資源簡介

第二節(jié) 勾股定理的逆定理
一、課標導航
課標內容 課標要求 目標層次
勾股定理的逆定理 理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關系 ★
掌握勾股定理的逆定理 ★
會用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形
二、核心綱要
1.互逆命題和互逆定理
(1)互逆命題：如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，則這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.
(2)互逆定理：一般地，如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，它也是一個定理，稱做原定理的逆定理，稱這兩個定理互為逆定理.
注：每個命題都有逆命題，但每個定理不一定有逆定理.
2.勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長a、b、c滿足. 那么這個三角形是直角三角形.
注：(1)勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：
①確定最大邊(不妨設為c)；
②若 ，則△ABC是以∠C 為直角的直角三角形；
若 則此三角形為鈍角三角形(其中c為最大邊)；
若 則此三角形為銳角三角形(其中c為最大邊).
(2)定理中的a、b、c及( 只是一種表現(xiàn)形式，不能認為是唯一的.若三角形三邊長a，b，c滿足 那么以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊.
3.勾股數(shù)
滿足 的三個正整數(shù)a、b、c稱為勾股數(shù).
注:①常見的勾股數(shù)有:(3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17);(7,24,25);(9,40,41);(9,12,15);(12,16,20)等;
②如果(a,b,c)是一組勾股數(shù),那么(ak, bk, ck)也是一組勾股數(shù)(k為正整數(shù)).
4.證明垂直的方法
(1)根據(jù)垂直的定義，只需證明一個角是直角.
(2)根據(jù)勾股定理的逆定理證明.
本節(jié)重點講解：一個定理，一個方法.
三、全能突破
基礎演練
1.下列命題中，沒有逆定理的是( ).
A.內錯角相等，兩直線平行 B.相反數(shù)的絕對值相等
C.直角三角形中兩銳角互余 D.同位角相等，兩直線平行
2.下列線段不能組成直角三角形的是( ).
A. a=6,b=8,c=10
3.五根小木棒，其長度分別為7、15、20、24、25，現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形如圖 17-2-1 所示，其中正確的是( ).
4.三角形的三邊長為a、b、c，且滿足等式( ，則此三角形是( ).
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等邊三角形
5.判斷以下命題：
(1)在△ABC中,∠A=∠C--∠B,則△ABC為直角三角形. ( )
(2)在△ABC中, ，則△ABC是以∠A為直角的直角三角形. ( )
(3)在△ABC中,a:b:c=1:3: ，則△ABC為直角三角形. ( )
(4)在△ABC中,∠A:∠B:∠C=5:2:3,則△ABC為直角三角形. ( )
(5)在△ABC 中,. ，則△ABC為直角三角形. ( )
6.若△ABC中,(b-a)(b+a)=c ,則∠B= .
7.在△ABC中,AB=12cm,BC=16cm,AC=20cm,則 S△ABC為 .
8.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c,若 已知c=5，則最大邊上的高為 .
9.如圖17-2-2 所示,在四邊形 ABCD中,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四邊形 ABCD 的面積.
。
10.如圖 17-2-3所示,在四邊形 ABCD 中,∠B=90°,AB=BC=4,CD=6,DA=2,求∠DAB的度數(shù).
能力提升
11.如圖17-2-4 所示,在△ABC中,D 是 BC 的中點,若AB=5,AC=13,AD=6,則 BC的長為( ).
C.13 D.12
12.若△ABC的三邊長a、b、c滿足條件( ,則△ABC 的面積為( ).
A. B.30 C.32.5 D.78
13.如圖17-2-5 所示,在△ABC中,CD⊥AB于點D,且滿足( ,則∠ACB=( ).
A.30° B.45° C.60° D.90°
14.已知 與z -10z+25互為相反數(shù)，則以x、y、z為三邊的三角形是 三角形.
15.如圖 17-2-6 所示,P是正三角形ABC 內的一點,且 PA=6,PB=8,PC=10.若將△PAC繞點A 逆時針旋轉后,得到△PAB,則點 P 與點P'之間的距離為 ,∠APB= °.
16.(1)若△ABC 的三邊長為a、b、c,且滿足 則△ABC的形狀是 .
(2)閱讀下列解題過程：已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足 試判斷△ABC 的形狀.
解: a
b
c
∴△ABC是直角三角形. d
問：①上述解題過程是從哪一步開始出現(xiàn)錯誤的 請寫出該步的代號 ；
②錯誤的原因是 ；
③寫出正確的解答過程.
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17.如圖17-2-7 所示，南北向 MN為我國的領海線，即 MN 以西為我國領海，以東為公海.上午9 時50分，我國反走私艇 A 發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇C 以每小時13 海里的速度偷偷向我領海開來，便立即通知正在線上巡邏的我國反走私艇 B 密切注意，A 和C 兩艇的距離是13 海里，A 和B 兩艇的距離是5 海里，反走私艇 B 測得距離C 艇是 12 海里，若走私艇C的速度不變，最早會在什么時間進入我國領海
18.圖17-2-8(a)所示為一上面無蓋的正方體紙盒，現(xiàn)將其剪開展成平面圖，如圖17-2-8(b)所示.已知展開圖中每個正方形的邊長為1.
(1)求在該展開圖中可畫出最長線段的長度 這樣的線段可畫幾條
(2)試比較立體圖中∠BAC 與平面展開圖中. 的大小關系
19.如圖17-2-9 所示,四邊形 ABCD 的三邊 AB、BC、CD 和BD 都是5cm,動點 P 從點A 出發(fā)(A→B→D)到點 D,速度為2cm/s,動點 Q從點 D 出發(fā)(D→C→B→A)到點 A,速度為2.8cm/s,5 秒后,點 P、Q 相距3cm,求 AD的長.
20.如圖 17-2-10 所示,在正方形 ABCD 中,E 是 BC 的中點,F 為 CD 上一點,且 求證：△AEF 是直角三角形.
21.已知,在 Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于點 D,設 BC=a,AC=b,AB=c,CD=h,求證:
(1)以a+b、h、c+h為邊的三角形是直角三角形.
(2)c+h>a+b.
中考鏈接
22.(四川巴中)已知a、b、c是△ABC的三邊長,且滿足關系 則△ABC的形狀為 .
23.(江西南昌)如圖17-2-11.所示,把矩形紙片 ABCD 沿EF 折疊,使點B 落在邊AD 上的點B'處,點 A落在點 A'處;
(1)求證:B'E=BF.
(2)設 AE=a,AB=b,BF=c,i試猜想a、b、c 之間的一種關系，并給予證明.
巔峰突破
24.在銳角△ABC中,已知某兩邊a=1,b=3,那么第三邊 c的變化范圍是( ).
A.225.如圖 17-2-12 所示,在 四 邊 形 ABCD 中,∠ADC+∠ABC=90°, 求 BD的長.
基礎演練
1. B;2. D;3. C;4. B
5.(1) ;(2)×;(3) ;(4) ;(5) .
6.90°;7.96cm ;8.
9.連接AC.
∵AB⊥BC,∴∠B=90°.
在Rt△ABC中,AC =AB +BC ,AB=1,BC=2,
∴AC =AB +BC =5.∴AC= .
∵CD=2,AD=3.
∴AC +CD =5+4=9=AD .∴∠ACD=90°.
10.連接AC,
在 Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=4,
∴∠BAC=45°.
∴AC =AB +BC =16+16=32.
∵CD=6,DA=2,
在△ADC中,AD +AC =4+32=36=CD ,
∴△ADC 是直角三角形.∠DAC=90°.
∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°.
能力提升
11. B;12. B;13. D;14.直角;15.6.150
16.(1)等腰三角形或直角三角形
(2)①c;
②等式兩邊不能同時除以 因為 可能等于0；
或
∴a=b或
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形。
17.設 MN與AC 相交于E,則∠BEC=90°.
∴△ABC 為直角三角形,∠ABC=90°.
由于 MN⊥CE，所以走私艇C進入我領海的最短的距離是CE.
解得：
9時50分+51分=10時41分
即走私艇C最早在10時41分進入我領海。
18.(1)在平面展開圖中可畫出最長的線段長為 /10.如圖(a)中的 A'C',在 Rt△A'C'D'中,
由勾股定理得：
答：這樣的線段可畫4條(另三條用虛線標出).
(2)∵立體圖中∠BAC為平面等腰直角三角形的一銳角，∴∠BAC=45°.
在平面展開圖中，連接線段 BC'.由勾股定理可得：
又‘
由勾股定理的逆定理，可得△A'B'C'為直角三角形.
又
∴△A'B'C'為等腰直角三角形.
∴∠BAC與∠B'A'C'相等.
19.如下圖所示,運動5s后點 P 運動了:2×5=10(cm).點 Q運動了:2.8×5=14(cm).
∵AB=BD=CD=BC=5,
∴點 P到達點D,BQ=4,AQ=1.
在△BDQ中,PQ=3,BD=5,BQ=4.
∴∠BQD=90°.
在 Rt△AQD中,AD =AQ +QD =1 +3 =10.
20.如下圖所示，延長 FE交AB 的延長線于點G，
∵∠C=∠GBE=90°. CE=BE.∠1=∠2.
∴△CEF≌△BEG.∴EF=EG,CF=BG.
設正方形 ABCD的邊長為a，則
在 Rt△ADF 中,根據(jù)勾股定理,得.
∵EF=EG,∴AE⊥FG.
∴∠AEF=90°.∴△AEF 是直角三角形.
在 Rt△ABC 中,根據(jù)勾股定理,得
∴以a+b、h、c+h為邊的三角形是直角三角形.
(2)由(1)可得:
∵c+h>0. a+b>0.∴c+h>a+b.
中考鏈接
22.等腰直角三角形
23.(1)如下圖所示,由題意得 BF=BF,∠BFE=∠BFE,在矩形ABCD 中,AD∥BC.
(2)答：a. b. c三者關系不唯一.有兩種可能情況：
(i)a. b. c三者存在的關系是(
如圖所示，連結 BE，則.
由(1)知B'E=BF=c,∴BE=c.
在△ABE中..
∵AE=a,AB=b,∴a +b =c .
a、b、c三者存在的關系是:a+b>c.
如下圖所示，連結 BE，則.
由(1)知B'E=BF=c.∴BE=c.
在△ABE中,AE+AB>BE,∴a+b>c.
巔峰突破
24. D
25.如下圖所示.作∠CDE=∠ADB,且DE=DB,連接BE,延長 DC交 BE 于點F.
∵AD=CD,∴△ADB≌△CDE.
∴AB=CE.∠DAB=∠DCE.
∵AB=BC=3,∴BC=CE=3.
∵DE=DB,∴DC垂直平分BE.
∴∠DFE=90°.
∵∠DAB+∠ADC+∠DCB+∠ABC=360°.
∠ADC+∠ABC=90°,
∴∠DAB+∠DCB=270°.
∴∠DCE+∠DCB=270°.∴∠BCE=90°.
∴△BCE是等腰直角三角形.∴∠CEF=45°.
∵∠DFE=90°,
∴∠CEF=∠ECF=45°.∴CF=EF.
在 Rt△CEF 中,根據(jù)勾股定理,得
在 Rt△DEF 中,根據(jù)勾股定理,得

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