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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第二節(jié) 二次根式的運(yùn)算
一、課標(biāo)導(dǎo)航
課標(biāo)內(nèi)容 課標(biāo)要求 目標(biāo)層次
二次根式的乘除 理解二次根式的乘除法運(yùn)算法則 ★
會進(jìn)行二次根式的化簡 ★★
☆分母有理化 了解分母有理化的概念，并會簡單的分母有理化 ★
☆有理化因式 了解有理化因式的概念 ★
二次根式的加減 理解二次根式的加減法運(yùn)算法則 ★
會進(jìn)行二次根式的化簡 ★★
二次根式的混合運(yùn)算 會進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算 ★★
比較二次根式的大小 會比較簡單的二次根式的大小 ★★
二、核心綱要
1.二次根式的乘除
(1)乘法: 即兩個二次根式相乘，被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.
(2)除法: 即兩個二次根式相乘，被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.
(3)乘法公式的推廣：(
③( ±√b) =a+b±2√ab,( +√b)(√a-√b)=a-b;
).
(4)充分利用 2 .
注：結(jié)果必須化為最簡二次根式.
2.二次根式的加減
(1)二次根式的加減的實質(zhì)：先化簡(化為最簡二次根式)，后合并(合并同類二次根式).
(2)二次根式的加減步驟
①一化：將每個二次根式化為最簡二次根式；
②二找：找出同類二次根式；
③三合并：合并同類二次根式.
3.二次根式的混合運(yùn)算
先算乘方(或開方)，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的；能利用運(yùn)算律或乘法公式進(jìn)行運(yùn)算的，可適當(dāng)改變運(yùn)算順序進(jìn)行簡便運(yùn)算.
注：(1)原來學(xué)習(xí)的運(yùn)算律(結(jié)合律、交換律、分配律)仍然適用.
(2)進(jìn)行根式運(yùn)算時，要正確運(yùn)用運(yùn)算法則和乘法公式，分析題目特點，掌握方法與技巧，以便使運(yùn)算過程簡便.二次根式運(yùn)算結(jié)果必須是最簡二次根式.另外，與根式相乘的因數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)，必須寫成假分?jǐn)?shù).例如： 不能寫成：
4.分母有理化
(1)分母有理化：把分母中的根號化去，叫做分母有理化.
(2)有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則稱兩個代數(shù)式互為有理化因式.
(3)常用的有理化因式
與 與 與 等互為有理化因式.
(4)分母有理化步驟
先將二次根式化簡，找分母最簡有理化因式；然后將計算結(jié)果化為最簡二次根式的形式.
5.比較二次根式的大小的常用方法
(1)被開方數(shù)法:當(dāng)a≥0,b≥0時,若要比較形如( 與b√b的兩數(shù)大小，可先把根號外的非負(fù)因數(shù)a與b平方后移入根號內(nèi)，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進(jìn)行比較.
(2)平方法:①如果a>b>0,則 ②如果0(3)估算法：若一個非負(fù)數(shù)a介于另外兩個非負(fù)數(shù)a 、a 之間，即( 時，它的算術(shù)平方根也介于 之間，即：
(4)倒數(shù)法：設(shè)a、b為任意兩個正實數(shù)，先分別求出a與b的倒數(shù)，再根據(jù)“當(dāng) 時,a>b;當(dāng) 時,a=b;當(dāng) 時,a(5)作差法:在對兩數(shù)比較大小時,經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì):①a-b≥0 a≥b;②a-b≤0 a≤b.
(6)分母有理化法：通過分母有理化，利用分子的大小來比較.
☆(7)分子有理化法：通過分子有理化，利用分母的大小來比較.
本節(jié)重點講解：一個方法，兩個概念，兩個運(yùn)算.
三、全能突破
基礎(chǔ)演練
1.下列計算正確的是( ).
2.計算 等于( ).
C.3
3.計算 的結(jié)果是( ).
4.下列運(yùn)算正確的是( ).
5.如果 那么a與b的關(guān)系為( ).
A.互為相反數(shù) B.互為倒數(shù) C.互為有理化因式 D.相等
6.與 相乘，結(jié)果為有理數(shù)的因式為( ).
7.計算:
8.比較下列二次根式的大小：
與 與
與 和
L
9.閱讀下面的解題過程，判斷是否正確 若不正確，請寫出正確的解答.
已知m為實數(shù)，化簡：
解：原式
能力提升
10.等式 成立的條件是( ).
A. a>0,b>0
11.(1)計算 的正確結(jié)果是( ).
A. a/b D.1
(2)若 則x的值等于( ).
A.4 B.±4 C.8 D.±8
12.估計 的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在( ).
A.6到7之間 B.7 到8之間 C.8到 9之間 D.9到 10之間
13.化簡 甲，乙兩同學(xué)的解法如下：
甲乙
對于甲，乙兩同學(xué)的解法，正確的判斷是( ).
A.甲，乙解法都正確 B.甲正確，乙不正確 C.甲，乙都不正確 D.乙正確，甲不正確
的立方根是( ).
15.若整數(shù) m滿足條件 且 則m的值是 .
16.一個等腰三角形的兩邊長分別是2 和3 則這個等腰三角形的周長為 .
17.(1)已知正數(shù)a和b,有下列命題:
①若a+b=2,則 ②若a+b=3,則 則 ③若a+b=6,則
根據(jù)以上三個命題所提供的規(guī)律猜想：若a+b=9，則
(2)計算 ，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，
判斷 與 (n為大于1 的整數(shù))的值的大小關(guān)系為 .
18.不等式 的最大整數(shù)解為 .
19.已知 且020.計算及化簡：
(3)計算:
21.已知a<0, ab<0,化簡
22.先觀察下列等式，再回答問題：
(1)根據(jù)上面三個等式，請猜想 的結(jié)果(直接寫出結(jié)論).
(2)根據(jù)上面各等式反應(yīng)的規(guī)律，試寫出用含 n(n為正整數(shù))表示一般規(guī)律的等式，并加以驗證.
(3)根據(jù)上述規(guī)律，解答問題：
設(shè) 求不超過 m的最大整數(shù)[m]是多少
中考鏈接
23.(湖北孝感)下列計算正確的是( ).
24.(上海)在下列各式中,二次根式. 的有理化因式是( ).
25.(上海)計算:
巔峰突破
26.計算 的值等于( ).
A.6
27.已知 那么a,b,c的大小關(guān)系是( ).
A. a基礎(chǔ)演練
1. B;2. D;3. D;4. D;5. A;6. D
7.(1)7/5+2/2;(2)2 ;(3)2+4/ ;
(7)(5x-1)/x;(8)- /6a.
(3) - ∵/7- >0. -/ >0.
∴()>0.
即: - > .
注：此題也可以采用平方法比較.
9.不正確.
正確解答：由題意得：
∴原式
=m /-m+ /-m
=(m+1)/=m
能力提升
10. B:11.(1)A;(2)C;12. C;13. A;14. A
15.-1或0:16.4/3+3/2或6/2+2/3
17.(1) ;(2)P>Q;18.-4;19.2
20.(1)原式
(2)原式
①當(dāng)a≠b時,
原式
②當(dāng)a=b時,原式
(3)原式
(4)原式
21.∵a<0, ab<0,∴b>0.
∴a-b-3/2<0,b-a+ >0.
∴原式
驗證：
(3)由(2)得:
∴不超過m的最大整數(shù)[m]=2012.
中考鏈接
23. C;24. C;25.-2 .
巔峰突破
26. A;27. B

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