊形CFDE的周長為2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，
四邊形CFDE的面積為DF CD＝3×4＝12．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了平移的性質，平行四邊形的判定和性質，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理等知識，推到四邊形FDE是平行四邊形和DF是Rt△ABC的中位線是解決問題的關鍵．
4．（2022 永州）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，點D為邊AC的中點，BD＝2，則BC的長為（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】C
【點撥】根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得到結論．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D為邊AC的中點，BD＝2，
∴AC＝2BD＝4，
∵∠C＝60°，
∴∠A＝30°，
∴BC＝AC＝2，
故選：C．
【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線，含30°角的直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．
5．（2022 大連）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．分別以點A和點C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN．直線MN與AB相交于點D，連接CD，若AB＝3，則CD的長是（　　）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
【答案】C
【點撥】根據題意可知：MN是線段AC的垂直平分線，然后根據三角形相似可以得到點D為AB的中點，再根據直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關系，即可得到CD的長．
【解析】解：由已知可得，
MN是線段AC的垂直平分線，
設AC與MN的交點為E，
∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，
∴ED∥CB，
∴△AED∽△ACB，
∴，
∴，
∴AD＝AB，
∴點D為AB的中點，
∵AB＝3，∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝1.5，
故選：C．
【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線、線段垂直平分線的性質、相似三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
6．（2023 郴州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點M是AB的中點，求CM＝　5　．
【答案】5．
【點撥】由勾股定理可求解AB的長，再利用直角三角形斜邊上的中線可求解．
【解析】解：連接CM，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵點M是AB的中點，
∴CM＝AB＝5．
故答案為：5．
【點睛】本題主要考查由勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，求解AB的長是解題的關鍵．
22．（2022 荊州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通過尺規作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連接CD．若CE＝AE＝1，則CD＝　　．
【答案】．
【點撥】如圖，連接BE，根據作圖可知MN為AB的垂直平分線，從而得到AE＝BE＝3，然后利用勾股定理求出BC，AB，最后利用斜邊上的中線的性質即可求解．
【解析】解：如圖，連接BE，
∵CE＝AE＝1，
∴AE＝3，AC＝4，
而根據作圖可知MN為AB的垂直平分線，
∴AE＝BE＝3，
在Rt△ECB中，BC＝＝2，
∴AB＝＝2，
∵CD為直角三角形ABC斜邊上的中線，
∴CD＝AB＝．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了直角三角形的斜邊上的中線的性質，同時也利用勾股定理進行計算．
7．（2022 杭州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點M為邊AB的中點，點E在線段AM上，EF⊥AC于點F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求證：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求線段FC的長．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【點撥】（1）根據直角三角形的性質可得MC＝MA＝MB，根據外角的性質可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根據等角對等邊即可得證；
（2）根據CE＝CM先求出CE的長，再解直角三角形即可求出FC的長．
【解析】（1）證明：∵∠ACB＝90°，點M為邊AB的中點，
∴MC＝MA＝MB，
∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，
∵∠A＝50°，
∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，
∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，
∵∠ACE＝30°，
∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，
∴∠MEC＝∠EMC，
∴CE＝CM；
（2）解：∵AB＝4，
∴CE＝CM＝AB＝2，
∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，
∴FC＝CE cos30°＝．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質，涉及三角形外角的性質，解直角三角形等，熟練掌握并靈活運用直角三角形的性質是解題的關鍵．
類型四 勾股定理及其逆定理
1．（2019 濱州）滿足下列條件時，△ABC不是直角三角形的為（　　）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．|cosA﹣|+（tanB﹣）2＝0
【答案】C
【點撥】依據勾股定理的逆定理，三角形內角和定理以及直角三角形的性質，即可得到結論．
【解析】解：A、∵，∴△ABC是直角三角形，錯誤；
B、∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝25x2＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，錯誤；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，∴△ABC不是直角三角形，正確；
D、∵|cosA﹣|+（tanB﹣）2＝0，∴，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，錯誤；
故選：C．
【點睛】本題考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解題的關鍵．
2．（2023 德陽）如圖，在△ABC中，∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，BD＝DE＝EC，點F是AB邊的中點，則DF＝（　　）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【點撥】先在直角△CAD中利用勾股定理求出DC＝5，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AE＝，最后利用三角形的中位線定理求出DF＝AE＝．
【解析】解：∵∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，
∴DC＝＝＝5，
∵DE＝EC，DE+EC＝DC＝5，
∴DE＝EC＝AE＝，
∵BD＝DE，點F是AB邊的中點，
∴DF＝AE＝．
故選：A．
【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質，三角形的中位線定理，準確識圖并且熟記相關定理與性質是解題的關鍵．
3．（2023 寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點，則AB的長是（　　）
A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．2
【答案】B
【點撥】根據等腰直角三角形的性質和勾股定理即可得到結論．
【解析】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴∠CAD＝45°＝∠ACD，
∴AD＝CD＝2cm，
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴BC＝2CD＝4cm，
∴BD＝＝＝2（cm），
∴AB＝BD﹣AD＝（2﹣2）（cm）．
故選：B．
【點睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
4．（2023 南京）我國南宋數學家秦九韶的著作《數書九章》中有一道問題：“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何？”問題大意：如圖，在△ABC中，AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，則△ABC的面積是（　　）
A．80平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里
【答案】C
【點撥】過點A作AD⊥BC，利用勾股定理求出AD的長，再利用三角形的面積公式求出△ABC的面積即可．
【解析】解：如圖，過點A作AD⊥BC于D，
設BD＝x里，則CD＝（14﹣x）里，
在Rt△ABD中，AD2+x2＝132，
在Rt△ADC中，AD2＝152﹣（14﹣x）2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，
解得x＝5，
在Rt△ABD中，AD＝＝12（里），
∴△ABC的面積＝BC AD＝×14×12＝84（平方里），
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形面積，勾股定理，解決本題的關鍵在于利用兩個直角三角形的公共邊找到突破點．主要利用了勾股定理進行解答．
5．（2023 濟寧）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點上，線段AB，CD交于點F，若∠CFB＝α，則∠ABE等于（　　）
A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α
【答案】C
【點撥】過B點作BG∥CD，連接EG，根據平行線的性質得出∠ABG＝∠CFB＝α．根據勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根據勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，進而求出∠ABE的度數．
【解析】解：如圖，過B點作BG∥CD，連接EG，
∵BG∥CD，
∴∠ABG＝∠CFB＝α．
∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，
∴BG2+BE2＝EG2，
∴△BEG是直角三角形，
∴∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．
故選：C．
【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，平行線的性質，準確作出輔助線是解題的關鍵．
6．（2023 日照）已知直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，分別以a，b，c為邊作三個正方形，把兩個較小的正方形放置在最大正方形內，如圖，設三個正方形無重疊部分的面積為S1，均重疊部分的面積為S2，則（　　）
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1，S2大小無法確定
【答案】C
【點撥】由直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，根據垂線段最短可知該直角三角形的斜邊為c，則c2＝a2+b2，所以c2﹣a2﹣b2＝0，則S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，而S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，所以S1＝S2，于是得到問題的答案．
【解析】解：∵直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，
∴該直角三角形的斜邊為c，
∴c2＝a2+b2，
∴c2﹣a2﹣b2＝0，
∴S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，
∵S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，
∴S1＝S2，
故選：C．
【點睛】此題重點考查勾股定理、正方形的面積公式、根據轉化思想解決面積問題等知識與方法，確定三邊為a，b，c的直角三角形的斜邊為c是解題的關鍵．
7．（2023 樂山）我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則sinθ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【點撥】根據題意和題目中的數據，可以求出斜邊各邊的長，然后即可計算出sinθ的值．
【解析】解：設大正方形的邊長為c，直角三角形的短直角邊為a，長直角邊為b，
由題意可得：c2＝25，b﹣a＝＝1，a2+b2＝c2，
解得a＝3，b＝4，c＝5，
∴sinθ＝＝，
故選：A．
【點睛】本題考查勾股定理的證明、解直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，求出各邊的長．
8．（2023 湖北）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設圖中AF＝a，DF＝b，連接AE，BE，若△ADE與△BEH的面積相等，則＝　3　．
【答案】3．
【點撥】根據題意得出a2＝b2﹣ab，即，解方程得到＝（負值舍去）代入進行計算即可得到結論．
【解析】解：方法一：∵圖中AF＝a，DF＝b，
∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF﹣DE＝b﹣a，
∵△ADE與△BEH的面積相等，
∴，
∴a2＝（b﹣a）b，
∴a2＝b2﹣ab，
∴1＝（）2﹣，
∴，
解得＝（負值舍去），
∴；
方法二：∵a2＝b2﹣ab，
∴b2﹣a2＝ab，
∴（b2﹣a2）2＝a2b2，
∴b4+a4＝3a2b2，
∴＝3，
故答案為：3．
【點睛】本題考查了勾股定理的證明，一元二次方程的解法，根據題意得出關于的方程是解題的關鍵．
9．（2023 恩施州）《九章算術》被稱為人類科學史上應用數學的“算經之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少（如圖）？答：門高、寬和對角線的長分別是 　8，6，10　尺．
【答案】8，6，10．
【點撥】根據題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構成直角三角形，運用勾股定理可求出門高、寬、對角線長．
【解析】解：設門對角線的長為x尺，則門高為（x﹣2）尺，門寬為（x﹣4）尺，
根據勾股定理可得：
x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，
解得：x1＝2（不合題意舍去），x2＝10，
10﹣2＝8（尺），
10﹣4＝6（尺）．
答：門高8尺，門寬6尺，對角線長10尺．
故答案為：8，6，10．
【點睛】本題考查勾股定理的應用，正確運用勾股定理，將數學思想運用到實際問題中是解答本題的關鍵，難度一般．
10．（2020 山西）閱讀與思考
如圖是小宇同學的數學日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務．
×年×月×日星期日沒有直角尺也能作出直角今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖③所示的四邊形木板，他已經在木板上畫出一條裁割線AB，現根據木板的情況，要過AB上的一點C，作出AB的垂線，用鋸子進行裁割，然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？辦法一：如圖①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分別以D，C為圓心，以50cm與40cm為半徑畫圓弧，兩弧相交于點E，作直線CE，則∠DCE必為90°．辦法二：如圖②，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點出M，N兩點，然后把木棒斜放在木板上，使點M與點C重合，用鉛筆在木板上將點N對應的位置標記為點Q，保持點N不動，將木棒繞點N旋轉，使點M落在AB上，在木板上將點M對應的位置標記為點R．然后將RQ延長，在延長線上截取線段QS＝MN，得到點S，作直線SC，則∠RCS＝90°．我有如下思考：以上兩種辦法依據的是什么數學原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線呢？……
任務：
（1）填空：“辦法一”依據的一個數學定理是 　勾股定理的逆定理　；
（2）根據“辦法二”的操作過程，證明∠RCS＝90°；
（3）①尺規作圖：請在圖③的木板上，過點C作出AB的垂線（在木板上保留作圖痕跡，不寫作法）；
②說明你的作法所依據的數學定理或基本事實（寫出一個即可）．
【點撥】（1）根據勾股定理的逆定理即可得到結論；
（2）根據直角三角形的性質即可得到結論；
（3）根據線段垂直平分線的性質即可得到結論．
【解析】解：（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40，
∴CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，
∴∠DCE＝90°，
故“辦法一”依據的一個數學定理是勾股定理的逆定理；
故答案為：勾股定理的逆定理；
（2）由作圖方法可知，QR＝QC，QS＝QC，
∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，
∵∠SRC+∠QCS+∠QCR+∠QSC＝180°，
∴2（∠QCR+∠QCS）＝180°，
∴∠QCR+∠QCS＝90°，
即∠RCS＝90°；
（3）①如圖③所示，直線PC即為所求；
②答案不唯一，到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．
【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，線段垂直平分線的性質，正確的理解題意是解題的關鍵．
類型五 解直角三角形
1．（2023 攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，則cos∠A的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】先利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，再利用三角形的邊角間關系得結論．
【解析】解：在△ABC中，
∵a＝6，b＝8，c＝10，a2+b2＝62+82＝36+64＝100，c2＝100．
∴a2+b2＝c2．
∴△ABC是直角三角形．
∴cosA＝＝＝．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系、勾股定理及逆定理是解決本題的關鍵．
2．（2021 云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，則AB的長是（　　）
A． B． C．60 D．80
【答案】D
【點撥】利用三角函數定義計算出BC的長，然后再利用勾股定理計算出AB長即可．
【解析】解：在直角三角ABC中，
∵AC＝100，sinA＝，
∴BC＝60，
∴AB＝＝80，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了銳角三角函數的定義，關鍵是掌握正弦定義．
3．（2023 深圳）爬坡時坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（　　）（參考數據：≈1.732，≈1.414）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
【答案】B
【點撥】根據題意可得：他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°），進行計算即可解答．
【解析】解：由題意得：
某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°）＝1000×（1.025﹣）≈159（J），
故選：B．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
4．（2023 南通）如圖，從航拍無人機A看一棟樓頂部B的仰角α為30°，看這棟樓底部C的俯角β為60°，無人機與樓的水平距離為120m，則這棟樓的高度為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【點撥】過點A作AD⊥BC，垂足為D，根據題意可得：AD＝120m，然后分別在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用銳角三角函數的定義求出BD和CD的長，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．
【解析】解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，
由題意得：AD＝120m，
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD＝AD tan30°＝120×＝40（m），
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴CD＝AD tan60°＝120（m），
∴BC＝BD+CD＝160（m），
∴這棟樓的高度為160m，
故選：B．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
5．（2023 廣州）如圖，海中有一小島A，在B點測得小島A在北偏東30°方向上，漁船從B點出發由西向東航行10nmile到達C點，在C點測得小島A恰好在正北方向上，此時漁船與小島A的距離為（　　）n mile．
A． B． C．20 D．
【答案】D
【點撥】連接AC，根據題意可得：AC⊥CB，然后在Rt△ACB中，利用銳角三角函數的定義求出AC的長，即可解答．
【解析】解：連接AC，
由題意得：AC⊥CB，
在Rt△ACB中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝10海里，
∴AC＝BC tan60°＝10（海里），
∴此時漁船與小島A的距離為10海里，
故選：D．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
6．（2023 長春）學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長度為（　　）
A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米
【答案】D
【點撥】根據直角三角形的邊角關系進行解答即可．
【解析】解：如圖，由題意得，AC＝32m，∠A＝25°，
在Rt△ABC中，
∵cosA＝，
∴AB＝＝（m），
故選：D．
【點睛】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．
7．（2023 杭州）第二十四屆國際數學家大會會徽的設計基礎是1700多年前中國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，連接BE．設∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，tanα＝tan2β，則n＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【點撥】設AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化簡可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，結合勾股定理及正方形的面積公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，進而可求解n的值．
【解析】解：設AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，
∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，
∴，
∴（b﹣a）2＝ab，
∴a2+b2＝3ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，
∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，
∴n＝3．
故選：C．
【點睛】本題主要考查勾股定理的證明，解直角三角形的應用，利用解直角三角形求得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab是解題的關鍵．
8．（2023 廣西）如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約 　21　m（結果取整數）．（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】21
【點撥】根據等腰三角形的三線合一性質可得AD＝BD＝AB，然后在Rt△ACD中，利用銳角三角函數的定義求出AC，AD的長，從而求出AB的長，最后進行計算即可解答．
【解析】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB，
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，
∴AC＝≈＝5（m），AD＝≈＝4（m），
∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），
∴共需鋼材約＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），
故答案為：21．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，等腰三角形的性質，熟練掌握銳角三角函數的定義，以及等腰三角形的性質是解題的關鍵．
9．（2023 內蒙古）為了增強學生體質、錘煉學生意志，某校組織一次定向越野拉練活動．如圖，A點為出發點，途中設置兩個檢查點，分別為B點和C點，行進路線為A→B→C→A．B點在A點的南偏東25°方向3km處，C點在A點的北偏東80°方向，行進路線AB和BC所在直線的夾角∠ABC為45°．
（1）求行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數；
（2）求檢查點B和C之間的距離（結果保留根號）．
【答案】（1）行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數為60°；
（2）檢查點B和C之間的距離（3+）km．
【點撥】（1）根據題意可得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，從而利用平角定義可得∠CAB＝75°，然后利用三角形內角和定理進行計算即可解答；
（2）過點A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，利用銳角三角函數的定義求出AD和BD的長，再在Rt△ADC中，利用銳角三角函數的定義求出CD的長，然后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．
【解析】解：（1）由題意得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，
∴∠CAB＝180°﹣∠NAC﹣∠BAS＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝60°，
∴行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數為60°；
（2）過點A作AD⊥BC，垂足為D，
在Rt△ABD中，AB＝3km，∠ABC＝45°，
∴AD＝AB sin45°＝3×＝3（km），
BD＝AB cos45°＝3×＝3（km），
在Rt△ADC中，∠ACB＝60°，
CD＝＝＝（km），
∴BC＝BD+CD＝（3+）km，
∴檢查點B和C之間的距離（3+）km．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
10．（2023 山西）2023年3月，水利部印發《母親河復蘇行動河湖名單（2022﹣2025年）》，我省境內有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選，在推進實施母親河復蘇行動中，需要砌筑各種駁岸（也叫護坡）．某校“綜合與實踐”小組的同學把“母親河駁岸的調研與計算”作為一項課題活動，利用課余時間完成了實踐調查，并形成了如下活動報告．請根據活動報告計算BC和AB的長度（結果精確到0.1m，參考數據：≈1.73，≈1.41 ）．
課題 母親河駁岸的調研與計算
調查方式 資料查閱、水利部門走訪、實地查看了解
調查內容 功能 駁岸是用來保護河岸，阻止河岸崩塌或沖刷的構筑物
材料 所需材料為石料、混凝土等
駁岸時剖面圖 相關數據及說明：圖中，點A，B，C，D，E在同一豎直平面內，AE和CD均與地面平行，岸墻AB⊥AE于點A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．
計算結果 …
交通展示 …
【答案】BC的長度約為1.4m，AB的長度約為4.2m．
【點撥】過E作EF⊥CD于F，延長AB，CD交于H，得到∠EFD＝90°，解直角三角形即可得到結論．
【解析】解：過E作EF⊥CD于F，延長AB，CD交于H，
∴∠EFD＝90°，
由題意得，在Rt△EFD中，，cos，
∴（m），
∴FD＝ED cos∠EDF＝6×cos60°＝6×＝3（m），
由題意得，∠H＝90°，四邊形AEFH是矩形，
∴，HF＝AE＝1.5m，
∵CF＝CD﹣FD＝3.5﹣3＝0.5（m），
∴CH＝HF﹣CF＝1.5﹣0.5＝1（m），
在Rt△BCH中，∠H＝90°，∠BCH＝180°﹣∠BCD＝180°﹣135°＝45°，
∵，
∴1.4（m），
∴BH＝CH tan∠BCH＝1×tan45°＝1（m），
∴AB＝AH﹣BH＝3．
答：BC的長度約為1.4m，AB的長度約為4.2m．
【點睛】本題考查解直角三角形的應用，矩形的判定和性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題18 直角三角形問題
考點掃描☆聚焦中考
直角三角形問題近幾年各地中考主要以填空題或選擇題的形式考查,屬于中低檔題，較為簡單，少數以解答題形式考查，屬于中檔題，難度一般；考查的內容主要有：直角三角形的性質；勾股定理及其逆定理；銳角三角函數；特殊角的三角函數值；解直角三角形的應用；考查熱點主要有：直角三角形的性質；勾股定理及其逆定理；銳角三角函數；解直角三角形的實際生活應用。
考點剖析☆典型例題
例1 （2022 岳陽）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C＝40°，則∠1的度數是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
例2（2021 廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，連接BD．若CD＝1，則AD的長為 　　．
例3（2023 荊州）如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點．若AC＝8，CD＝5，則DE＝　　．
例4（2023 湖北）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點D在邊AC上，且BD平分△ABC的周長，則BD的長是（　　）
A． B． C． D．
例5（2023 武漢）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數為2cm，若按相同的方式將37°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數是 　　cm（結果精確到0.1cm，參考數據sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
考點過關☆專項突破
類型一 直角三角形的性質
1．（2022 賀州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，則∠A的度數為（　　）
A．34° B．44° C．124° D．134°
2．（2022 紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．（2021 福建）如圖，某研究性學習小組為測量學校A與河對岸工廠B之間的距離，在學校附近選一點C，利用測量儀器測得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．據此，可求得學校與工廠之間的距離AB等于（　　）
A．2km B．3km C．km D．4km
4．（2023 衢州）如圖是脊柱側彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（　　）
A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO
5．（2023 攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝　　．
6．（2020 綿陽）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點M是四邊形ABCD內的一個動點，滿足∠AMD＝90°，則點M到直線BC的距離的最小值為 　 　．
類型二 含30度角的直角三角形
1．（2023 貴州）5月26日，“2023中國國際大數據產業博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是（　　）
A．4m B．6m C．10m D．12m
2．（2023 揚州）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是銳角三角形，則滿足條件的BC長可以是（　　）
A．1 B．2 C．6 D．8
3．（2021 陜西）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC邊上的兩個動點，以EF為邊的等邊△EFP的頂點P在△ABC內部或邊上，則等邊△EFP的周長的最大值為 　 　．
4．（2021 樂山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一個銳角為60°，AB＝4．若點P在直線AB上（不與點A，B重合），且∠PCB＝30°，則CP的長為 　　．
5．（2022 十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點E，F分別在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，則EF＝BE+DF．
【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分別有景點M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之間修一條直路，則路線M→N的長比路線M→A→N的長少 　　m（結果取整數，參考數據：≈1.7）．
6．（2021 杭州）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點D，AE⊥BC于點E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．
（1）求證：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面積．
類型三 直角三角形斜邊上的中線
1．（2021 新疆）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于點D，E是AB的中點，則DE的長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023 株洲）一技術人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應的刻度為1、7，則CD＝（　　）
A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
3．（2023 赤峰）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．點F是AB中點，連接CF，把線段CF沿射線BC方向平移到DE，點D在AC上．則線段CF在平移過程中掃過區域形成的四邊形CFDE的周長和面積分別是（　　）
A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16
4．（2022 永州）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，點D為邊AC的中點，BD＝2，則BC的長為（　　）
A． B．2 C．2 D．4
5．（2022 大連）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．分別以點A和點C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN．直線MN與AB相交于點D，連接CD，若AB＝3，則CD的長是（　　）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
6．（2023 郴州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點M是AB的中點，求CM＝　　．
22．（2022 荊州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通過尺規作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連接CD．若CE＝AE＝1，則CD＝　　．
7．（2022 杭州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點M為邊AB的中點，點E在線段AM上，EF⊥AC于點F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求證：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求線段FC的長．
類型四 勾股定理及其逆定理
1．（2019 濱州）滿足下列條件時，△ABC不是直角三角形的為（　　）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．|cosA﹣|+（tanB﹣）2＝0
2．（2023 德陽）如圖，在△ABC中，∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，BD＝DE＝EC，點F是AB邊的中點，則DF＝（　　）
A． B． C．2 D．1
3．（2023 寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點，則AB的長是（　　）
A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．2
4．（2023 南京）我國南宋數學家秦九韶的著作《數書九章》中有一道問題：“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何？”問題大意：如圖，在△ABC中，AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，則△ABC的面積是（　　）
A．80平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里
5．（2023 濟寧）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點上，線段AB，CD交于點F，若∠CFB＝α，則∠ABE等于（　　）
A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α
6．（2023 日照）已知直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，分別以a，b，c為邊作三個正方形，把兩個較小的正方形放置在最大正方形內，如圖，設三個正方形無重疊部分的面積為S1，均重疊部分的面積為S2，則（　　）
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1，S2大小無法確定
7．（2023 樂山）我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則sinθ＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2023 湖北）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設圖中AF＝a，DF＝b，連接AE，BE，若△ADE與△BEH的面積相等，則＝　　．
9．（2023 恩施州）《九章算術》被稱為人類科學史上應用數學的“算經之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少（如圖）？答：門高、寬和對角線的長分別是 　 　尺．
10．（2020 山西）閱讀與思考
如圖是小宇同學的數學日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務．
×年×月×日星期日沒有直角尺也能作出直角今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖③所示的四邊形木板，他已經在木板上畫出一條裁割線AB，現根據木板的情況，要過AB上的一點C，作出AB的垂線，用鋸子進行裁割，然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？辦法一：如圖①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分別以D，C為圓心，以50cm與40cm為半徑畫圓弧，兩弧相交于點E，作直線CE，則∠DCE必為90°．辦法二：如圖②，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點出M，N兩點，然后把木棒斜放在木板上，使點M與點C重合，用鉛筆在木板上將點N對應的位置標記為點Q，保持點N不動，將木棒繞點N旋轉，使點M落在AB上，在木板上將點M對應的位置標記為點R．然后將RQ延長，在延長線上截取線段QS＝MN，得到點S，作直線SC，則∠RCS＝90°．我有如下思考：以上兩種辦法依據的是什么數學原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線呢？……
任務：
（1）填空：“辦法一”依據的一個數學定理是 　勾股定理的逆定理　；
（2）根據“辦法二”的操作過程，證明∠RCS＝90°；
（3）①尺規作圖：請在圖③的木板上，過點C作出AB的垂線（在木板上保留作圖痕跡，不寫作法）；
②說明你的作法所依據的數學定理或基本事實（寫出一個即可）．
類型五 解直角三角形
1．（2023 攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，則cos∠A的值為（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，則AB的長是（　　）
A． B． C．60 D．80
3．（2023 深圳）爬坡時坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（　　）（參考數據：≈1.732，≈1.414）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
4．（2023 南通）如圖，從航拍無人機A看一棟樓頂部B的仰角α為30°，看這棟樓底部C的俯角β為60°，無人機與樓的水平距離為120m，則這棟樓的高度為（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 廣州）如圖，海中有一小島A，在B點測得小島A在北偏東30°方向上，漁船從B點出發由西向東航行10nmile到達C點，在C點測得小島A恰好在正北方向上，此時漁船與小島A的距離為（　　）n mile．
A． B． C．20 D．
6．（2023 長春）學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長度為（　　）
A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米
7．（2023 杭州）第二十四屆國際數學家大會會徽的設計基礎是1700多年前中國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，連接BE．設∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，tanα＝tan2β，則n＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2023 廣西）如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約 　　m（結果取整數）．（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
9．（2023 內蒙古）為了增強學生體質、錘煉學生意志，某校組織一次定向越野拉練活動．如圖，A點為出發點，途中設置兩個檢查點，分別為B點和C點，行進路線為A→B→C→A．B點在A點的南偏東25°方向3km處，C點在A點的北偏東80°方向，行進路線AB和BC所在直線的夾角∠ABC為45°．
（1）求行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數；
（2）求檢查點B和C之間的距離（結果保留根號）．
10．（2023 山西）2023年3月，水利部印發《母親河復蘇行動河湖名單（2022﹣2025年）》，我省境內有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選，在推進實施母親河復蘇行動中，需要砌筑各種駁岸（也叫護坡）．某校“綜合與實踐”小組的同學把“母親河駁岸的調研與計算”作為一項課題活動，利用課余時間完成了實踐調查，并形成了如下活動報告．請根據活動報告計算BC和AB的長度（結果精確到0.1m，參考數據：≈1.73，≈1.41 ）．
課題 母親河駁岸的調研與計算
調查方式 資料查閱、水利部門走訪、實地查看了解
調查內容 功能 駁岸是用來保護河岸，阻止河岸崩塌或沖刷的構筑物
材料 所需材料為石料、混凝土等
駁岸時剖面圖 相關數據及說明：圖中，點A，B，C，D，E在同一豎直平面內，AE和CD均與地面平行，岸墻AB⊥AE于點A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．
計算結果 …
交通展示 …
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