資源簡介

第三節 勾股定理及逆定理的綜合
一、課標導航
課標內容 課標要求 目標層次
勾股定理及逆定理 利用勾股定理及逆定理解決有關問題
二、核心綱要
1.勾股定理與逆定理
勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系，其逆定理是判斷直角三角形的一種方法.綜合應用勾股定理及逆定理，可以解決很多幾何問題，其一般步驟是：先應用勾股定理的逆定理證明已知圖形(或添加輔助線后的圖形)中的某個三角形為直角三角形，然后再應用勾股定理解決問題.
2.直角三角形的性質
(1)角的關系：兩銳角互余.
(2)邊的關系：勾股定理.
(3)邊角關系：30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.
這些性質在求線段的長度，證明線段的倍分關系，證明線段的平方關系等問題時有廣泛的應用.
3.勾股定理及逆定理的應用
勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體.通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決.
掌握一些常見的基本圖形：
本節重點講解：勾股定理及逆定理的應用
三、全能突破
基礎演練
1.下面的判斷：
①在△ABC中,( ,則△ABC 不是直角三角形;②△ABC 是直角三角形,∠C=90°,則.
③若△ABC中, ,則△ABC是直角三角形;④若△ABC是直角三角形,則(c-a)(a+c)=b ;以上判斷正確的有( ).
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
2.圖17-3-1所示是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構成一個直角三角形，兩直角邊分別為 6m和8m.按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連接管道，則O到三條支路的管道總長(計算時視管道為線，中心O為點)是( ).
A.2m B.3m
C.6m D.9m
3.如圖17-3-2 所示,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB 的垂直平分線交 BC 于點D,垂足為 E,BD=4cm.則CD 的長為 .
4.如圖17-3-3 所示，在一棵樹的10米高 B 處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處；另一只爬到樹頂 D后直接躍到A 處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，則這棵樹高 米.
5.一張直角三角形的紙片，按圖 17-3-4 所示折疊，使兩個銳角的頂點 A、B 重合，若 則 DC 的長為 .
6.如圖17-3-5 所示,折疊長方形的一邊 AD,使點 D 落 在 BC 邊的點 F 處,已知AB=8cm,BC=10cm,求△EFC的面積.
7.如圖 17-3-6 所示,在. 中, 求 S△ABC的面積. 。
能力提升
8.某市在“舊城改造”中計劃在市內一塊如圖17-3-7 所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環境，其中. 米,AC=30米.已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要 元.
9.如圖17-3-8 所示,長方形 ABCD中,AB=8,BC=4,將長方形沿 AC折疊,點 D 落在 D'處,則重疊部分△AFC的面積是 .
10.如圖17-3-9 所示,把長方形 ABCD 紙片折疊,使點 B 落在點D 處,點C 落在C'處,折痕EF 與BD 交于點O,已知AB=16,AD=12,則折痕 EF的長為 .
11.如圖17-3-10所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P 是△ABC內的一點,且 PB=1,PC=2,PA=3,將△PBC繞點C 旋轉后,與△AP'C 重合,連接 PP',則. 的度數為 .
12.等腰三角形的一邊長是 12，另一邊長是10，則其面積為 .
13.如圖 17-3-11所示,公路 MN 和公路 PQ 在點 P 處交匯,且∠QPN=30°,點 A 處有一所中學,AP=160m.假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN 上沿 PN 方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響 請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為 18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒
14.如圖17-3-12 所示，在一筆直的公路 MN 的同一旁有兩個新開發區A、B，已知AB=10 千米，直線AB 與公路MN 的夾角 ,新開發區 B到公路 MN 的距離BC=3千米.
(1)求新開發區 A 到公路MN 的距離；
(2)現要在 MN 上某點 P 處向新開發區 A、B修兩條公路PA、PB，使點 P 到新開發區A、B的距離之和最短.請你用尺規作圖在圖中找出點 P 的位置(不用證明，不寫作法，保留作圖痕跡)，并求出此時 PA+PB的值.
15.(1)如圖 17-3-13 所示,已知,在等腰 Rt△ABC 中, 點P 在線段BC 上,且 PC=2,
①若點 D在線段AB 上運動，求 PD 的最小值；
②若點 P 從初始位置先運動到AC 邊上，再運動到AB 邊上，求點 P 運動的最短路徑.
(2)如圖 17-3-14 所示,已知,在△ABC中,AC=8,BC=6,∠ACB=90°,點P 在線段BC 上，且 PC=2，若點 P 從初始位置先運動到AC 邊上，再運動到AB邊上，求點 P運動的最短路徑.
16.在△ABC中,AB、BC、AC三邊的長分別為、 求這個三角形的面積.小寶同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格(每個小正方形的邊長為1)，再在網格中畫出格點△ABC(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處)，如圖17-3-15(a)所示.這樣不需求△ABC 的高，而借用網格就能計算出它的面積.
(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上 .
思維拓展
(2)我們把上述求△ABC 面積的方法叫做構圖法.若△ABC 三邊的長分別為 (a>0)，請利用圖17-3-15(b)的正方形網格(每個小正方形的邊長為a)畫出相應的△ABC，并求出它的面積填寫在橫線上 .
探索創新
(3)若△ABC中有兩邊的長分別為 且△ABC 的面積為 2a ，試運用構圖法在圖17-3-15(c)的正方形網格(每個小正方形的邊長為a)中畫出所有符合題意的△ABC(全等的三角形視為同一種情況)，并求出它的第三條邊長填寫在橫線上 .
(4)利用上述解題方法完成下題：如圖 17-3-15(d)所示，一個六邊形綠化區 ABCDEF 被分割成 7 個部分,其中正方形 ABQP、CDRQ、EFPR 的面積分別為 13、20、29,且△PQR、△BCQ、△DER、△APF的面積相等，求六邊形綠化區 ABCDEF 的面積.
17.如圖17-3-16 所示,在等腰直角△ABC中,. 點 D 是斜邊BC 的中點,點 F、E分別為AB、AC邊上的點,且 DE⊥DF.
(1)證明:
(2)若 BF=12,CE=5,求△DEF的面積.
18.如圖 17-3-17 所示,在△ABC中,AM 是BC 邊的中線,AE 為BC 邊上的高.試判斷 與 的關系.并說明理由.
19.如圖17-3-18 所示,已知:∠C=90°,AM=CM,MP⊥AB于點 P.求證：
20.如圖17-3-19 所示,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于點D,BE平分∠CBA 交 CD于點 F,交CA于點 E,且 FG∥AB交CA于點G,若 BC=13,BD=5,
(1)判斷△CEF的形狀.
(2)求 AG的長.
21.【背景材料】小穎和小強在做課后習題時,遇到這樣一道題:“已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CA=CB,∠MCN=45°,如圖17-3-20(a)所示,當點 M、N在AB 上時,則
小穎的解題思路:如圖 17-3-20(b)所示,將△ACM 沿直線 CM 對折,得△A'CM,連 A'N,進而證明△A'CN≌△BCN,結論得證.
中小學教育資源及組卷應用平臺
【解決問題】當 M在 BA 的延長線上，點 N在線段AB 上，其他條件不變，如圖17-3-20(c)所示，關系式 是否仍然成立 根據上述材料請你幫助小穎判斷結論，并給出證明.
中考鏈接
22.(山東煙臺)如圖 17-3-21 所示,在四邊形 ABCD 中,
(1)求證:AB=BC.
(2)當 BE⊥AD 于點E 時,試證明:BE=AE+CD.
23.(山東荷澤)如圖17-3-22所示,OABC 是一張放在平面直角坐標系中的長方形紙片，O 為原點，點 A 在 x 軸的正半軸上，點 C 在 y 軸的正半軸上，OA=10,OC=8,在 OC 邊上取一點 D,將紙片沿 AD 翻折,使點O落在 BC 邊上的點 E 處，求 D、E兩點的坐標.
巔峰突破
24.如圖17-3-23 所示,ABCD 是一張長方形紙片,將AD、BC折起,使A、B 兩點重合于CD 邊上的點P，然后壓平得折痕 EF 與GH.若PE=8cm,PG=6cm,EG=10cm.則長方形紙片 ABCD 的面積為( ).
A.105.6 B.110.4 C.115.2 D.124.8
25.探究:如圖17-3-24 所示,C 為線段BD上一動點,分別過點 B、D作 ,連接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,設CD=x.
(1)用含 x的代數式表示 AC+CE的值.
(2)請問點 C滿足什么條件時，AC+CE的值最小
(3)根據(2)中的規律和結論，請構圖求出代數式 的最小值.
拓展：仿照上面的方法，請用構圖法求出代數式 (x是任意實數)的最大值.
基礎演練
1. C 2. C. 3.2cm 4.15. 5.1
6.由折疊可知:△ADE≌△AFE.
∴AD=AF=BC=10. DE=EF.
在 Rt△ABF中,根據勾股定理,得
∴CF=BC-BF=4.
設 DE=x,則CE=8-x,
在 Rt△CEF 中,根據勾股定理,得CE +CF =EF ,
解得:x=5.∴EC=3(cm).
7.過點 A 作 AD⊥BC于點 D,
∴∠ADB=90°.
∵∠B=45°,∴∠BAD=∠B=45°.∴AD=BD.
在 Rt△ABD 中,根據勾股定理,得AD +BD =AB .
∴2AD =AB =2.∴AD=BD=1.
在 Rt△ACD中,∠C=30°,∴AC=2AD=2.
∴BC=BD+DC=1+ .
能力提升
8.150a;9.10;10.15;11.2 ;135°
12.48或
13.過點 A作AB⊥MN,垂足為 B,
在 Rt△ABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°,AP=160,
∵點 A 到直線MN 的距離小于 100m。
∴這所中學會受到噪聲的影響.
如下圖所示，假設拖拉機在公路 MN上沿 PN 方向行駛到點C 處學校開始受到影響，那么AC=100。
由勾股定理得：
同理，拖拉機行駛到點 D 處學校開始脫離影響，那么AD=100,BD=60,∴CD=120(m).
拖拉機行駛的速度為:18km/h=5m/s,t=120÷5=24(s).
答：拖拉機在公路 MN上沿 PN 方向行駛時，學校會受到噪聲影響，學校受影響的時間為24秒。
14.(1)∵BC=3,∠AOC=30°.
∴OB=6.
如下圖所示,過點 A 作AE⊥MN 于點 E,AO=AB+OB=16.
∴AE=8.即新開發區A到公路的距離為8千米.
(2)如下圖所示，作點B關于MN的對稱點 D，連接AD交MN 于點 P,連接 PB,則點 P 即為所求.過點 D作 DF⊥AE交AE 的延長線,垂足為 F,過 B 作 BG⊥AE于點G,
∴BG=DF,EF=CD=BC=3,∠AOM=∠ABG=30°.在 Rt△ABG中,AB=10,∠ABG=30°,∴AG= AB=5.在 Rt△ABG中. 又AF=AE+EF=8+3=11.
∵PB=PD.∴PA+PB=PA+PD=AD=14(千米).
15.(1)①如下圖所示,過點 P作PD⊥AB于點 D.
∴∠PDB=90°.
∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°.
∴∠BPD=∠B=45°.∴PD=BD.
在 Rt△PBD中,根據勾股定理,得 即
∵PC=2,BC=4,∴PB=2.
②如下圖所示，作點 P 關于AC的對稱點P',過點 P'作P'E⊥AB于點E,交 AC 于點F.連接 PF.則PF+EF即為所求的最短路徑.
由①可知.△P'EB 是等腰直角三角形.
由作圖可知，
在 Rt△P'EB 中,根據勾股定理,得
∴PF+EF的最小值為3/2.
(2)如下圖所示,作點 P 關于 AC的對稱點 P',過點 P'作 P'E⊥AB交AC 于點D.連接 PD.
則點 P 運動的最短路徑為：
在 Rt△ABC中,根據勾股定理,得 AB =AC +BC .
16.(1)△ABC的面積為
(2)如圖(a)所示,△ABC的面積為
(3)圖中三角形為符合題意的三角形，如圖(b)所示.第三邊長為2√ a或4a.
(4)由構圖法可知:S△PQR=8.
∴六邊形花壇ABCDEF的面積為：
+29+8×4=94.
17.(1)如下圖所示,延長 FD至點G,使DG=DF,連接CG、EG,
∵BD=DC,∠1=∠2,∴△BDF≌△CDG.
∴BF=CG,∠B=∠DCG.
∵DE⊥DF,DF=DG,∴EF=EG.
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°.∴∠DCG=45°.
∴∠ECG=∠ACB+∠DCG=90°.
在 Rt△ECG中,根據勾股定理,得
(2)如下圖所示,連接AD,
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,AD=DC,∠BAD=∠C=45°.∴∠ADC=90°.
∵DE⊥DF,∴∠EDF=90°.
∴∠ADF+∠ADE=∠ADE+∠CDE.即∠ADF=∠CDE.∴△ADF≌△CDE.
∴DE=DF,AF=EC.
∴AB=AC=AF+BF=17.∴AE=12.
在 Rt△AEF 中,根據勾股定理,得
在 Rt△DEF 中,根據勾股定理,得
18.結論:AB +AC =2(AM +BM ).
證明:在 Rt△ABE中,根據勾股定理,得AB =AE +BE ,在 Rt△ACE 中,根據勾股定理,得AC =AE +EC 。
∵BE=BM-EM,EC=EM+CM,BM=CM,
2AE +2BM +2EM .
在 Rt△AME中,根據勾股定理,得
∴AB +AC =2AE +2BM +2EM =2(AE +EM )+2BM =2AM +2BM .
∴AB +AC =2(AM +BM ).
19.如下圖所示.連結 BM.在 Rt△BMP 中.根據勾股定理,得 BP =BM -MP .
在 Rt△AMP中,根據勾股定理,得MP =AM -AP .
∴BP =BM -(AM -AP )=BM -AM +AP .
又:
在 Rt△BCM 中,根據勾股定理,得BM -CM =BC ,
∴BP =BC +AP .
20.(1)∵∠ACB=90°,∴∠1+∠5=90°.
∵CD⊥AB,∴∠2+∠3=90°.
∵BE平分∠CBA,∴∠1=∠2.∴∠3=∠5.
∵∠3=∠4,∴∠4=∠5.∴CE=CF.
∴△CEF 是等腰三角形.
(2)如下圖所示.過點 E作EH⊥AB于點H.連接 HF.
∵∠1=∠2,BE=BE,∠ECB=∠EHB,
∴△ECB≌△EHB.∴CB=HB. CE=EH.
∴DH=BH-BD=13-5=8.
在 Rt△BCD中,根據勾股定理,得
∵CB=HB,∠1=∠2,BF=BF.
∴△BFC≌△BFH.∴CF=HF.
設 DF=x,則CF=12-x.∴HF=12-x.
在 Rt△DHF中.根據勾股定理.得 HF =DF +DH .
解得：
∠CFG=∠CDA=∠EHA=90°.
∵CE=CF,∴CF=EH.∴△CGF≌△EAH.
∴CG=EA.∴AG=EC= .
21.結論:關系式 MN =AM +BN 仍然成立.
證法一：如下圖所示，將△CNM 沿直線CN 對折，得△CNE,連 BE,
∴△CNM≌△CNE.
∴CM=CE,MN=EN,∠MCN=∠ECN=45°.
∴∠MCE=90°
∵∠ACB=90°,∴∠1=∠2.
∵CA=CB,∴△CMA≌△CEB.
∴BE=AM,∠CAM=∠CBE.
∵∠CAB=∠CBA=45°.
∴∠CAM=∠CBE=135°.∴∠NBE=90°.
在 Rt△NBE 中,根據勾股定理,得 EN =BN +BE .
∴MN =AM +BN .
證法二：如下圖所示.將△ACM沿直線CM 對折.得到△GCM,連接GN.
∴△GCM≌△ACM.
再證:△GCN≌△CBN,∴BN=GN.
最后證明:∠MGN=90°.問題得證.
中考鏈接
22.(1)如下圖所示,連接 AC.
∵∠ABC=90°,∴AB +BC =AC .
(2)過C作CF⊥BE于點F.
∵BE⊥AD,CD⊥AD.
∴CD=EF,∠CBF=∠BEA=90°.
∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°.
∴∠BAE=∠CBF.
∵AB=BC,∴△BAE≌△CBF.
∴AE=BF.∴BE=BF+EF=AE+CD.
23.依題意可知,折痕 AD 是四邊形OAED 的對稱軸,∵在 Rt△ABE中. AE=AO=10. AB=8.
∴CE=4.∴E(4.8).
在 Rt△DCE中,根據勾股定理,得
DC +CE =DE ,又DE=OD,
∴(8-OD) +4 =OD .∴OD=5.∴D(0.5).
巔峰突破
24. C
25.探究:(
(2)當A、C、E三點共線時,AC+CE的值最小.
(3)如下圖所示,作 BD=12,過點 B 作AB⊥BD,過點 D作ED⊥BD,使AB=3. ED=2,連結AE交 BD 于點C. AE的長即為代數式. 的最小值.
過點A 作AF∥BD交ED的延長線于點F.
則∠F=90°,則AB=DF=3,AF=BD=12.
即 的最小值為13.
拓展:如下圖所示,作 OA=4,過點 A 作AB⊥OA,如圖AB=3. OC=2.連結BC交x軸負半軸于點D,BC的長即為代數式 的最大值.
過點C作CE⊥AB.則AE=OC=2. CE=OA=4.
∴BE=1.
在 Rt△CBE中,根據勾股定理,得.
即 的最大值為

展開更多......

收起↑