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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
備考2024中考二輪數(shù)學(xué)《高頻考點(diǎn)沖刺》（全國(guó)通用）
專(zhuān)題19 平行四邊形問(wèn)題
考點(diǎn)掃描☆聚焦中考
平行四邊形問(wèn)題，近幾年各地中考主要以解答題的形式進(jìn)行考查，少數(shù)以填空題或選擇題的形式進(jìn)行考查，屬于中檔題,難度一般；考查的內(nèi)容有：平行四邊形的性質(zhì)與判定定理；多邊形與平行四邊形的應(yīng)用；考查的熱點(diǎn)主要有：平行四邊形的性質(zhì)與判定定理，多邊形與平行四邊形的實(shí)際綜合應(yīng)用.
考點(diǎn)剖析☆典型例題
例1 （2023 成都）如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是（　　）
A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
例2（2023 邵陽(yáng)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，若添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD為平行四邊形，則下列正確的是（　　）
A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C
例3（2022 河池）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
（1）求證：∠ACB＝∠DFE；
（2）連接BF，CE，直接判斷四邊形BFEC的形狀．
例4（2023 杭州）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝EF＝FD，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．
考點(diǎn)過(guò)關(guān)☆專(zhuān)項(xiàng)突破
類(lèi)型一 平行四邊形的性質(zhì)
1．（2023 益陽(yáng)）如圖， ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列結(jié)論一定成立的是（　　）
A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC
2．（2023 通遼）如圖，用平移方法說(shuō)明平行四邊形的面積公式S＝ah時(shí)，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，則△ABE的平移距離為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．12
3．（2023 瀘州）如圖， ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ADC的平分線與邊AB相交于點(diǎn)P，E是PD中點(diǎn)，若AD＝4，CD＝6，則EO的長(zhǎng)為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023 海南）如圖，在 ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交邊AD于點(diǎn)E，連接CE，若AE＝2ED，則CE的長(zhǎng)為（　　）
A．6 B．4 C． D．
5．（2023 蘭州）如圖，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于點(diǎn)E，若∠C＝70°，則∠BAE＝　50　°．
6．（2023 涼山州）如圖， ABCO的頂點(diǎn)O、A、C的坐標(biāo)分別是（0，0）、（3，0）、（1，2）．則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是 　　．
7．（2023 聊城）如圖，在 ABCD中，BC的垂直平分線EO交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)O，連接BE，CE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BE，交EO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF．若AD＝8，CE＝5，則四邊形BFCE的面積為 　　．
8．（2023 南充）如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線AC上，∠CBE＝∠ADF．
求證：（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF．
9．（2023 長(zhǎng)沙）如圖，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的長(zhǎng)和△ADF的面積．
10．（2023 綿陽(yáng)）如圖， ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE＝CF．
（1）求證：BE∥DF；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BD，垂足為O，交DF于點(diǎn)M，若△BFM的周長(zhǎng)為12，求四邊形BEDF的周長(zhǎng)．
類(lèi)型二 平行四邊形的判定
1．（2022 達(dá)州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上．添加一個(gè)條件，使得四邊形ADFC為平行四邊形，則這個(gè)條件可以是（　　）
A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF
2．（2020 衡陽(yáng)）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
3．（2022 河北）依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是（　　）
A．B． C． D．
4．（2022 臨沂）如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N是對(duì)角線BE上的兩點(diǎn)．添加下列條件中的一個(gè)：①BM＝EN；②∠FAN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使四邊形AMDN是平行四邊形的是 　 　（填上所有符合要求的條件的序號(hào)）．
5．（2023 寧夏）如圖，已知EF∥AC，B，D分別是AC和EF上的點(diǎn)，∠EDC＝∠CBE．求證：四邊形BCDE是平行四邊形．
6．（2023 無(wú)錫）如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF＝DE，連接CF．求證：
（1）△CEF≌△AED；
（2）四邊形DBCF是平行四邊形．
7．（2023 鎮(zhèn)江）如圖，B是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E在AC同側(cè)，AE＝BD，BE＝CD．
（1）求證：△ABE≌△BCD；
（2）連接DE，求證：四邊形BCDE為平行四邊形．
8．（2023 廣安）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E、F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
類(lèi)型三 平行四邊形綜合
1．（2022 舟山）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8．點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長(zhǎng)是（　　）
A．32 B．24 C．16 D．8
2．（2023 自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上，且AM＝CN．求證：DM＝BN．
3．（2023 株洲）如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段CE上，連接BH，點(diǎn)G、F分別為BH、CH的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；
（2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求線段BG的長(zhǎng)度．
4．（2023 貴州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延長(zhǎng)CB至D，使得BD＝CB，過(guò)點(diǎn)A，D分別作AE∥BD，DE∥BA，AE與DE相交于點(diǎn)E．下面是兩位同學(xué)的對(duì)話：
小星：由題目的已知條件，若連接BE，則可證明BE⊥CD． 小紅：由題目的已知條件，若連接CE，則可證明CE＝DE．
（1）請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法，并進(jìn)行證明；
（2）連接AD，若，求AC的長(zhǎng)．
5．（2023 揚(yáng)州）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，連接AF、CE相交于點(diǎn)M，連接AG、CH相交于點(diǎn)N．
（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）若 AMCN的面積為4，求 ABCD的面積．
6．（2022 畢節(jié)市）如圖1，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）如圖2，E，F(xiàn)，G分別是BO，CO，AD的中點(diǎn)，連接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周長(zhǎng)．
7．（2022 溫州）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，O是DF的中點(diǎn)，EO的延長(zhǎng)線交線段BD于點(diǎn)G，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)G．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．
（2）當(dāng)AD＝5，tan∠EDC＝時(shí)，求FG的長(zhǎng)．
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專(zhuān)題19 平行四邊形問(wèn)題
考點(diǎn)掃描☆聚焦中考
平行四邊形問(wèn)題，近幾年各地中考主要以解答題的形式進(jìn)行考查，少數(shù)以填空題或選擇題的形式進(jìn)行考查，屬于中檔題,難度一般；考查的內(nèi)容有：平行四邊形的性質(zhì)與判定定理；多邊形與平行四邊形的應(yīng)用；考查的熱點(diǎn)主要有：平行四邊形的性質(zhì)與判定定理，多邊形與平行四邊形的實(shí)際綜合應(yīng)用.
考點(diǎn)剖析☆典型例題
例1 （2023 成都）如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是（　　）
A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
【答案】B
【點(diǎn)撥】利用平行四邊形的性質(zhì)一一判斷即可解決問(wèn)題．
【解析】解：A、錯(cuò)誤．平行四邊形的對(duì)角線互相平分，但不一定相等，不合題意；
B、正確．因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，符合題意；
C、錯(cuò)誤．平行四邊形的對(duì)角線不一定垂直，不合題意；
D、錯(cuò)誤．平行四邊形的對(duì)角相等，但鄰角不一定相等，不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例2（2023 邵陽(yáng)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，若添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD為平行四邊形，則下列正確的是（　　）
A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C
【答案】D
【點(diǎn)撥】由平行四邊形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；
C、由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
例3（2022 河池）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
（1）求證：∠ACB＝∠DFE；
（2）連接BF，CE，直接判斷四邊形BFEC的形狀．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）平行四邊形．
【點(diǎn)撥】（1）證△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）由（1）可知，∠ACB＝∠DFE，則BC∥EF，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵AF＝CD，
∴AF+CF＝CD+CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE；
（2）解：如圖，四邊形BFEC是平行四邊形，理由如下：
由（1）可知，∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF，
又∵BC＝EF，
∴四邊形BFEC是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
例4（2023 杭州）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝EF＝FD，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析過(guò)程；
（2）△CFO的面積為1．
【點(diǎn)撥】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AO＝CO，BO＝DO，再證OE＝OF，即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)可求解．
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）解：∵BE＝EF，
∴S△ABE＝S△AEF＝2，
∵四邊形AECF是平行四邊形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO，
∴△CFO的面積＝1．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)過(guò)關(guān)☆專(zhuān)項(xiàng)突破
類(lèi)型一 平行四邊形的性質(zhì)
1．（2023 益陽(yáng)）如圖， ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列結(jié)論一定成立的是（　　）
A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC
【答案】C
【點(diǎn)撥】由平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，即可求解．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分是解題的關(guān)鍵．
2．（2023 通遼）如圖，用平移方法說(shuō)明平行四邊形的面積公式S＝ah時(shí)，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，則△ABE的平移距離為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．12
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)平移的性質(zhì)結(jié)合矩形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥EF，BC＝AD＝a，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四邊形AEFD是矩形，
由平移的性質(zhì)得BE＝CF，
∴EF＝BC＝4，
∴平行四邊形ABCD的面積＝矩形AEFD的面積＝ah＝12，
∴△ABE的平移距離為4．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023 瀘州）如圖， ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ADC的平分線與邊AB相交于點(diǎn)P，E是PD中點(diǎn)，若AD＝4，CD＝6，則EO的長(zhǎng)為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，可得∠CDP＝∠APD，根據(jù)DP平分∠ADC，可得∠CDP＝∠ADP，從而可得∠ADP＝∠APD，可得AP＝AD＝4，進(jìn)一步可得PB的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形中位線定理可得EO＝PB，即可求出EO的長(zhǎng)．
【解析】解：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，
∴∠CDP＝∠APD，
∵DP平分∠ADC，
∴∠CDP＝∠ADP，
∴∠ADP＝∠APD，
∴AP＝AD＝4，
∵CD＝6，
∴AB＝6，
∴PB＝AB﹣AP＝6﹣4＝2，
∵E是PD的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，
∴EO是△DPB的中位線，
∴EO＝PB＝1，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023 海南）如圖，在 ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交邊AD于點(diǎn)E，連接CE，若AE＝2ED，則CE的長(zhǎng)為（　　）
A．6 B．4 C． D．
【答案】C
【點(diǎn)撥】由平行四邊形的性質(zhì)得∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝8，AD∥BC，再證∠ABE＝∠AEB，則AE＝AB＝8，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，則∠FED＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得DF＝ED＝2，則EF＝2，CF＝6，即可解決問(wèn)題．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝8，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝8，
∵AE＝2ED，
∴2ED＝8，
∴ED＝4，
如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，
則∠EFC＝∠EFD＝90°，
∴∠FED＝90°﹣∠D＝90°﹣60°＝30°，
∴DF＝ED＝2，
∴EF＝＝＝2，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6，
∴CE＝＝＝4，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
5．（2023 蘭州）如圖，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于點(diǎn)E，若∠C＝70°，則∠BAE＝　50　°．
【答案】50．
【點(diǎn)撥】因?yàn)锽D＝CD，所以∠DBC＝∠C＝70°，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AD∥BC，所以∠ADB＝∠DBC＝70°，因?yàn)锳E⊥BD，所以在直角△AED中，由余角的性質(zhì)可求∠DAE，即可求解．
【解析】解：在△DBC中，
∵BD＝CD，∠C＝70°，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
又∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝70°，∠BAD＝∠C＝70°，
又∵AE⊥BD，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADB＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝50°．
故答案為：50．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，難易程度適中．
6．（2023 涼山州）如圖， ABCO的頂點(diǎn)O、A、C的坐標(biāo)分別是（0，0）、（3，0）、（1，2）．則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是 　（4，2）　．
【答案】（4，2）．
【點(diǎn)撥】延長(zhǎng)BC交y軸于點(diǎn)D，由平行四邊形的性質(zhì)得BC＝OA，BC∥OA，再證BC⊥y軸，然后求出BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2，則BD＝CD+BC＝4，即可得出結(jié)論．
【解析】解：如圖，延長(zhǎng)BC交y軸于點(diǎn)D，
∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴BC＝OA，BC∥OA，
∵OA⊥y軸，
∴BC⊥y軸，
∵A（3，0），C（1，2），
∴BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2，
∴BD＝CD+BC＝1+3＝4，
∴B（4，2），
故答案為：（4，2）．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023 聊城）如圖，在 ABCD中，BC的垂直平分線EO交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)O，連接BE，CE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BE，交EO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF．若AD＝8，CE＝5，則四邊形BFCE的面積為 　24　．
【答案】24．
【點(diǎn)撥】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC＝8，再由EF是線段BC的垂直平分線得出EF⊥BC，OB＝OC＝BC＝4，根據(jù)勾股定理求出OE的長(zhǎng)，再由CF∥BE可得出∠OCF＝OBE，故可得出△OCF≌△OBE，OE＝OF，利用S四邊形BFCE＝S△BCE+S△BFC即可得出結(jié)論．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD＝8，
∴AD＝BC＝8，
∵由EF是線段BC的垂直平分線，
∴EF⊥BC，OB＝OC＝BC＝4，
∵CE＝5，
∴OE＝＝＝3．
∵CF∥BE，
∴∠OCF＝∠OBE，
在△OCF與△OBE中，
，
∴△OCF≌△OBE（ASA），
∴OE＝OF＝3，
∴S四邊形BFCE＝S△BCE+S△BFC
＝BC OE+BC OF
＝×8×3+×8×3
＝12+12
＝24．
故答案為：24．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積及線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意得出OE＝OF是解題的關(guān)鍵．
8．（2023 南充）如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線AC上，∠CBE＝∠ADF．
求證：（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）見(jiàn)解析．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD＝BC，求得∠DAF＝∠BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AFD＝∠CEB，根據(jù)平行線的判定定理即可得到BE∥DF．
【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF與△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
∴AE＝CF；
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴BE∥DF．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（2023 長(zhǎng)沙）如圖，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的長(zhǎng)和△ADF的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）3，9．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CDE＝∠F，根據(jù)角平分線的定義得到∠ADE＝∠CDE，求得∠F＝∠ADF，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到AD＝AF，
（2）根據(jù)線段的和差得到BF＝AF﹣AB＝3；過(guò)D作DH⊥AF交FA的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AH＝，＝3，根據(jù)三角形的面積公式即可得到△ADF的面積＝．
【解析】（1）證明：在 ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠F＝∠ADF，
∴AD＝AF，
（2）解：∵AD＝AF＝6，AB＝3，
∴BF＝AF﹣AB＝3；
過(guò)D作DH⊥AF交FA的延長(zhǎng)線于H，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝，
∴＝3，
∴△ADF的面積＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
10．（2023 綿陽(yáng)）如圖， ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE＝CF．
（1）求證：BE∥DF；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BD，垂足為O，交DF于點(diǎn)M，若△BFM的周長(zhǎng)為12，求四邊形BEDF的周長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）24．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥DC，AB＝DC，求得∠BAE＝∠DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AEB＝∠CFD，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，求得BE＝DF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DM＝BM，于是得到結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE與△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF；
（2）解：由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，
∴BE＝DF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴DO＝BO，
∵OM⊥BD，
∴DM＝BM，
∵△BFM的周長(zhǎng)為12，
∴BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF＝12，
∴四邊形BEDF的周長(zhǎng)為24．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
類(lèi)型二 平行四邊形的判定
1．（2022 達(dá)州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上．添加一個(gè)條件，使得四邊形ADFC為平行四邊形，則這個(gè)條件可以是（　　）
A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF
【答案】B
【點(diǎn)撥】利用三角形中位線定理得到DE∥AC，DE＝AC，結(jié)合平行四邊形的判定定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：∵D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AC，DE＝AC，
A、當(dāng)∠B＝∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、∵DE＝EF，
∴DE＝DF，
∴AC＝DF，
∵AC∥DF，
∴四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意；
C、根據(jù)AC＝CF，不能判定AC＝DF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、∵AD＝CF，AD＝BD，
∴BD＝CF，
由BD＝CF，∠BED＝∠CEF，BE＝CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、三角形的中位線定理以及平行線的判定等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定和三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2020 衡陽(yáng)）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的定義，可以得到選項(xiàng)A中的條件可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形；根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以得到選項(xiàng)B中的條件可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形；根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以得到選項(xiàng)D中的條件可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形；選項(xiàng)C中的條件，無(wú)法判斷四邊形ABCD是平行四邊形．
【解析】解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)A中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)B中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；
∵AB∥DC，AD＝BC，則無(wú)法判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)C中的條件，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確平行四邊形的判定方法．
3．（2022 河北）依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是（　　）
A．B． C． D．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的判定定理做出判斷即可．
【解析】解：A、80°+110°≠180°，故A選項(xiàng)不符合條件；
B、只有一組對(duì)邊平行不能確定是平行四邊形，故B選項(xiàng)不符合題意；
C、不能判斷出任何一組對(duì)邊是平行的，故C選項(xiàng)不符合題意；
D、有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故D選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
4．（2022 臨沂）如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N是對(duì)角線BE上的兩點(diǎn)．添加下列條件中的一個(gè)：①BM＝EN；②∠FAN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使四邊形AMDN是平行四邊形的是 　①②④　（填上所有符合要求的條件的序號(hào)）．
【答案】①②④．
【點(diǎn)撥】①連接AD，交BE于點(diǎn)O，證出OM＝ON，由對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得出結(jié)論；②證明△AON≌△DOM（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出AN＝DM，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得出結(jié)論；③不能證明△ABM與△DEN全等，則可得出結(jié)論；④證明△ABM≌△DEN（AAS），得出AM＝DN，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得出結(jié)論．
【解析】解：①連接AD，交BE于點(diǎn)O，
∵正六邊形ABCDEF中，∠BAO＝∠ABO＝∠OED＝∠ODE＝60°，
∴△AOB和△DOE是等邊三角形，
∴OA＝OD，OB＝OE，
又∵BM＝EN，
∴OM＝ON，
∴四邊形AMDN是平行四邊形，故①符合題意；
②∵∠FAN＝∠CDM，∠CDA＝∠DAF，
∴∠OAN＝∠ODM，
∴AN∥DM，
又∵∠AON＝∠DOM，OA＝OD，
∴△AON≌△DOM（ASA），
∴AN＝DM，
∴四邊形AMDN是平行四邊形，故②符合題意；
③∵AM＝DN，AB＝DE，∠ABM＝∠DEN，
∴△ABM與△DEN不一定全等，不能得出四邊形AMDN是平行四邊形，故③不符合題意；
④∵∠AMB＝∠DNE，∠ABM＝∠DEN，AB＝DE，
∴△ABM≌△DEN（AAS），
∴AM＝DN，
∵∠AMB+∠AMN＝180°，∠DNM+∠DNE＝180°，
∴∠AMN＝∠DNM，
∴AM∥DN，
∴四邊形AMDN是平行四邊形，故④符合題意．
故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
5．（2023 寧夏）如圖，已知EF∥AC，B，D分別是AC和EF上的點(diǎn)，∠EDC＝∠CBE．求證：四邊形BCDE是平行四邊形．
【點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定證得EB∥DC，再根據(jù)平行四邊形的判定即可證得結(jié)論．
【解析】證明：∵EF∥AC，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝∠CBE，
∴∠CBE+∠C＝180°，
∴EB∥DC，
∵DE∥BC，BE∥CD，
∴四邊形BCDE是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定證得EB∥DC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
6．（2023 無(wú)錫）如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF＝DE，連接CF．求證：
（1）△CEF≌△AED；
（2）四邊形DBCF是平行四邊形．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形的中位線定理得到AE＝CE，DE∥BC，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解析】證明：（1）∵點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，
∴AE＝CE，
在△CEF與△AED中，
，
∴△CEF≌△AED（SAS）；
（2）由（1）證得△CEF≌△AED，
∴∠A＝∠FCE，
∵點(diǎn)D、E是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，即DF∥BC，
∴四邊形DBCF是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
7．（2023 鎮(zhèn)江）如圖，B是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E在AC同側(cè)，AE＝BD，BE＝CD．
（1）求證：△ABE≌△BCD；
（2）連接DE，求證：四邊形BCDE為平行四邊形．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到AB＝BC，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABE＝∠BCD，根據(jù)平行線的判定定理得到BE∥CD，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解析】證明：（1）∵B是AC的中點(diǎn)，
∴AB＝BC，
在△ABE與△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SSS）；
（2）∵△ABE≌△BCD，
∴∠ABE＝∠BCD，
∴BE∥CD，
∵BE＝CD，
∴四邊形BCDE為平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
8．（2023 廣安）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E、F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
【點(diǎn)撥】由全等三角形的判定定理ASA證得△ABE≌△CDF，則其對(duì)應(yīng)邊相等：AB＝CD；最后根據(jù)“對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論．
【解析】證明：∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF．
∴AE＝CF．
∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD．
在△ABE與△CDF中，
．
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
∴AB＝CD．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
類(lèi)型三 平行四邊形綜合
1．（2022 舟山）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8．點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長(zhǎng)是（　　）
A．32 B．24 C．16 D．8
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)EF∥AC，GF∥AB，可以得到四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，再根據(jù)AB＝AC＝8和等量代換，即可求得四邊形AEFG的周長(zhǎng)．
【解析】解：∵EF∥AC，GF∥AB，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，
∴EB＝EF，F(xiàn)G＝GC，
∵四邊形AEFG的周長(zhǎng)是AE+EF+FG+AG，
∴四邊形AEFG的周長(zhǎng)是AE+EB+GC+AG＝AB+AC，
∵AB＝AC＝8，
∴四邊形AEFG的周長(zhǎng)是AB+AC＝8+8＝16，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，將平行四邊形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AB和AC的關(guān)系．
2．（2023 自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上，且AM＝CN．求證：DM＝BN．
【點(diǎn)撥】由平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，AB＝CD，再證BM＝DN，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．
【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AM＝CN，
∴AB﹣AM＝CD﹣CN，
即BM＝DN，
又∵BM∥DN，
∴四邊形MBND是平行四邊形，
∴DM＝BN．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明BM＝DN是解題的關(guān)鍵．
3．（2023 株洲）如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段CE上，連接BH，點(diǎn)G、F分別為BH、CH的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；
（2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求線段BG的長(zhǎng)度．
【點(diǎn)撥】（1）由三角形中位線定理得DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC，則DE∥GF，DE＝GF，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得DG＝EF＝2，再由勾股定理求出BG的長(zhǎng)即可．
【解析】（1）證明：∵點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F分別為BH、CH的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，GF是△HBC的中位線，
∴DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC，
∴DE∥GF，DE＝GF，
∴四邊形DEFG為平行四邊形；
（2）解：∵四邊形DEFG為平行四邊形，
∴DG＝EF＝2，
∵DG⊥BH，
∴∠DGB＝90°，
∴BG＝＝＝，
即線段BG的長(zhǎng)度為．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023 貴州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延長(zhǎng)CB至D，使得BD＝CB，過(guò)點(diǎn)A，D分別作AE∥BD，DE∥BA，AE與DE相交于點(diǎn)E．下面是兩位同學(xué)的對(duì)話：
小星：由題目的已知條件，若連接BE，則可證明BE⊥CD． 小紅：由題目的已知條件，若連接CE，則可證明CE＝DE．
（1）請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法，并進(jìn)行證明；
（2）連接AD，若，求AC的長(zhǎng)．
【點(diǎn)撥】（1）小星：連接BE，根據(jù)平行四邊的判定定理得到四邊形ABDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AE＝BD，推出四邊形AEBC是平行四邊形，根據(jù)矩形性質(zhì)得到BE⊥CD；小紅：連接BE，CE，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)以及矩形 的判定和性質(zhì)定理即可得到論；
（2）連接AD，設(shè)CB＝2k，AC＝3k，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解析】（1）證明：小星：連接BE，
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE＝BD，
∵BD＝BC，
∴AE＝BC，
∵AE∥BC，
∴四邊形AEBC是平行四邊形，
∵∠C＝90°，
∴四邊形AEBC是矩形，
∴∠EBC＝90°，
∴BE⊥CD；
小紅：連接CE，BE，
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE＝BD，AB＝DE，
∵BD＝BC，
∴AE＝BC，
∵AE∥BC，
∴四邊形AEBC是平行四邊形，
∵∠C＝90°，
∴四邊形AEBC是矩形，
∴AB＝CE，
∴DE＝CE；
（2）∵，
∴設(shè)CB＝2k，AC＝3k，
∴CD＝4k，
∵AC2+DC2＝AD2，
∴（3k）2+（4k）2＝（5）2，
∴k＝，
∴AC＝3．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形 的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023 揚(yáng)州）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，連接AF、CE相交于點(diǎn)M，連接AG、CH相交于點(diǎn)N．
（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）若 AMCN的面積為4，求 ABCD的面積．
【點(diǎn)撥】（1）依據(jù)四邊形AFCH是平行四邊形，可得AM∥CN，依據(jù)四邊形AECG是平行四邊形，可得AN∥CM，進(jìn)而得出四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）連接AC，依據(jù)三角形重心的性質(zhì)，即可得到S△ACN＝S△ACH，再根據(jù)CH是△ACD的中線，即可得出S△ACN＝S△ACD，進(jìn)而得到S平行四邊形AMCN＝S平行四邊形ABCD，依據(jù) AMCN的面積為4，即可得出結(jié)論．
【解析】解：（1）∵點(diǎn)E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，
∴AH∥CF，AH＝CF，
∴四邊形AFCH是平行四邊形，
∴AM∥CN，
同理可得，四邊形AECG是平行四邊形，
∴AN∥CM，
∴四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）如圖所示，連接AC，
∵H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)N是△ACD的重心，
∴CN＝2HN，
∴S△ACN＝S△ACH，
又∵CH是△ACD的中線，
∴S△ACN＝S△ACD，
又∵AC是平行四邊形AMCN和平行四邊形ABCD的對(duì)角線，
∴S平行四邊形AMCN＝S平行四邊形ABCD，
又∵ AMCN的面積為4，
∴ ABCD的面積為12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角形重心性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定方法以及三角形重心性質(zhì)．
6．（2022 畢節(jié)市）如圖1，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）如圖2，E，F(xiàn)，G分別是BO，CO，AD的中點(diǎn)，連接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周長(zhǎng)．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)已知可得AD∥BC，然后再利用ASA證明△AOD≌△COB，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得AD＝BC，最后利用平行四邊形的判定方法即可解答；
（2）連接DF，利用平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，從而可得AB＝DO＝DC，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得DF⊥OC，從而在Rt△AFD中，利用勾股定理求出DF的長(zhǎng)，然后利用直角三角形斜邊上的中線可求出FG的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的中位線定理可得EF＝BC＝7.5，EF∥BC，從而可得四邊形GEFD是平行四邊形，進(jìn)而可得EG＝DF＝9，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解析】（1）證明：∵∠BCA＝∠CAD，
∴AD∥BC，
在△AOD與△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：連接DF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OD，
∴DO＝DC，
∵點(diǎn)F是OC的中點(diǎn)，
∴OF＝OC＝4，DF⊥OC，
∴AF＝OA+OF＝12，
在Rt△AFD中，DF＝＝＝9，
∴點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，∠AFD＝90°，
∴DG＝FG＝AD＝7.5，
∵點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是OB，OC的中點(diǎn)，
∴EF是△OBC的中位線，
∴EF＝BC＝7.5，EF∥BC，
∴EF＝DG，EF∥AD，
∴四邊形GEFD是平行四邊形，
∴GE＝DF＝9，
∴△EFG的周長(zhǎng)＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，
∴△EFG的周長(zhǎng)為24．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
7．（2022 溫州）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，O是DF的中點(diǎn)，EO的延長(zhǎng)線交線段BD于點(diǎn)G，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)G．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．
（2）當(dāng)AD＝5，tan∠EDC＝時(shí)，求FG的長(zhǎng)．
【點(diǎn)撥】（1）由三角形中位線定理得EF∥BC，則∠EFO＝∠GDO，再證△OEF≌△OGD（ASA），得EF＝GD，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DE＝AC＝CE，則∠C＝∠EDC，再由銳角三角函數(shù)定義得CD＝2，然后由勾股定理得AC＝，則DE＝AC＝，進(jìn)而由平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BC，
∴∠EFO＝∠GDO，
∵O是DF的中點(diǎn)，
∴OF＝OD，
在△OEF和△OGD中，
，
∴△OEF≌△OGD（ASA），
∴EF＝GD，
∴四邊形DEFG是平行四邊形．
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴DE＝AC＝CE，
∴∠C＝∠EDC，
∴tanC＝＝tan∠EDC＝，
即＝，
∴CD＝2，
∴AC＝＝＝，
∴DE＝AC＝，
由（1）可知，四邊形DEFG是平行四邊形，
∴FG＝DE＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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