資源簡介

8.2.1一元線性回歸模型+8.2.2一元線性回歸模型
第一練 練好課本試題
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.理解殘差圖，殘差標，會求殘差，培養數學運算，如第5題.
2.會利用一元回歸模型求解實際問題，鍛煉數學建模能力，運算求解能力，如第3題.
一、解答題
1．如果散點圖中所有的散點都落在一條斜率為非0的直線上，請回答下列問題：
(1)解釋變量和響應變量的關系是什么？
(2)是多少？
2．一個車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗，收集數據如下表所示.
零件數x個 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
加工時間ymin 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
(1)畫出散點圖；
(2)建立加工時間關于零件數的一元線性回歸模型（精確到0.001）；
(3)關于加工零件的個數與加工時間，你能得出什么結論？
3．在某地區的一段時間內觀測到的不小于某震級x的地震數N的數據如下表：
震級x 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0
地震數N 28381 20380 14795 10695 7641 5502 3842 2698 1919 1356 973
震級x 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0
地震數N 746 604 435 274 206 148 98 57 41 25
試建立經驗回歸方程表示二者之間的關系，該模型對預測地震有幫助嗎？（、精確到整數，相關系數精確到0.001）
4．人口問題是關乎國計民生的大問題.下表是1949~2016年中國的人口總數（摘自《中國統計年鑒2017》）.
年份 總人口/萬人 年份 總人口萬人 年份 總人口萬人
1949 54167 1982 101654 2000 126743
1950 55196 1983 103008 2001 127627
1951 56300 1984 104357 2002 128453
1955 61465 1985 105851 2003 129227
1960 66207 1986 107507 200 129988
1965 72538 1987 109300 2005 130756
1970 82992 1988 111026 2006 131448
1971 85229 1989 112704 2007 132129
1972 87177 1990 114333 2008 132802
1973 89211 1991 115823 2009 133450
1974 90859 1992 117171 2010 134091
1975 92420 1993 118517 2011 134735
1976 93717 1994 119850 2012 135404
1977 94974 1995 121121 2013 136072
1978 96259 1996 122389 2014 136782
1979 97542 1997 123626 2015 137462
1980 98705 1998 124761 2016 138271
1981 100072 1999 125786
(1)畫出散點圖；
(2)建立總人口數關于年份的一元線性回歸模型；
(3)直接用上面建立的回歸模型預測2020年的中國人口總數，得到的結果合理嗎？為什么？
例5.經驗表明，一般樹的胸徑（樹的主干在地面以上1.3m處的直徑）越大，樹就越高.由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預測樹高.在研究樹高與胸徑之間的關系時，某林場收集了某種樹的一些數據（表8.2-3），試根據這些數據建立樹高關于胸徑的經驗回歸方程.
表8.2-3
編號 1 2 3 4 5 6
胸徑/ 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3
樹高/m 18.8 19.2 21.0 2L0 22.1 22.1
編號 7 8 9 10 11 12
胸徑/ 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2
樹高/m 22.4 22.6 23.0 24.3； 23.9 24.7
分析：因為要由胸徑預測樹高，所以要以成對樣本數據的胸徑為橫坐標、樹高為縱坐標描出散點，進而得到散點圖，再根據散點圖判斷樹高與胸徑是否線性相關.如果是，再利用公式（2）計算出，即可.
解：以胸徑為橫坐標、樹高為縱坐標作散點圖，得到圖8.2-9.
圖8.2-9
在圖8.2-9中，散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個變量線性相關，并且是正相關，因此可以用一元線性回歸模型刻畫樹高與胸徑之間的關系.
用d表示胸徑，h表示樹高，根據最小二乘法，計算可得經驗回歸方程為
，
相應的經驗回歸直線如圖8.2-10所示.
圖8.2-10
根據經驗回歸方程，由表8.2-3中胸徑的數據可以計算出樹高的預測值（精確到0.1）以及相應的殘差，如表8.2-4所示.
表8.2-4
編號 胸徑/cm 樹高觀測值/m 樹高預測值/m 殘差/m
1 18.1 18.8 19.4 -0.6
2 20.1 19.2 19.9 -0.7
3 22.2 21.0 20.4 0.6
4 24.4 21.0 20.9 0.1
5 26.0 22.1 21.3 0.8
6 28.3 22.1 21.9 0.2
7 29.6 22.4 22.2 0.2
8 32.4 22.6 22.9 -0.3
9 33.7 23.0 23.2 -0.2
10 35.7 24.3 23.7 0.6
11 38.3 23.9 244 -0.5
12 40.2 24.7 24.9 0.2
以胸徑為橫坐標，殘差為縱坐標，作殘差圖，得到圖8.2-11.
圖8.2-11
觀察殘差表和殘差圖，可以看到，殘差的絕對值最大是0.8，所有殘差分布在以橫軸為對稱軸、寬度小于2的帶狀區域內.可見經驗回歸方程較好地刻畫了樹高與胸徑的關系，我們可以根據經驗回歸方程由胸徑預測樹高.
【易錯題目】第2題
【復盤要點】求線性回歸方程
【復盤訓練】
（2023·高二下·黑龍江雞西·期中）
5．在2009年春節期間，某市物價部門，對本市五個商場銷售的某商品的一天銷售量及其價格進行調查，五個商場該商品的售價x元和銷售量y件之間的一組數據如下表所示：
價格（元） 9 9.5 10 10.5 11
銷售量（件） 11 10 8 6 5
通過分析，發現銷售量y對商品價格x具有線性相關關系，則銷售量y對商品的價格x的回歸直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·高二·全國·單元測試）
6．某調查者在調查中獲知某公司近年來科研費用支出（萬元）與公司所獲得利潤（萬元）的統計資料如下表：
序號 科研費用支出 利潤
合計
則利潤關于科研費用支出的經驗回歸方程為（ ）
參考公式：，.
A． B． C． D．
（22-23高二·全國·單元測試）
7．某種細胞的存活率y（%）與存放溫度x（℃）之間具有線性相關關系，其樣本數據如下表所示：
存放溫度x/℃ 20 15 10 5 0 5 10
存活率y/% 6 14 26 33 43 60 63
計算得，，，，并求得經驗回歸方程為，但實驗人員發現表中數據的對應值60錄入有誤，更正為.則更正后的經驗回歸方程為（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·江蘇·單元測試）
8．為預測某種產品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關關系，現取了8組觀察值．計算知，，，，則y關于x的線性回歸方程是 （精確到0.01）．
（22-23高三上·上海黃浦·開學考試）
9．已知由樣本數據組成的一個樣本，得到回歸直線方程為，且，其中發現兩個歧義點和偏差過大，去除這兩點后，得到新的回歸直線的斜率為3，則新的回歸直線方程為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)線性函數關系
(2)
【分析】（1）根據題意得到解釋變量和響應變量的關系是線性函數關系；
（2）由（1）知：
【詳解】（1）因為散點圖中所有的散點都落在一條斜率為非0的直線上，
所以解釋變量和響應變量的關系是線性函數關系.
（2）由（1）知：
2．(1)散點圖見解析
(2)
(3)每多加工個零件，需要增加分鐘加工時間.
【分析】（1）根據表格提供數據畫出散點圖.
（2）根據回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.
（3）根據回歸直線方程作出判斷.
【詳解】（1）畫出散點圖如下圖所示：

（2），
，
，
所以.
（3）根據回歸直線方程可知：每多加工個零件，需要增加分鐘加工時間.
3．，該模型對預測地震有幫助.
【分析】根據回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程，并作出判斷.
【詳解】，
，
，
所以.
該模型對預測地震是有幫助：
①
回歸直線方程顯示，當增大時，減小，與表格提供的實際數據的變化趨勢相同，所以該模型對預測地震有幫助.
②，，這表明與有很強的線性相關關系，從而也表明建立的回歸模型是有意義的、有幫助的.
4．(1)散點圖見解析
(2)，（單位：萬人）.
(3)答案見解析.
【分析】（1）描點可作出散點圖；
（2）根據線性回歸方程的計算公式計算可得答案；
（3）將代入（2）中的線性回歸方程，計算可得答案.
【詳解】（1）解：散點圖如下圖所示：
.
（2）解：由表中數據和相關系數來計算其擬合程度，首先，，
再代入數據得，
以及，
因此，是有很強的正相關關系的，
因此設回歸直線為，由，，
計算得，因此該回歸模型為，（單位：萬人）.
（3）解：當時，（單位：萬人），
結果計算出來屆時我國人口總數為15億，的確保證了是增長型，但是由于這只是預測，并沒有考慮到2020年出現的疫情和相應的政策等，因此難免會有所誤差.
5．B
【分析】用最小二乘法求線性回歸方程的系數公式直接求解即可.
【詳解】由題可得，，，，，，所以回歸直線方程為.
故選：B.
6．A
【分析】根據表格數據，直接采用最小二乘法計算即可.
【詳解】由表格數據知：，，
，，所求經驗回歸方程為：.
故選：A.
7．A
【分析】根據給定信息，求出更正后的和，再利用最小二乘法計算作答.
【詳解】依題意，設更正后的經驗回歸方程為，更正后，，
，， ，
，所以更正后的經驗回歸方程為.
故選：A
8．
【分析】根據最小二乘法的公式，求得，進而求得的值，即可求得回歸直線方程.
【詳解】由題意知，和，可得，
可得，則，
所以線性回歸方程為.
故答案為：
9．
【分析】由題可得，進而可得新的平均數，根據回歸直線方程過樣本中心結合條件即得.
【詳解】因為，且，
所以，
去除兩個歧義點和后新的平均數為：
，，又新的回歸直線的斜率為3，
所以，
所以新的回歸直線方程為.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁8.2.1一元線性回歸模型+8.2.2一元線性回歸模型
第一課 解透課本內容
[課標要求]
1.了解一元線性回歸模型，
2.會運用一元線性回歸模型解決簡單的實際問題.
[明確任務]
1.了解一元線性回歸模型.【數學抽象】
2.會運用一元線性回歸模型解決簡單的實際問題.【數學建模，數學運算】
1.線性相關：一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關.
一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.
2.相關系數r的計算
變量x和變量y的樣本相關系數r的計算公式如下：
r＝.
核心知識點1： 一元線性回歸模型
1．一元線性回歸模型
．我們稱上式為Y關于x的一元線性回歸模型．
其中，Y稱為因變量或響應變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數，a稱為截距參數，b稱為斜率參數；e是Y與之間的隨機誤差．
2．隨機誤差
在一元線性回歸模型中，a和b為模型的未知參數，e是Y與之間的誤差，通常e為隨機變量，稱為隨機誤差．它的均值，方差．
線性回歸模型的完整表達式為．此模型中，隨機誤差e的方差越小，用預報真實值y的精度越高．
拓展 引起隨機誤差e的原因
（1）在實際中，隨機變量Y除了受隨機變量x的影響之外，還受其他變量的影響．
（2）由于經驗回歸方程中的和為經驗回歸直線的截距和斜率的估計值，它們與真實值a和b之間也存在誤差．
（3）觀測誤差，由于測量工具等原因，導致變量Y的觀測值產生誤差，這樣的誤差也包含在隨機誤差e中．
解讀：由于隨機誤差是隨機變量，因此可以通過這個隨機變量的數字特征來刻畫它的一些總體特征．均值是反映隨機變量取值平均水平的數字特征，方差是反映隨機變量集中于均值程度的數字特征，而隨機誤差的均值為0，因此可以用方差來衡量隨機誤差的大小．
注意：在一元線性回歸模型中，因變量Y的值由自變量x和隨機誤差e共同確定，即自變量x只能解釋部分Y的變化，因此在統計中，我們也把自變量x稱為解釋變量，把因變量Y稱為響應變量．
例1（23-24高二下·河南南陽·開學考試）在線性回歸方程中，為回歸系數，下列關于的說法中不正確的是（ ）
A．為回歸直線的斜率
B．，表示隨增加，值增加，，表示隨增加，值減少
C．是唯一確定的值
D．回歸系數的統計意義是當每增加（或減少）一個單位，平均改變個單位
【答案】C
【分析】利用回歸直線方程的特點逐項判斷即得.
【詳解】對于A，線性回歸方程中的為回歸直線的斜率，A正確；
對于B，，表示隨增加，值增加，，表示隨增加，值減少，B正確；
對于C，是由總體的一個樣本利用一定的方法計算得到的，選擇不同的樣本
或不同的計算方法得到的一般是不同的，C錯誤；
對于D，回歸系數的統計意義是當每增加（或減少）一個單位，平均改變個單位，D正確.
故選：C
歸納總結 一元線性回歸模型
（1）經驗回歸直線：從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做經驗回歸直線；
（2）經驗回歸方程為＝x＋，
其中＝＝，＝－；
（3）通過求Q＝（yi－bxi－a）2的最小值而得到經驗回歸直線的方法，即使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.
【舉一反三】（22-23高二下·新疆巴音郭楞·期中）
1．已知某回歸方程為：，則當解釋變量增加1個單位時，預報變量平均：（ ）
A．增加3個單位 B．增加個單位
C．減少3個單位 D．減少個單位
【舉一反三】（22-23高二下·江蘇·課時練習）
2．下列有關回歸直線方程，敘述正確的是（　　）
A．反映與之間的函數關系
B．反映與之間的函數關系
C．表示與之間不確定關系
D．表示最接近與之間真實關系的一條直線的方程
核心知識點2 ：一元線性回歸模型參數的最小二乘估計
1．經驗回歸方程的求解方法——最小二乘法
求直線的方程的關鍵是如何用數學的方法刻畫“從整體上看，各散點與直線最接近”．
給定兩個變量Y與x的n組數據之后，可以用各散點到直線的豎直距離之和來刻畫各樣本觀測數據與直線的“整體接近程度”，因為絕對值使得計算不方便，所以通常用各散點到直線的豎直距離的平方之和來刻畫“整體接近程度”，經過數學推導（參見課本），當且僅當時，Q達到最小．
我們將稱為Y關于x的經驗回歸方程，也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式，其圖形稱為經驗回歸直線．這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計，其中稱為回歸系數，它實際上也就是經驗回歸直線的斜率，為截距．
2．經驗回歸方程的性質
（1）經驗回歸直線一定過點，點通常稱為樣本點的中心．
（2）一次函數的單調性由的符號決定，函數遞增的充要條件是；函數遞減的充要條件是．這說明：y與x正相關的充要條件是；y與x負相關的充要條件是．
（3）在經驗回歸方程中，是經驗回歸直線的斜率，是截距．一般地，當回歸系數時，說明兩個變量呈正相關關系，它的意義是當x每增大一個單位時，平均增大個單位；當時，說明兩個變量呈負相關關系，它的意義是當x每增大一個單位時，平均減小個單位．
拓展 實際值與觀測值
在這里，y的上方加記號“^”，讀作“y估”，是為了與y的實際值加以區別．當x取值時，y相應的實際值為，預測值為；散點圖上對應于的縱坐標是，經驗回歸直線上對應于的縱坐標是．
解讀：
1.表格法求經驗回歸方程
求經驗回歸方程時，為計算方便，通常將有關數據列成表格，然后借助于計算器或計算機算出各個量，為求經驗回歸方程掃清障礙．
2.求經驗回歸方程的注意點
對于任意一組樣本數據，利用公式都可以求得“經驗回歸方程”，如果這組數據不具有線性相關關系，即不存在經驗回歸直線，那么所得的“經驗回歸方程”是沒有實際意義的．因此，對于一組樣本數據，應先作散點圖觀察，在具有線性相關關系的前提下再求經驗回歸方程．
例2.某工廠生產某種產品的產量x（噸）與相應的生產能耗y（噸標準煤）有如下幾組樣本數據：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
根據相關檢驗，這組樣本數據具有線性相關關系，通過線性回歸分析，求得其經驗回歸直線的斜率為0.7，則這組樣本數據的經驗回歸方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【解析】由題意可知，，，
經驗回歸直線過樣本點的中心，只有C選項滿足，故選C．
【答案】C
歸納總結：求經驗回歸方程的步驟
（1）作出散點圖，判斷兩變量是否具有線性相關關系，若具有線性相關關系，則可求其經驗回歸方程；
（2）列表求出，的值；
（3）利用公式先計算，再根據經驗回歸直線過樣本點的中心計算；
（4）寫出經驗回歸方程．
求經驗回歸方程，關鍵在于正確求出，，由于計算量較大，所以計算時要仔細謹慎、分層進行，避免因計算產生錯誤．要特別注意，只有兩個變量呈線性相關關系時，求出的經驗回歸方程才有意義．
【舉一反三】（22-23高二下·四川成都·期中）
3．已知回歸直線的斜率的估計值是1.2，樣本點的中心為，則回歸直線方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【舉一反三】（22-23高二下·河北石家莊·階段練習）
4．某公司對2023年月份公司的盈利情況進行了數據統計，結果如表所示，利用線性回歸分析思想，預測出2023年12月份的利潤為萬元，則關于的線性回歸方程為 .
月份 1 2 3 4
利潤/萬元 5 6 8
核心知識點3：殘差
1．殘差
對于響應變量Y，通過觀測得到的數據稱為觀測值，通過經驗回歸方程得到的稱為預測值，觀測值減去預測值稱為殘差．
對于樣本點，，…，而言，它們的隨機誤差為，，2，…，n，其估計值為，，2，…，n，稱為相應于點的殘差．
2．殘差圖
我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號、身高數據、體重的估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．
3．殘差分析
殘差是隨機誤差的估計結果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果，以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面工作稱為殘差分析．其步驟為：計算殘差——畫殘差圖——在殘差圖中分析殘差特性．
在研究兩個變量間的關系時，首先要根據散點圖來粗略判斷它們是否線性相關，是否可以用一元線性回歸模型來擬合數據．然后，通過殘差，，…，來判斷模型擬合的效果，判斷原始數據中是否存在殘差特別大的可疑數據．這種分析方式就是殘差分析．其中殘差是數據點和它在經驗回歸直線上相應位置之間的差異，即，，2，…，n．
劃重點 殘差點比較均勻地落在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區域的寬度越窄，說明模型擬合的精度越高，經驗回歸方程的預報精度越高．例如，如圖所示是四個殘差圖，其中回歸模型的擬合效果最好的是B，A與B中的殘差圖都是水平帶狀分布，并且B的殘差圖中的點分布較集中，且在更狹窄的范圍內，所以B中回歸模型的擬合效果最好．
A．B．C．D．
應用 殘差圖的制作和作用
（1）制作：縱坐標為殘差，橫坐標可以有不同的選擇，如以樣本編號為橫坐標，可以觀察殘差與編號次序之間的關系，常用于調查是否存在可疑數據．
（2）作用：判斷模型的適用性．若模型選擇得恰當，則殘差圖中的點應該分布在以橫軸為中心的帶狀區域．
誤區 數據檢驗
如果存在某個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為錯誤．如果數據采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用回歸模型擬合數據；如果數據采集沒有錯誤，就需要尋找其他原因．
解讀：誤差與殘差，這兩個概念在某種程度上具有很大的相似性，都是衡量不確定性的指標，但是兩者又存在區別．
誤差與測量有關，誤差大小可以衡量測量的準確性，誤差越大則表示測量越不準確．誤差分為兩類：系統誤差與隨機誤差．其中，系統誤差與測量方案有關，通過改進測量方案可以避免系統誤差，隨機誤差與觀測者、測量工具、被觀測物體的性質有關，只能盡量減小，卻不能避免．殘差與預測有關，殘差大小可以衡量預測的準確性．殘差越大表示預測越不準確．殘差與數據本身的分布特性、經驗回歸方程的選擇有關．
例3.（2023·高二下·全國·期末）色差和色度是衡量毛絨玩具質量優劣的重要指標，現抽檢一批產品測得數據如下表：已知該產品的色度y和色差x之間滿足線性相關關系，且，現有一組測量數據為，則該數據的殘差為（ ）
色差x 22 24 26 28
色度y 16 19 20 21
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，由回歸直線方程過樣本中心點，即可得到，然后代入計算，即可得到結果.
【詳解】由題意可知，，，
將代入，即，解得，
所以，當時，，
所以該數據的殘差為.
故選：D.
歸納總結 通過觀察殘差圖可以直觀判斷模型是否滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差的假設，那殘差應是均值為，方差為的隨機變量的觀測值.
殘差平方和越小，擬合效果越好.
【舉一反三】（2023·高二下·廣東肇慶·階段練習）
5．色差和色度是衡量毛絨玩具質量優劣的重要指標，現抽檢一批產品測得如下數據：已知該產品的色度和色差之間滿足線性相關關系，且，現有一對測量數據為，則該數據的殘差為（ ）
A．0.6 B．0.4 C． D．
【舉一反三】（22-23高二下·河南鄭州·階段練習）
6．對于數據組，如果由經驗回歸方程得到的對應自變量的估計值是，那么將稱為對應點的殘差．某商場為了給一種新商品進行合理定價，將該商品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下所示數據：
單價元 8.2 8.4 8.6 8.8
銷量件 84 83 78 m
根據表中的數據，得到銷量（單位：件）與單價（單位：元）之間的經驗回歸方程為，據計算，樣本點處的殘差為，則 ．
核心知識點4：決定系數
可以用決定系數來比較兩個模型的擬合效果，的計算公式在．
在表達式中，與經驗回歸方程無關，殘差平方和與經驗回歸方程有關．因此越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差．
劃重點 與r的聯系與區別
（1）相關系數r反映兩個變量的相關關系的強弱及正相關或負i相關，決定系數反映回歸模型的擬合效果．
（2）在含有一個解釋變量的線性模型中，決定系數的數值是相關系數r的平方，其變化范圍為，而相關系數的變化范圍為．
（3）當相關系數接近于1時，說明兩變量的相關性較強，當接近于0時，說明兩變量的相關性較弱；而當接近于1時，說明經驗回歸方程的擬合效果較好．
解讀：在線性回歸模型中，越接近于1，表示回歸的效果越好（因為越接近于1，表示解釋變量和響應變量的相關性越強）．如果對某組數據可以采取幾種不同的經驗回歸方程進行回歸分析，也可以通過比較的值，選擇大的回歸模型．
例4.（2024·湖南·二模）對兩個變量和進行回歸分析，得到一組樣本數據，下列統計量的數值能夠刻畫其經驗回歸方程的擬合效果的是（ ）
A．平均數 B．相關系數 C．決定系數 D．方差
【答案】C
【分析】根據相關數據的特征可知，決定系數能夠刻畫其經驗回歸方程的擬合效果.
【詳解】平均數與方差是用來反饋數據集中趨勢與波動程度大小的統計量；
變量y和x之間的相關系數的絕對值越大，則變量y和x之間線性相關關系越強；
用決定系數來刻畫回歸效果，越大說明擬合效果越好.
故選：C
歸納總結 決定系數．越大說明擬合效果越好.
【舉一反三】
7．已知x和y的散點圖如圖所示，在相關關系中，若用擬合時的決定系數為，用擬合時的決定系數為，則，中較大的是 .

（22-23高二下·山西·期中）
8．關于線性回歸的描述，下列表述錯誤的是（ ）
A．回歸直線一定經過樣本中心點
B．相關系數越大，相關性越強
C．決定系數越接近1，擬合效果越好
D．殘差圖的帶狀區域越窄，擬合效果越好
9．某種產品的廣告費支出與銷售額 (單位：萬元)之間的關系如下表：
與的線性回歸方程為，當廣告支出萬元時，隨機誤差的殘差為（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·陜西安康·期末）
10．在建立兩個變量與的回歸模型中，分別選擇了4個不同的模型，結合它們的相關指數判斷，其中擬合效果最好的為（ ）
A．模型1的相關指數為0.3 B．模型2的相關指數為0.25
C．模型3的相關指數為0.7 D．模型4的相關指數為0.85
（2023高三上·河南·專題練習）
11．為了解某商品的銷售量（件）與銷售價格（元/件）的關系，統計了的10組值，并畫出如圖所示的散點圖，則可得出的線性回歸方程可能是（ ）

A． B．
C． D．
（2024高二下·江蘇·專題練習）
12．在一段時間內，分5次測得某種商品的價格x(萬元)和需求量之間的一組數據為
1 2 3 4 5
價格 1.4 1.6 1.8 2 2.2
需求量y 12 10 7 5 3
已知，.
(1)畫出散點圖；
(2)求出y關于x的線性回歸方程；
(3)如果價格定為1.9萬元，預測需求量大約是多少？
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據回歸方程確定正確答案.
【詳解】依題意，回歸方程為：，
所以當解釋變量增加1個單位時，預報變量平均減少3個單位.
故選：C
2．AD
【分析】根據回歸方程的意義直接判斷各個選項即可.
【詳解】對于AB，表示的與之間的函數關系，并不是與之間的函數關系，A正確，B錯誤；
對于C，表示與之間的函數關系，為確定性關系，C錯誤；
對于D，用回歸直線來表示最接近與之間真實關系的一條直線方程，D正確.
故選：AD.
3．C
【分析】運用回歸直線必過樣本中心及直線點斜式方程可得結果.
【詳解】因為回歸直線必過樣本中心，所以回歸直線必過，
所以由直線的點斜式方程可得：，即：.
故選：C.
4．
【分析】先計算出，代入線性回歸直線方程，再把已知數據代入線性回歸直線方程，計算即可.
【詳解】設所求線性回歸方程為，
由表格數據知，
根據回歸直線方程必過得，
由2023年12月份的利潤為萬元知，解得，
于是所求的線性回歸方程是.
故答案為：.
5．A
【分析】求出時的估計值，根據殘差的含義，即可求得答案.
【詳解】將代入，可得，
故數據的殘差為，
故選：A
6．75
【分析】先根據樣本點處的殘差為，求出，再根據在經驗回歸方程上可得.
【詳解】根據樣本點處的殘差為，得，得，
所以，
，，
由，得
故答案為：75
7．
【分析】根據給定的散點圖中點的變化趨勢確定擬合效果較好的關系，進而得出決定系數大小.
【詳解】由散點圖知，各個點的變化趨勢呈指數型函數變化，
則用擬合的效果比用擬合的效果要好，即，
所以較大者為.
故答案為：
8．B
【分析】根據相關概念直接判斷即可得解.
【詳解】根據回歸直線方程中知，回歸直線一定經過樣本中心點，故A正確；
相關系數越大，相關性越強，故B錯誤；
決定系數越接近1，擬合效果越好，故C正確；
殘差圖的帶狀區域越窄，說明擬合效果越好，故D正確.
故選：B
9．D
【分析】結合所給的回歸方程首先求得預測值，然后結合所給的表格中的值即可求得最終結果．
【詳解】解：由題意結合線性回歸方程的預測作用可得：當時，，
則隨機誤差的效應（殘差）為：．
故選：．
10．D
【分析】根據相關指數越大擬合效果越好判斷.
【詳解】解：因為相關指數越大擬合效果越好，又，
所以模型4的擬合效果越好，
故選：D
11．A
【分析】由散點圖及線性回歸方程的性質即可得.
【詳解】由散點圖可知，線性回歸方程的斜率為負，截距為正，故只有A符合要求.
故選：A.
12．(1)圖見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據題中數據直接畫出散點圖即可；
（2）根據線性回歸方程計算公式，進行計算即可；
（3）利用線性回歸方程，令，求解即可.
【詳解】（1）散點圖如下圖所示：

樣本點分布在一條直線附近，y與x具有線性相關關系.
（2）因為，
，
，，
所以，
，
故y關于x的線性回歸方程為.
（3）當時，（），
故價格定為1.9萬元，預測需求量大約為6.25 t.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑