資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四節 線段中點的應用
一、課標導航
課標內容 課標要求 目標層次
線段的中點 會用線段的中點解決簡單問題 ★★
中位線 掌握三角形中位線定理，會用三角形中位線解決相關問題
二、核心綱要
線段的中點是幾何圖形中一個特殊的點，它關聯著三角形中線、直角三角形斜邊中線、中心對稱圖形、三角形中位線等豐富的知識，恰當地利用中點，處理中點是解與中點有關問題的關鍵，由中點想到什么 常見的聯想路徑有以下幾種.
1.倍長中線或類中線(與中點有關的線段)構造全等三角形與平行線
2.作直角三角形斜邊中線
3.構造中位線
4.構造等腰三角形三線合一
5.三角形的中線可以等分三角形的面積
若 D 是 BC 邊上的中點,則
6.中點四邊形
(1)定義：順次連接四邊形四邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形.
(2)常見的中點四邊形
①任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形；
②平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形；
③矩形的中點四邊形是菱形；
④菱形的中點四邊形是矩形；
⑤正方形的的中點四邊形是正方形；
⑥等腰梯形的中點四邊形是菱形.
本節重點講解：一個應用(中點的應用)，一個四邊形(中點四邊形).
三、全能突破
基礎演練
1.順次連接矩形四邊中點所得的四邊形一定是( ).
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
2.如圖 18-4-1 所示,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,點 M 為 BC 中點,MN⊥AC于點 N,則 MN 的長為( ).
A. B.
c.
3.如圖18-4-2 所示,在△ABC中,D為AC 邊的中點,E 為BD 中點,F 為CE 中點,若△ABD的面積為 4,則△BFC的面積為( ).
A.2 B.1
C.1.5 D.0.5
4.如圖18-4-3 所示,E、F、G、H 分別是BD、BC、AC、AD 的中點,且AB=CD.下列結論:①EG⊥FH,②四邊形 EFGH 是矩形,③HF平分∠EHG,④EG= ⑤四邊形 EFGH 是菱形.其中正確的個數是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如圖18-4-4 所示,在四邊形 ABCD 中,. ,M 為 BD 中點,N 為 AC 中點,求證:MN⊥AC.
6.如圖18-4-5 所示,在等邊△ABC中,P為AB 的中點,Q為AC 的中點,R 為BC 的中點,M 為RC 上任意一點,△PMS 為等邊三角形.求證:RM=QS.
7.如圖18-4-6 所示,在△ABC中,AC>AB,D點在AC 上,AB=CD,E、F 分別是BC、AD的中點,連接 EF 并延長,與 BA 的延長線交于點G,若∠EFC=60°,連接GD,判斷△AGD 的形狀并證明.
能力提升
8.如圖18-4-7 所示,已知△ABC 周長為1,連接△ABC 三邊中點構成第二個三角形，再連接第二個三角形三邊中點構成第三個三角形，以此類推，第 2013個三角形的周長為 .
9.如圖18-4-8 所示,在矩形ABCD中,AB=24,BC=26.先順次連接矩形各邊中點得菱形，又順次連接菱形各邊中點得矩形，再順次連接矩形各邊中點得菱形，以此類推，…，第10次連接的圖形的面積是 .
10.如圖 18-4-9 所示, 中, ,點 D 在 BC上,點 E、F分別是 AD、AB的中點,AD=BD.求證:CF是 的平分線.
11.如圖18-4-10 所示,在四邊形 ABCD中,CD>AB,AB與CD 不平行,E、F 分別是AC、BD 的中點.求證:
12.如圖18-4-11所示,在△ABC中,AD 是三角形的高,D 為垂足,點 E、F、G 分別是BC、AB、AC 的中點,求證:四邊形 EFGD是等腰梯形.
13.如圖18-4-12(a)所示,在△ACB 和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,點 E 在AB 上,F 是線段BD 的中點,連接CE、FE.
(1)請你探究線段CE與FE 之間的數量關系(直接寫出結果，不需說明理由)；
(2)將圖18-4-12(a)中的△AED繞點 A 順時針旋轉,使△AED 的一邊 AE 恰好與△ACB 的邊 AC在同一條直線上(如圖18-4-12(b)所示)，連接 BD，取 BD 的中點F，問(1)中的結論是否仍然成立，并說明理由；
(3)將圖18-4-12(a)中的△AED繞點A 順時針旋轉任意的角度(如圖18-4-12(c)所示),連接BD,取BD 的中點F，問(1)中的結論是否仍然成立，并說明理由.
14.如圖 18-4-13(a)所示,在矩形ABCD 中,BC=2AB,M為AD 的中點,連接 BM.
(1)請你判斷并寫出∠BMD是∠ABM的幾倍;
(2)如圖18-4-13(b)所示,在平行四邊形 ABCD中,BC=2AB,M 為AD 的中點,CE⊥AB 于點E,連接 EM、CM,請問:∠AEM與∠DME 是否也具有(1)中的倍數關系 若有,請證明;若沒有,請說明理由.
。
15.如圖 18-4-14所示,正方形 ABCD 和正方形 CGEF(CG>BC),連接AE,取線段 AE的中點M.
求證:FM⊥MD,且 FM=MD.
16.小明數學成績優秀，他平時善于總結，并把總結出的結果靈活運用到做題中是他成功的經驗之一，例如，總結出“依次連接任意一個四邊形各邊中點所得四邊形(即原四邊形的中點四邊形)一定是平行四邊形”后，他想到曾經做過的這樣一道題：如圖 18-4-15(a)所示，點 P 是線段AB 的中點，分別以 AP和BP 為邊在線段AB 的同側作等邊三角形APC 和等邊三角形BPD，連接AD 和 BC，他想到了四邊形 ABDC的中點四邊形一定是菱形.于是，他又進一步探究：
如圖 18-4-15(b)所示,若 P 是線段AB 上任一點,在 AB 的同側作△APC 和△BPD,使 PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,連接CD,設點 E、F、G、H 分別是AC、AB、BD、CD 的中點,順次連接 E、F、G、H.請你接著往下解決三個問題：
(1)猜想四邊形 ABDC的中點四邊形EFGH 的形狀，直接回答 ，不必說明理由；
(2)當點 P 在線段AB 的上方時,如圖 18-4-15(c)所示,在△APB 的外部作△APC 和△BPD,其他條件不變，(1)中結論還成立嗎 說明理由；
(3)如果(2)中,∠APC=∠BPD=90°,其他條件不變,先補全圖18-4-15(d)所示,再判斷四邊形 EF-GH 的形狀，并說明理由.
17.已知:在△ABC中,以 AC、BC為邊分別向形外作等邊三角形ACD 和BCE,M為CD 中點,N為CE中點,P為AB 中點.
(1)如圖 18-4-16(a)所示,當∠ACB=120°時,∠MPN 的度數為 ;
(2)如圖 18-4-16(b)所示,當∠ACB=α(0°<α<180°)時,∠MPN 的度數是否變化 給出你的證明.
基礎演練
1. C;2. C;3. B;4. C
5.如下圖所示,連接CM,AM,
∵∠DAB=∠BCD=90°,M為BD中點,
為等腰三角形.
∵N為AC 中點,∴MN⊥AC.
6.如下圖所示,連接PR、PQ,∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC=BC,∠A=∠B=∠C=60°.
∵△MPS是等邊三角形。
∴PS=PM,∠MPS=60°.
∵P為AB的中點,Q為AC 的中點,R為BC 的中點,
∴∠APQ=∠BPR=60°,∴∠RPQ=180°-2×60°=60°.
又∵∠QPS=∠MPS-∠MPQ=60°-∠MPQ.
∠RPM=∠RPQ-∠MPQ=60°-∠MPQ,
∴∠QPS=∠RPM.∴△PRM≌△PQS.
∴RM=QS.
7.△AGD是直角三角形
如下圖所示..連結 BD.取 BD的中點 H.連接 HF、HE.
∵F是AD 的中點,
同理，
∵AB=CD.∴HF=HE.
∴∠1=∠2.∵∠EFC=60°.
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°.
∴△AGF是等邊三角形.
∴AF=GF.∴GF=FD.∴∠FGD=∠FDG=30°.
∴∠AGD=90°.即△AGD 是直角三角形.
能力提升
8.22012 9.39/64
10.∵點 E、F分別是AD、AB的中點,
在△ABC中,∠ACB=90°.
∵E是AD的中點,
∵AD=BD,∴EF=CE.∴∠ECF=∠CFE.
∴∠FCD=∠ECF.即CF是∠ECB的平分線.
11.如下圖所示,取AD中點G,連接 EG、FG,
∵E是AC 的中點,∴EG是△ACD 的中位線.
同理可證：
在△EFG中.
12.∵點 E、F、G分別是BC、AB、AC的中點,
∵FE∥AC,DG與AC 是相交的,
∴DG與EF 不平行.∴四邊形 EFGD是梯形.
∵AD是三角形的高，∴△ADC是直角三角形.
∵DG 是斜邊上的中線，
∴DG=EF.∴梯形 EFGD是等腰梯形.
13.(1)如圖(a)所示,連接CF,線段CE與FE 之間的數量關系是
(2)(1)中的結論仍然成立.
如圖(b)所示,連接CF,延長 EF交 CB于點G.
∵∠ACB=∠DEC=90°.∴DE∥BC.
∴∠EDF=∠GBF.
又∵∠EFD=∠GFB,DF=BF,
∴△EDF≌△GBF.
∴EF=GF,BG=DE=AE.
∵AC=BC,∴CE=CG.
∴∠EFC=90°. CF=EF.
∴△CEF 為等腰直角三角形。
∴∠CEF=45°,∴CE=/2FE;
(3)(1)中的結論仍然成立.
如圖(c)所示,取AD的中點M,連接EM,MF,取AB的中點N,連接FN、CN、CF,
∵DF=BF,
∴FM∥AB,且
∵AE=DE,∠AED=90°,
∴AM=EM,∠AME=90°,
∵CA=CB,∠ACB=90°
∴MF∥AN,FM=AN=CN,
∴四邊形 MFNA為平行四邊形.
∴FN=AM=EM.∠AMF=∠FNA.
∴∠EMF=∠FNC,∴△EMF≌△FNC.
∴FE=CF,∠EFM=∠FCN.
由 MF∥AN,∠ANC=90°,可得∠CPF=90°,
∴∠FCN+∠PFC=90°,
∴∠EFM+∠PFC=90°.∴∠EFC=90°.
∴△CEF 為等腰直角三角形。
∴∠CEF=45°.∴CE= FE.
14.(1)∠BMD=3∠ABM.
(2)如下圖所示,延長 EM、CD交于點 F.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD.∴∠AEM=∠DFM.
又∵AM=DM,∠AME=∠DMF,
∴△AEM≌△DFM.
∴∠AEM=∠F. EM=FM.
∵AB∥CD,∴∠BEC=∠ECD.
∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°.∴∠ECD=90°.
∴MC=MF.∴∠MCF=∠F,
∴∠EMC=2∠F=2∠AEM.
又
∴∠DMC=∠MCF=∠F=∠AEM.
∴∠EMD=∠EMC+DMC=∠3∠AEM.
15.如下圖所示,過點 E 作AD 的平行線分別交DM、DC的延長線于 N、H,連接DF、FN.
∴∠ADC=∠H,∠3=∠4.
∵AM=ME,∠1=∠2,
∴△AMD≌△EMN,∴DM=NM,AD=EN.
∵四邊形ABCD 和CGEF 是正方形,
∴AD=DC,FC=FE,∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°.∠5=∠6=90°-∠8=∠NEF,DC=AD=NE.
又∵∠H=90°,∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°.
∴∠DCF=∠5=∠NEF.
∵FC=FE,∴△DCF≌△NEF.
∴FD=FN,∠DFC=∠NFE.
∵∠CFE=90°,
∴∠DFN=90°.即△DFN為等腰直角三角形.
又 DM=MN,∴FM⊥MD,MF=MD.
16.(1)四邊形 EFGH 是菱形.
(2)答:成立.
理由：如下圖所示，連接AD、BC.
∵∠APC=∠BPD,∴∠APD=∠CPB.
∵PA=PC,PD=PB,∴△APD≌△CPB.
∴AD=CB.
∵E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點,
∴EF、FG、GH、EH 分 別△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位線.
∴EF=FG=GH=EH.
∴四邊形 EFGH是菱形.
(3)判斷四邊形 EFGH 是正方形。
理由:連接AD、BC.
∵(2)中已證△APD≌△CPB,
∴∠PAD=∠PCB.
∵∠APC=90°.∴∠PAD+∠1=90°.
∵∠1=∠2,∴∠PCB+∠2=90°.
∴∠3=90°.
∵(2)中已證GH、EH 分別是△BCD、△ACD的中位線,
∴GH∥BC. EH∥AD.∴∠EHG=90°.
∵(2)中已證四邊 EFGH 是菱形.
∴菱形 EFGH 是正方形.
17.(1)∠MPN的度數為60°;
(2)∠MPN的度數不變,仍是60°,理由如下:證明：如下圖所示.取AC、BC的中點分別為F，G.連接MF、FP、PG、GN.
∵MF 是等邊三角形ACD 的中位線。
∵PG是△ABC的中位線。
∴PG= AC. PG∥AC.∴MF=PG.
同理:FP=NG,
∵PG∥CF,PG=CF,
∴四邊形 CFPG是平行四邊形，
∴∠CFP=∠CGP.
∴∠MFC+∠CFP=∠CGN+∠CGP.
即∠MFP=∠PGN.
∴△MFP≌△PGN.∴∠FMP=∠GPN.
∵PG∥AC,∴∠1=∠2,
在△MFP中,∠MFC+∠CFP+∠FMP+∠FPM=180°.
又∵∠MFC=60°.
∴∠CFP+∠FMP+∠FPM=120°.
∵∠CFP=∠1+∠3.
∴∠1+∠3+∠FMP+∠FPM=120°.
∵∠1=∠2,∠FMP=∠GPN.
∴∠2+∠3+∠GPN+∠FPM=120°.
又∵∠3+∠FPM+∠MPN+∠GPN+∠2=180°.
∴∠MPN=60°.
18.(1)NP=MN,∠ABD+∠MNP=180°
(2)點 M是線段EF 的中點.
證明：如下圖所示.分別連接 BE、CF.
∵四邊形ABCD是平行四邊形。
∴AD∥BC,AB∥DC,∠A=∠DCB.
∴∠ABD=∠BDC.
∵∠A=∠DBC.∴∠DBC=∠DCB.
∴DB=DC.①
∵∠EDF=∠ABD.∴∠EDF=∠BDC.
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC.
即∠BDE=∠CDF.②又 DE=DF.③
由①②③得△BDE≌△CDF.
∴EB=FC,∠1=∠2.
∵N、P分別為EC、BC的中點。
同理可得
∴NP=NM.
∵NP∥EB.∴∠NPC=∠4.
∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.
∵MN∥FC,
∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.
∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4=
∴∠ABD+∠MNP=180°.
19.(1)DE=2AM; (2)DE=2AM
(3)DE=2AM;
理由如下:如下圖所示,延長BA至 F,使 BA=AF,
則 AM是△BCF的中位線,CF=2AM.
∵∠BAE=∠EAF=∠CAD=90°.
又∵AE=AF=AB,AD=AC.
∴△AED≌△AFC.∴DE=CF.故 DE=2AM.
(4)DE=2AM,解法和(3)完全相同.
中考鏈接
22.(1)平行四邊形.
(2)證明：如下圖所示.連接AC.
∵E是AB的中點,F是BC的中點.
同理
綜上可得:EF∥HG,EF=HG.
∴四邊形 EFGH是平行四邊形。
巔峰突破
23.連接 BE.取中點 R.連接 MR、RN、PR、PN、NQ、RQ.
∵點M是AB的中點,R是BE 的中點。
∵R、N、P、Q分別為BE、CD、BC、DE的中點,
連接CE,
∴PR∥NQ. PR=NQ.
∴四邊形 PNQR 是平行四邊形。
∴RN與PQ互相平分.
∵點L是PQ的中點,∴點L是RN的中點.
∵點K是MN的中點。
24.如下圖所示,分別取 AP、BP的中點 M、N,并連接EM、DM、FN、DN.
=AM,
∴∠AMD=∠APB=∠BND.
∵M、N分別為直角三角形AEP、BFP斜邊的中點，
∴EM=AM=DN,FN=BN=DM,
∵DE=DF.∴△DEM≌△FDN(SSS).
∴∠EMD=∠FND.∴∠AME=∠BNF.
∴△AME、△BNF為頂角相等的等腰三角形,
∴∠PAE=∠PBF.

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