資源簡介

第三節 梯形
一、課標導航
課標內容 課標要求 目標層次
梯形 會識別梯形、等腰梯形，了解等腰梯形的性質和判定 ★
掌握梯形的概念，會用等腰梯形的性質和判定解決簡單問題
二、核心綱要
1.梯形
(1)定義：有一組對邊平行另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.
注：通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底.
(2)分類
(3)判定
①定義法：一組對邊平行且另一組對邊不平行；
②有一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形.
(4)梯形中位線
①定義：連接梯形兩腰中點的線段，叫做梯形的中位線；
②性質：梯形中位線平行于上下底且等于上下底和的一半.
2.等腰梯形
(1)定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.
(2)性質
①等腰梯形兩腰相等、兩底平行；
②等腰梯形在同一底上的兩個角相等；
③等腰梯形的對角線相等；
④等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，底的垂直平分線是它的對稱軸.
注：等腰梯形在同一底上的兩個角相等，不能說成：(a)等腰梯形兩底上的角相等；
(b)等腰梯形兩底角相等，這兩種說法都是錯誤的.
(3)判定
①兩腰相等的梯形是等腰梯形；
②在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；
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③對角線相等的梯形是等腰梯形.
3.解決梯形問題的基本思路
4.梯形中常見輔助線方法
類型 圖形 作法 本質 典型應用
與高有關 過A 作AE⊥BC于E.過 D 作 DF⊥BC 于 F(簡稱作雙高) 把梯形轉化為一個矩形和兩個直角三角形 面積計算
與腰有關 過 D 作 DE∥AB 交BC 于 E(平移一腰) 把梯形轉化為一個平行四邊形和集中兩腰、上下底之差的三角形(△DCE) 梯形中四邊關系
過 C 作 CE∥AB,交AD 延長線于E(平移一腰)
過 E 作 EM∥AB 交BC 于 M,EN∥ DC 交BC 于 N(平移兩腰) 把梯形轉化為兩個平行四邊形和一個集中兩腰和上下 底 之 差 的 三 角 形(△EMN)
分別延長 CA、DB 交于點E(延長兩腰) △ECD為三角形 梯形中構造特殊三角形
與對角線有關 過 D 作 DE∥ AC 交BC延長線于 E(平移對角線) 把梯形轉化為一個平行四邊形(□ADEC)和一個集中兩條對角線與上下底之和的三角形(△BDE) 集中對角線
與腰的中點(M)有關 連接AM并延長交 BC延長線于 E(倍長類中線) 將梯形切割拼接成一個與它面 積 相等的三 角 形(△ABE) 梯形的中位線證明：梯形拼接成三角形或四邊形
本節重點講解：兩個圖形，七種輔助線做法.
三、全能突破
基礎演練
1.圖18-3-1所示四個圖形缺口都能與右邊的圖形缺口吻合，哪個圖形有可能與右邊殘缺的圖形拼成一個梯形( ).
2.以3、5、5、11為邊作梯形,這樣的梯形有( ).
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3.如圖18-3-2 所示，平面上有九個點，以這些點為頂點，能組成等腰梯形的個數是( ).
A.0 B.2 C.4 D.6
4.如圖18-3-3 所示,梯形ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,AD=BC,AC⊥BC,BE⊥AB交AC 的延長線于點E,EF⊥AD交 AD 的延長線于點F,下列結論:①BD∥EF;②∠AEF=2∠BAC;③AD=DF;④AC=CE+EF.其中正確的結論有( ).
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
5.等腰梯形的上底與高相等，下底是上底的3倍，則下底角的度數是( ).
A.30° B.45° C.45°或 135° D.60°
6.如圖 18-3-4 所示,在直角梯形ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,E為AB 上一點,且 ED平分∠ADC,EC平分∠BCD,則下列結論:①DE⊥EC;②點E 是AB 中點;③CD=AD+BC.其中正確的有 .
能力提升
7.梯形ABCD 中,AD∥BC,AB=CD,對角線 AC=BC+AD,則∠ACB的度數是( ).
A.30° B.45° C.90° D.60°
8.如圖18-3-5 所示,已知梯形 ABCD,AD∥BC,E 為CD 的中點,若用 S 、S 、S 分別表示△ADE、△EBC、△ABE的面積,則 S 、S 、S 的關系是( ).
D.以上都不對
9.如圖18-3-6 所示,在梯形 ABCD中,AD∥BC,點 E 是AD 的中點,點 F 是BC 的中點, 則∠B+∠C為( )
A.90° B.100°
C.110° D.120°
10.如圖 18-3-7 所示,在等腰梯形 ABCD中, 點 E 是 AD 上一點,點 F 是 AB 上一點,且AE=BF,連接CE、DF,交于點 P.在下列結論中:(1)∠EDF=∠DCE;(2)∠DPC=72°;(3)S四邊形AEFF=S△DPC;(4)當E為AD 中點時, 正確的個數有( ).
A.1 B.2
C.3 D.4
11.用一塊面積為128cm 的等腰梯形彩紙做風箏，為了牢固起見，用竹條做梯形的對角線，對角線恰好互相垂直，那么至少需要竹條 cm.
12.如圖18-3-8 所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,對角線 AC⊥BD,且 AC=12,BD=9,求此梯形的中位線長.
13.(1)如圖 18-3-9 所示，等腰梯形的周長為 5cm，它可以由什么樣的三角形剪一刀而得
(2)如圖 18-3-10 所示，用(1)中5 張這樣的等腰梯形紙片中的幾張拼成較大的等腰梯形，能拼出哪幾種不同的等腰梯形 畫出它們的示意圖，并直接寫出它們的周長.
14.如圖18-3-11 所示,四邊形 ABCF中,
(1)求證:ADCF 是等腰梯形;
(2)若 的周長為 16 厘米,AF=3 厘米,AC-FC=3 厘米,求四邊形ADCF的周長.
15.如圖18-3-12(a)所示,在直角梯形 ABCD 中, ，以CD為一邊的等邊△DCE 的另一頂點 E 在腰AB 上.
(1)求∠AED的度數;
(2)求證:AB=BC;
(3)如圖18-3-12(b)所示,若 F 為線段CD上一點, 求 的值.
16.如圖 18-3-13 所示,有一張矩形紙片 ABCD,E、F 分別是 BC、AD 上的點(但不與頂點重合),若 EF將矩形ABCD 分成面積相等的兩部分,設AB=m,AD=n,BE=x.
(1)求證:AF=EC;
(2)用剪刀將該紙片沿直線 EF 剪開后，再將梯形紙片 ABEF 沿AB 對稱翻折，平移拼接在梯形 ECDF 的下方，使一底邊重合，一腰落在 DC的延長線上，拼接后，下方梯形記作 EE'B'C.當x：n為何值時，直線 E'E 經過原矩形的頂點D.
17.已知直角梯形.ABCD,AB∥CD,∠C=90°,AB=BC= CD,E.為CD的中點.
(1)如圖18-3-14(a)所示,當點 M在線段 DE 上時,以 AM 為腰作等腰直角三角形AMN,判斷 NE與MB 的位置關系和數量關系，請直接寫出你的結論；
(2)如圖 18-3-14(b)所示,當點 M 在線段 EC 上時,其他條件不變，(1)中的結論是否成立 請說明理由.
中考鏈接
18.(河北)如圖18-3-15 所示,某市 A,B 兩地之間有兩條公路,一條是市區公路 AB,另一條是外環公路AD-DC-CB,這兩條公路圍成等腰梯形 ABCD,其中 DC∥AB,AB:AD:CD=10:5:2.
(1)求外環公路的總長和市區公路長的比；
(2)某人駕車從 A 地出發，沿市區公路去 B 地，平均速度是 40km/h，返回時沿外環公路行駛，平均速度是80km/h，結果比去時少用了 求市區公路的長.
19.(杭州)如圖18-3-16 所示,在梯形 ABCD中, ，分別以 AB，CD為邊向外側作等邊三角形ABE 和等邊三角形DCF,連接AF,DE.
(1)求證:
(2)若∠BAD=45°,AB=a,△ABE 和△DCF 的面積之和等于梯形ABCD的面積，求 BC的長.
巔峰突破
20.如圖 18-3-17(a)所示,梯形 ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=2cm,∠B=60°.
(1)可得梯形 ABCD的周長L= cm,面積.
(2)如圖18-3-17(b)所示,E、F 分別為AD、BC 邊上的動點,連接 EF.設 BF=xcm,△BEF 的面積為是常數). (k
①試用含 x的代數式表示y；
②如果 且x、k均為整數，求BF的長.
21.如圖 18-3-18 所示,等腰梯形ABCD中, ,E為AD 中點,連接 BE,CE.
(1)求證:BE=CE;
(2)若 過點 B 作 BF⊥CD,垂足為點 F,交 CE 于點G,連接DG,且線段 DG=2cm,BG=6cm.求線段 CD的長.
基礎演練
1. C:2. B:3. C:4. D:5. B:6.①②③
能力提升
7. D:8. B;9. A;10. B;11.32
12.如下圖所示,作 DE∥AC,交 BC的延長線于E,則四邊形 ACED為平行四邊形,∴AD=CE.
∵AC⊥BD,∴∠BDE=90°.
∴梯形的中位線長
∴梯形的中位線長
13.(1)如下圖所示，把等腰梯形的兩腰分別延長后可得一個邊長為2的等邊三角形。
所以它可以由一個邊長為2的等邊三角形，沿著中位線的位置形剪一刀而得。
(2)四種.分別用3.4.5個小梯形拼出較大的等腰梯形.
①3個梯形，周長為 11cm，如下圖所示：
③5個梯形.周長為 17cm，如下圖所示：
④5個梯形，周長為 11cm，如下圖所示.
14.(1)∵AB∥DF.∴∠1=∠ADF.
∵∠1=∠2.∴∠2=∠ADF.∴EA=ED.
又AC=DF.∴EC=EF.
∴△EAD 及△ECF均是等腰三角形.且頂角為對頂角.由三角形內角和定理知∠ADF=∠DFC.
∴AD∥CF.又∵CF∵AC=DF.∴ADCF 是等腰梯形.
(2)四邊形 ADCF的周長=AD+DC+CF+AF.①
∵△ADC的周長=AD+DC+AC=16(厘米).②
AF=3(厘米).③FC=AC-3.④
將②,③,④代入①得:
四邊形ADCF的周長=AD+DC+(AC-3)+AF=(AD+DC+AC)-3+3=16(厘米).
15.(1)解:∵∠BCD=75°. AD∥BC.
∴∠ADC=105°.
由等邊△DCE可知∠CDE=60°,故∠ADE=45°.
由AB⊥BC. AD∥BC.可得∠DAB=90°.
∴∠AED=45°.
(2)證明:如圖(a)所示,由(1)知∠AED=45°.
∴AD=AE.故點 A在線段DE的垂直平分線上.
由△DCE是等邊三角形得CD=CE，故點 C也在線段DE 的垂直平分線上.
∴AC就是線段DE的垂直平分線,即 AC⊥DE.
連接AC.∵∠AED=45°.∴∠BAC=45°.
又AB⊥BC.∴∠ACB=45°.∴BA=BC.
(3)如圖(b)所示.∵∠FBC=30°.∴∠ABF=60°.
連接AF,BF、AD的延長線相交于點G,
∵∠FBC=30°.∠DCB=75°.
∴∠BFC=75°.故 BC=BF.
由(2)知:BA=BC,故 BA=BF。
∵∠ABF=60°,∴AB=BF=FA,又∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴∠FAG=∠G=30°.∴FG=FA=FB.
∵∠G=∠FBC=30°,∠DFG=∠CFB,FB=FG.
∴△BCF≌△GDF.
∴DF=CF,即點 F 是線段CD 的中點.
16.(1)證明:∵EF將矩形 ABCD分成面積相等的兩部分。
∴2AF=2n-2x.∴AF=n-x.
又∵EC=BC-BE=n-x.∴AF=EC.
(2)當直線 E'E 經過原矩形的頂點D時，如圖
∵DC=B'C=m,EC∥E'B',∴DE=E'E.
∴2EC=E'B'.即2(n-x)=x,
∴2n=3x.∴x:n=2:3.
17.(1)NE=MB且 NE⊥MB.
(2)成立.
理由：如下圖所示，連接AE.
∵E為CD中點、
又AB∥CD,即 AB∥CE,
∴四邊形ABCE為平行四邊形.
∵∠C=90°,∴四邊形 ABCE為矩形.
又 AB=BC,∴四邊形ABCE為正方形.
∴AE=AB.∵等腰直角三角形AMN中,
∴AN=AM,∠NAM=90°.
∴∠1+∠2=90°.
又∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.
∴△NAE≌△MAB.∴NE=MB.
延長 NE、BM交于點F.
由△NAE≌△MAB可得,∠AEN=∠ABM.
∴∠4=∠6.
∵∠5=∠6,∴∠4=∠5.
又∠EMF=∠BMC,∴∠EFB=∠C=90°.
∴BM⊥NE.
中考鏈接
18.(1)設 AB=10xkm.則AD=5xkm. CD=2xkm,
∵四邊形ABCD是等腰梯形,∴BC=AD=5xkm,
∴AD+CD+CB=12xkm.
∴外環公路的總長和市區公路長的比為12x：10x=6：5；
(2)由(1)可知，市區公路的長為 10xkm，外環公路的總長為12xkm,由題意得:
解這個方程得x=1.∴10x=10.
答：市區公路的長為10km.
19.(1)略
(2)解:如下圖所示.作 BH⊥AD. CK⊥AD.
則有 BC=HK,
∵∠BAD=45°,∴∠HAB=∠KDC=45°.
同理：
而
巔峰突破
20.(1)10;3 .
(2)如下圖(a)、(b)所示.
①∵△BEF 與梯形 ABCD 等高,梯形ABCD的高.
即
為常數).
∵0即 BF的長為:1cm、2cm、3cm.
21.(1)略.
(2)解：如下圖所示，延長CD和BE 的延長線交于H，
∵BF⊥CD,∠BEC=90°,∴∠HEC=90°.
∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°,
∴∠EBF=∠ECH.
∵BE=CE,∠BEC=∠CEH,∴△BEG≌△CEH(ASA).
∴EG=EH,BG=CH=DH+CD.
∵△BAE≌△CDE,∴∠AEB=∠GED,∠HED=∠AEB.∴∠GED=∠HED.
∵ED=ED,∴△GED≌△HED(SAS).
∴DG=DH,∴BG=DG+CD,
∵DG=2cm,BG=6cm,
∴CD=BG-DG=4(cm).

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