資源簡介

8.2.1一元線性回歸模型+8.2.2一元線性回歸模型
第三練 能力提升拔高
【試題來源】來自各地期中期末的聯(lián)考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養(yǎng)的目的.
【目標分析】
1.會求解非線性回歸模型有關的實際問題，鍛煉數(shù)學建模能力，運算求解能力，如第1題.
2.會求解與一元回歸模型有關的綜合問題，鍛煉數(shù)學建模能力，運算求解能力，如第13題.
一.單選題
（23-24高二下·河南南陽·階段練習）
1．某中學課外活動小組為了研究經(jīng)濟走勢，根據(jù)該市1999-2021年的GDP（國內(nèi)生產(chǎn)總值）數(shù)據(jù)繪制出下面的散點圖，該小組選擇了如下2個模型來擬合GDP值隨年份的變化情況，模型一：；模型二：，下列說法正確的是（ ）
A．變量與負相關
B．根據(jù)散點圖的特征，模型一能更好地擬合GDP值隨年份的變化情況
C．變量與有較強的線性相關性
D．若選擇模型二，的圖象不一定經(jīng)過點
（23-24高二下·吉林長春·階段練習）
2．用模型擬合一組數(shù)，若，，設，得變換后的線性回歸方程為，則（ ）
A．20240 B． C． D．2024
（23-24高二下·河南南陽·階段練習）
3．某學習小組對一組數(shù)據(jù)進行回歸分析，甲同學首先求出回歸直線方程，樣本點的中心為.乙同學對甲的計算過程進行檢查，發(fā)現(xiàn)甲將數(shù)據(jù)誤輸成，將這兩個數(shù)據(jù)修正后得到回歸直線方程，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）
4．用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中，設，得變換后的線性回歸方程為，則（ ）
A． B． C．35 D．21
（23-24高二下·河南南陽·階段練習）
5．某中學課外活動小組為了研究經(jīng)濟走勢，根據(jù)該市1999-2021年的GDP（國內(nèi)生產(chǎn)總值）數(shù)據(jù)繪制出下面的散點圖，該小組選擇了如下2個模型來擬合GDP值隨年份的變化情況，模型一：；模型二：，下列說法正確的是（ ）
A．變量與負相關
B．根據(jù)散點圖的特征，模型一能更好地擬合GDP值隨年份的變化情況
C．變量與有較強的線性相關性
D．若選擇模型二，的圖象不一定經(jīng)過點
（2023·四川廣安·模擬預測）
6．下列說法中，正確的命題的是（ ）
A．一臺晩會有個節(jié)目，其中有個小品，如果個小品不連續(xù)演出，共有不同的演出順序種
B．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則
C．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設，求得線性回歸方程為，則、的值分別是和
D．若樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則數(shù)據(jù)、、、的方差為
二、多選題
（21-22高三上·湖南株洲·期末）
7．某地為響應“扶貧必扶智，扶智就是扶知識、扶技術、扶方法”的號召，建立農(nóng)業(yè)科技圖書館，供農(nóng)民免費借閱，收集了近5年借閱數(shù)據(jù)如下表：
年份代碼x 1 2 3 4 5
年借閱量y（萬冊） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8
根據(jù)上表，可得y關于x的經(jīng)驗回歸方程為，下列結論正確的有（ ）
A．
B．借閱量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位數(shù)為5.7
C．y與x的線性相關系數(shù)
D．第六年的借閱量一定不少于6.12萬冊
（2024·河北滄州·一模）
8．下表是某地從2019年至2023年能源消費總量近似值（單位：千萬噸標準煤）的數(shù)據(jù)表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代號 1 2 3 4 5
能源消費總量近似值（單位：千萬噸標準煤） 44.2 44.6 46.2 47.8 50.8
以為解釋變量，為響應變量，若以為回歸方程，則決定系數(shù)0.9298，若以為回歸方程，則，則下面結論中正確的有（ ）
A．變量和變量的樣本相關系數(shù)為正數(shù)
B．比的擬合效果好
C．由回歸方程可準確預測2024年的能源消費總量
D．
（2024·湖南·一模）
9．下列說法中，正確的是（ ）
A．設有一個經(jīng)驗回歸方程為，變量增加1個單位時，平均增加2個單位
B．已知隨機變量，若，則
C．兩組樣本數(shù)據(jù)和.若已知且，則
D．已知一系列樣本點的經(jīng)驗回歸方程為，若樣本點與的殘差相等，則
三、填空題
（2023·全國·模擬預測）
10．為研究變量x，y的相關關系，收集得到如下數(shù)據(jù)：
x 1 2 3 4 5
y 60
若由最小二乘法求得y關于x的線性回歸方程為，并據(jù)此計算在樣本點處的殘差為0，則 ．
（2023·江西贛州·二模）
11．用模型擬合一組數(shù)據(jù)，若，，設，得變換后的線性回歸方程為，則ak= .
四、解答題
（22-23高三上·廣東深圳·期中）
12．紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對柚子樹造成嚴重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個）和平均溫度x（℃）有關，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

(1)根據(jù)散點圖判斷，與（其中…為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個）關于平均溫度x（℃）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)由（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸方程.（計算結果精確到0.1）
附：回歸方程中，，
參考數(shù)據(jù)（）
5215 17713 714 27 81.3 3.6
(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在22℃以下的年數(shù)占60%，對柚子產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲措施；平均氣溫在22℃至28℃的年數(shù)占30%，柚子產(chǎn)量會下降20%；平均氣溫在28℃以上的年數(shù)占10%，柚子產(chǎn)量會下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害，農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.
在每年價格不變，無蟲害的情況下，某果園年產(chǎn)值為200萬元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益（收益＝產(chǎn)值－防害費用）為目標，請為果農(nóng)從以下幾個方案中推薦最佳防害方案，并說明理由.
方案1：選擇防害措施A，可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn)，費用是18萬；
方案2：選擇防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛蟲害，但無法防治28℃以上的紅蜘蛛蟲害，費用是10萬；
方案3：不采取防蟲害措施.
（2024·遼寧·模擬預測）
13．土壤食物網(wǎng)對有機質的分解有兩條途徑，即真菌途徑和細菌途徑．在不同的土壤生態(tài)系統(tǒng)中，由于提供能源的有機物其分解的難易程度不同，這兩條途徑所起的作用也不同．以細菌分解途徑為主導的土壤，有機質降解快，氮礦化率高，有利于養(yǎng)分供應，以真菌途徑為主的土壤，氮和能量轉化比較緩慢，有利于有機質存財和氮的固持．某生物實驗小組從一種土壤數(shù)據(jù)中隨機抽查并統(tǒng)計了8組數(shù)據(jù)，如下表所示：
編號 1 2 3 4 5 6 7 8
細菌百萬個 70 80 90 100 110 120 130 140
真菌百萬個 8.0 10.0 12.5 15.0 17.5 21.0 27.0 39.0
其散點圖如下，散點大致分布在指數(shù)型函數(shù)的圖象附近．
(1)求關于的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；
(2)在做土壤相關的生態(tài)環(huán)境研究時，細菌與真菌的比值能夠反映土壤的碳氮循環(huán)．以樣本的頻率估計總體分布的概率，若該實驗小組隨機抽查8組數(shù)據(jù)，再從中任選4組，記真菌（單位：百萬個）與細菌（單位：百萬個）的數(shù)值之比位于區(qū)間內(nèi)的組數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.
附：經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，
【易錯題目】第題、第題
【復盤要點】非線性回歸分析問題
（2024·云南曲靖·一模）
【典例】已知變量關于的回歸方程為，若對兩邊取自然對數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：
1 2 3 4 5
則當時，預測的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
令，可得出，求出、的值，將、的值代入，求出的值，可得出變量關于的回歸方程，然后令，可得出的值.
【詳解】令，由可得，如下表所示：
由表格中的數(shù)據(jù)可得，，
則有，解得，故，
當時，.
故選：C.
【易錯警示】有些非線性回歸分析問題并不給出經(jīng)驗公式，這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與學過的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）的圖象進行比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，用適當?shù)淖兞窟M行變換，如通過換元或取對數(shù)等方法，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決.
【復盤訓練】
（23-24高二下·吉林長春·階段練習）
14．用模型擬合一組數(shù)，若，，設，得變換后的線性回歸方程為，則（ ）
A．20240 B． C． D．2024
（23-24高三下·山東·開學考試）
15．為研究某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積（單位：）與水生植物的株數(shù)（單位：株）之間的相關關系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型去擬合與的關系，設與的數(shù)據(jù)如表格所示：得到與的線性回歸方程，則（ ）
3 4 6 7
2 2.5 4.5 7
A．-2 B．-1 C． D．
（2023·高三下·廣東惠州·階段練習）
16．一只紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關，現(xiàn)測得一組數(shù)據(jù)，可用模型擬合，設，其變換后的線性回歸方程為，若，，為自然常數(shù)，則 .
（2023高三·全國·專題練習）
17．x和y的散點圖如圖所示，則下列說法中①x，y是負相關關系；②在該相關關系中，若用擬合時的相關指數(shù)為，用擬合時的相關指數(shù)為則；③x，y之間不能建立線性回歸方程；所有正確命題的序號為 .
（23-24高三上·廣東廣州·階段練習）
18．中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，某數(shù)學建模小組為了獲得茶水溫度y（單位：）關于時間x（單位：min）的回歸方程模型，通過實驗收集在室溫，用同一溫度的水沖泡的條件下，茶水溫度隨時間變化的7組數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)做初步處理得到如圖所示散點圖以及如表所示數(shù)據(jù).

73.5 3.85
表中：，
(1)根據(jù)散點圖判斷，①與②哪一個更適宜作為該茶水溫度y關于時間x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）請根據(jù)你的判斷結果及表中數(shù)據(jù)建立該茶水溫度y關于時間x的回歸方程；
(2)已知該茶水溫度降至口感最佳，根據(jù)（1）中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？
附：（1）對于一組數(shù)據(jù)，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，
（2）參考數(shù)據(jù)：，，，，
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】對于ABC，由散點圖的變化趨勢分析判斷；對于D，由線性回歸方程的性判斷.
【詳解】對于 A，由散點圖可知 隨年份 的增大而增大，所以變量 與 正相關，所以 A 錯誤；
對于 BC，由散點圖可知變量 與 的變化趨向于一條曲線，所以模型二能更好地 擬合 GDP 值隨年份的變化情況，所以 B 錯誤，C錯誤；
對于 D，若選擇模型二：，令，則的圖像一定過點，不一定過點，故D正確.
故選：D.
2．C
【分析】先計算，代入線性回歸方程求得，再計算即可.
【詳解】由條件可知，代入，
則，故C正確.
故選：C
3．D
【分析】根據(jù)題意，甲輸入的為，即可求得以及，然后將正確數(shù)據(jù)代入，即可求得樣本中心點，代入回歸直線即可得到結果.
【詳解】由題意可得，假設甲輸入的為，
則，則，
且，則，
則改為正確數(shù)據(jù)時，，即，
，即，所以樣本中心點為，
將點代入回歸直線方程，得.
故選：D
4．B
【分析】求出，即，得到答案.
【詳解】由題意得，
故，
即，
故，解得.
故選：B
5．D
【分析】對于ABC，由散點圖的變化趨勢分析判斷；對于D，由線性回歸方程的性判斷.
【詳解】對于 A，由散點圖可知 隨年份 的增大而增大，所以變量 與 正相關，所以 A 錯誤；
對于 BC，由散點圖可知變量 與 的變化趨向于一條曲線，所以模型二能更好地 擬合 GDP 值隨年份的變化情況，所以 B 錯誤，C錯誤；
對于 D，若選擇模型二：，令，則的圖像一定過點，不一定過點，故D正確.
故選：D.
6．C
【分析】利用插空法可判斷A選項；利用正態(tài)密度曲線的對稱性可判斷B選項；利用對數(shù)的運算可判斷C選項；利用方差的性質可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，一臺晩會有個節(jié)目，其中有個小品，如果個小品不連續(xù)演出，
只需先將其余個節(jié)目全排，然后將個小品插入另外個節(jié)目形成的個空位中的兩個即可，
因此，不同的演出順序種數(shù)為，A錯；
對于B選項，已知隨機變量服從正態(tài)分布，，
則，B錯；
對于C選項，以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設，
則，
所以，，解得，C對；
對于D選項，因為樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，
則數(shù)據(jù)、、、的方差為，D錯.
故選：C.
7．ABC
【分析】A選項，計算出樣本中心點，代入回歸方程，求出；B選項，根據(jù)百分位數(shù)的定義進行求解；C選項，y與x正相關，C正確；D選項，計算出第六年的借閱量約為6.12萬冊，D錯誤.
【詳解】A選項，，，
將代入得，，解得，A正確；
B選項，，故從小到大選擇第4個數(shù)作為75%分位數(shù)，
即，故借閱量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位數(shù)為5.7，B正確；
C選項，因為，所以y與x正相關，故y與x的線性相關系數(shù)，C正確；
D選項，中，令得，
故第六年的借閱量約為6.12萬冊，可能比6.12萬冊多，也可能比6.12萬冊少，D錯誤.
故選：ABC
8．ABD
【分析】隨著變量的增加，變量也在增加可判斷A選項；根據(jù)決定系數(shù)越接近1，擬合效果越好可判斷B選項；由經(jīng)驗回歸方程的定義可判斷C選項；由經(jīng)驗回歸方程必過樣本中心點可判斷D選項.
【詳解】對于A選項：隨著變量的增加，變量也在增加，故變量和變量成正相關，即樣本相關系數(shù)為正數(shù)，正確；
對于B選項：因為，故比的擬合效果好，正確；
對于C選項：回歸方程可預測2024年的能源消費總量，不可準確預測，錯誤；
對于D選項：由回歸方程必過樣本中心點，可知，正確.
故選：ABD.
9．BC
【分析】根據(jù)回歸方程可判定A，根據(jù)正態(tài)分布可判定B，根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)可判定C，根據(jù)回歸方程及殘差的概念可判定D.
【詳解】若有一個經(jīng)驗回歸方程，隨著的增大，會減小，A錯誤；
曲線關于對稱，因為，所以，
所以，B正確；
因為，
所以，
故，C正確；
經(jīng)驗回歸方程為，且樣本點與的殘差相等，
則，所以，D錯誤.
故選：BC.
10．290
【分析】先利用殘差的計算公式求出，再根據(jù)回歸直線過樣本點的中心求出，即可得解．
【詳解】因為在樣本點處的殘差為0，
所以，得，
則y關于x的線性回歸方程為．
因為，所以，
所以．
故答案為：
11．
【分析】先求出，因為在回歸直線上，求出，將化簡為，代入即可得出答案.
【詳解】由題意得，因為在回歸直線上，所以，由得與比較得：，a.
故答案為：.
12．(1)更適宜
(2)
(3)選擇方案1最佳，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)散點圖的形狀，可判斷更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關于平均溫度x的回歸方程類型；
（2）將兩邊同時取自然對數(shù)，轉化為線性回歸方程，即可得到答案；
（3）求出三種方案的收益的均值，根據(jù)均值越大作為判斷標準.
【詳解】（1）由散點圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關于平均溫度x的回歸方程類型.
（2）將兩邊同時取自然對數(shù)，可得，
由題中的數(shù)據(jù)可得，，，
所以，
則，
所以z關于x的線性回歸方程為，
故y關于x的回歸方程為；
（3）用，和分別表示選擇三種方案的收益.
采用第1種方案，無論氣溫如何，產(chǎn)值不受影響，收益為萬，即
采用第2種方案，不發(fā)生28℃以上的紅蜘蛛蟲害，收益為萬，
如果發(fā)生，則收益為萬，即，
同樣，采用第3種方案，有
所以，，
，
.
顯然，最大，所以選擇方案1最佳.
13．(1)
(2)分布列見解析，2
【分析】（1）令，將指數(shù)型回歸方程轉化為線性回歸方程，利用最小二乘法的估計系數(shù)公式，即可求得答案；
（2）確定真菌與細菌的數(shù)值之比位于區(qū)間內(nèi)的組數(shù)，即可確定X的取值，求出每個值對應的概率，即可得分布列，即可求得數(shù)學期望.
【詳解】（1）由于，故，
令，則，
，
則，，
故，則關于的經(jīng)驗回歸方程為；
（2）由已知圖表可知從第1組到第8組的真菌（單位：百萬個）與細菌（單位：百萬個）的數(shù)值之比依次為：
，，
故樣本中比值位于內(nèi)的組數(shù)有4組，則X的可能取值為：，
則,，
故X的分布列為：
X 0 1 2 3 4
P
則.
14．C
【分析】先計算，代入線性回歸方程求得，再計算即可.
【詳解】由條件可知，代入，
則，故C正確.
故選：C
15．C
【分析】根據(jù)已知條件，求得，進而代入回歸方程可求得，從而得出，聯(lián)立，即可求得本題答案.
【詳解】由已知可得，，，
所以，有，解得，
所以，，
由，得，
所以，，則.
故選：C.
16．
【分析】經(jīng)過變換后將非線性問題轉化為線性問題，在求樣本點的中心，回歸直線一定過該點，即可求出參數(shù).
【詳解】經(jīng)過變換后，得到，根據(jù)題意，故，又，故，，故，于是回歸方程為一定經(jīng)過，故，解得，即，于是.
故答案為：.
17．①②
【解析】根據(jù)散點圖可以判定變量負相關，指數(shù)型函數(shù)模型比直線型更恰當，相關指數(shù)更大，變量間可以建立線性回歸方程，擬合效果不大好.
【詳解】在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此x，y是負相關關系，故①正確；
由散點圖知用擬合比用擬合效果要好，則R>R，故②正確；
x，y之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故③錯誤.
故答案為：①②
【點睛】此題考查回歸模型建立，利用恰當?shù)哪Ｐ蛿M合變量間的相關關系，及相關指數(shù)與擬合效果之間的關系辨析.
18．(1)②更適宜，；
(2)7.5min.
【分析】（1）根據(jù)散點圖選擇②，取對數(shù)，再利用最小二乘法公式求出回歸直線方程即可.
（2）利用（1）中回歸方程，列出關于的方程求解即得.
【詳解】（1）由散點圖知，更適宜的回歸方程為②，即.
由，得，兩邊取自然對數(shù)，得，
令，則，
，
結合表中數(shù)據(jù)，得，
結合參考數(shù)據(jù)可得，由，得，
所以茶水溫度y關于時間x的回歸方程為.
（2）依題意，室溫下，茶水溫度降至口感最佳，
即，整理得，
于是，解得，
所以在相同條件下，剛泡好的茶水大約需要放置7.5min才能達到最佳引用口感.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁8.2.1一元線性回歸模型+8.2.2一元線性回歸模型
第三課 知識擴展延伸
擴展1：非線性回歸分析
例3．近期，某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付，某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），繪制了如圖所示的散點圖．
（1）根據(jù)散點圖判斷在推廣期內(nèi)，與（c，d為大于0的常數(shù)）哪一個適宜作為每天使用掃碼支付的人次y關于活動推出天數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)（1）的判斷結果求y關于x的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次．
參考數(shù)據(jù)：
4 62 1.54 2535 50.12 140 3.47
其中，．
附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．
【解】（1）根據(jù)散點圖判斷，適宜作為每天使用掃碼支付的人次y關于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型．
（2）∵，兩邊取對數(shù)得，
設，∴．
∵，，，
∴，
則，則，即，
∴y關于x的經(jīng)驗回歸方程為．
把代入上式得，
故活動推出第8天使用掃碼支付的人次約為3470．
【方法總結】對于非線性回歸問題，可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與學過的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）的圖象作比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當?shù)淖兞孔儞Q，把問題化為線性回歸問題，使之得到解決，其一般步驟為：
【舉一反三1-1】
1．給出下列說法：①以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出線性回歸方程，設，將其變換后得到線性回歸方程，則，的值分別是和0.3；②根據(jù)具有線性相關關系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的線性回歸方程中，，，，則；③通過線性回歸方程，可以精確反映變量的取值和變化趨勢.其中錯誤的個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【舉一反三1-2】[江西景德鎮(zhèn)一中2021高二期末]
2．某大型現(xiàn)代化農(nóng)場在種植某種大棚有機無公害的蔬菜時，為創(chuàng)造更大價值，提高畝產(chǎn)量，積極開展技術創(chuàng)新活動.該農(nóng)場采用了延長光照時間的方案，該農(nóng)場選取了20間大棚（每間一畝）進行試點，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)繪制成散點圖.光照時長為（單位：小時），大棚蔬菜產(chǎn)量為（單位：千斤每畝），記.
（1）根據(jù)散點圖判斷，與，哪一個適宜作為大棚蔬菜產(chǎn)量關于光照時長的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；
（2）根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程；（結果保留小數(shù)點后兩位）
（3）根據(jù)實際種植情況，發(fā)現(xiàn)上述回歸方程在光照時長位于6~14小時內(nèi)擬合程度良好，利用（2）中所求方程估計當光照時長為小時（自然對數(shù)的底），大棚蔬菜畝產(chǎn)約為多少.
參數(shù)數(shù)據(jù)：
290 102.4 52 4870 540.28 137 1578.2 272.1
參考公式：關于的線性回歸方程中，，
擴展2：一元回歸模型的綜合應用
例2.（2024·全國·模擬預測）自媒體職業(yè)就是通過自媒體平臺發(fā)布文章或者視頻，賺取收益的職業(yè)．某自媒體從業(yè)人員從業(yè)10個月以來的月收益（單位：元）統(tǒng)計如下：
第個月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
月收益（單位：元） 400 1600 1800 2400 2000 2600 3000 3200 3400 3600
（1）若該自媒體從業(yè)人員的月收益與自媒體從業(yè)時間成正相關關系，試估計該自媒體從業(yè)人員從業(yè)第幾個月開始月收益超過5000元；
（2）從這10個月的月收益不低于2400元的月份里隨機抽取3個月進行話題分析，記這3個月中月收益不低于3000元的有個月，求的分布列和期望．
附：經(jīng)驗回歸方程中，，其中為樣本均值．
【答案】（1）第14個月
（2）分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)最小二乘法即可求解回歸方程，進而可由不等式求解，
（2）根據(jù)超幾何的概率公式求解分布列，即可由期望公式求解期望.
【詳解】（1），
，
，
，
經(jīng)驗回歸方程為．
令，解得，
估計該自媒體從業(yè)人員從業(yè)第14個月開始月收益超過5000元．
（2）在這10個月中，月收益不低于2400元的有6個月，月收益不低于3000元的有4個月，
的所有可能取值為，
，
的分布列為
1 2 3
．
【方法總結】線性回歸分析問題的解題策略
（1）利用公式，求出回歸系數(shù)；
（2）利用經(jīng)驗回歸直線過樣本點的中心求系數(shù)；
（3）利用經(jīng)驗回歸方程進行預測，把回歸方程看作一次函數(shù)，將解釋變量x的值代入，得到預測變量的值.
【舉一反三2-1】（2024·全國·模擬預測）
3．20世紀80年代初，隨著我國的改革開放，經(jīng)濟體制和經(jīng)營體制逐漸靈活，市場上的商品日益豐富，城市和農(nóng)村出現(xiàn)小賣部．小賣部主營生活日用商品，有著經(jīng)營成本小、規(guī)模小、商品種類少分布廣等特點．近幾年，人們的生活水平達到了新的高度，實體小賣部逐漸被應運而生的大小超市所取代．為適應市場，某小賣部經(jīng)營者欲將經(jīng)營規(guī)模擴大，將小賣部發(fā)展成生鮮綜合超市，現(xiàn)將2013~2022年的年利潤（單位：萬元）統(tǒng)計如下：
年限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年利潤（萬元） 2 8 9 12 10 13 15 16 17 18
其中，年限1表示2013年，2表示2014年，3表示2015年，……，以此類推，10表示2022年．
(1)若年利潤（單位：萬元）與小賣部營業(yè)年限成正相關關系，在不改變經(jīng)營狀態(tài)的情況下，預測該小賣部2023年的年利潤；
(2)以年利潤是否低于12萬元為評價標準，按照分層抽樣從2013~2022年的年利潤中隨機抽取5個，再從這5個數(shù)據(jù)中隨機抽取2個，求抽取的2個數(shù)據(jù)至少有1個低于12萬元的概率．
附：線性回歸方程中，，其中為樣本均值．
【舉一反三2-2】
4．樹木根部半徑與樹木的高度呈正相關，即樹木根部越粗，樹木的高度也就越高.某塊山地上種植了樹木，某農(nóng)科所為了研究樹木的根部半徑與樹木的高度之間的關系，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取6棵樹木，調(diào)查得到樹木根部半徑(單位：米)與樹木高度(單位：米)的相關數(shù)據(jù)如表所示：
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
1.1 1.3 1.6 1.5 2.0 2.1
（1）求關于的線性回歸方程；
（2）對（1）中得到的回歸方程進行殘差分析，若某樹木的殘差為零則認為該樹木“長勢標準”，在此片樹木中隨機抽取1棵樹木，估計這棵樹木“長勢標準”的概率.
參考公式：回歸直線方程為，其中，.
（2023·天津·高考真題）
5．鳶是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚躍余淵”. 鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長度和花瓣長度（單位：cm），繪制散點圖如圖所示，計算得樣本相關系數(shù)為，利用最小二乘法求得相應的經(jīng)驗回歸方程為，根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（ ）
A．花瓣長度和花萼長度不存在相關關系
B．花瓣長度和花萼長度負相關
C．花萼長度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長度的平均值為
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關系數(shù)一定是
（2024·四川廣安·二模）
6．某公司收集了某商品銷售收入（萬元）與相應的廣告支出（萬元）共10組數(shù)據(jù)（），繪制出如下散點圖，并利用線性回歸模型進行擬合.
若將圖中10個點中去掉點后再重新進行線性回歸分析，則下列說法正確的是（ ）
A．決定系數(shù)變小 B．殘差平方和變小
C．相關系數(shù)的值變小 D．解釋變量與預報變量相關性變?nèi)?br/>（廣東·高考真題）
7．某數(shù)學老師身高，他爺爺、父親和兒子的身高分別是、和．因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為
（2024·江蘇·一模）
8．已知變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，對表中數(shù)據(jù)作分析，發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關關系，利用最小二乘法，計算得到經(jīng)驗回歸直線方程為，據(jù)此模型預測當時的值為 .
5 6 7 8 9
3.5 4 5 6 6.5
（安徽·高考真題）
9．某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
年份 2002 2004 2006 2008 2010
需求量（萬噸） 236 246 257 276 286
（1）利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程；
（2）利用（1）中所求的直線方程預測該地2012年的糧食需求量.
（廣東·高考真題）
10．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)
ｘ ３ ４ ５ ６
ｙ ２．５ ３ ４ ４．５
（１） 請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
（２） 請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出ｙ關于ｘ的線性回歸方程；
（３） 已知該廠技術改造前１００噸甲產(chǎn)品能耗為９０噸標準煤.試根據(jù)（２）求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)１００噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低多少噸標準煤？
（參考數(shù)據(jù): 3×2．5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
（2022·全國·高考真題）
11．某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：
樣本號ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
根部橫截面積 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材積量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并計算得．
(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；
(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．
附：相關系數(shù)．
（全國·高考真題）
12．下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖．
為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型②：．
（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；
（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)線性回歸方程的知識判斷出正確選項.
【詳解】①，，依題意，
對比系數(shù)得，①正確.
②，回歸直線方程過樣本中心點，所以，②正確.
③，通過線性回歸方程，無法精確反映變量的取值，③錯誤.
所以錯誤的個數(shù)是個.
故選：A
2．（1）更適宜作為回歸方程類型；（2）；（3）千斤每畝．
【解析】（1）根據(jù)散點圖中點的位置判斷；
（2）記.則為，由已知數(shù)據(jù)計算方程中的系數(shù)，即可得；
（3）在（2）的方程中令代入計算可得．
【詳解】（1）根據(jù)散點圖，開始的點在某條直線旁，但后面的點會越來越偏離這條直線，因此更適宜作為回歸方程類型；
（2）記.則為，
，，
，，
所以，即．
（3）時，．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查線性回歸直線方程，解題關鍵是根據(jù)已知數(shù)據(jù)計算出回歸直線方程中系數(shù)．考查了運算求解能力．求解時，注意題目提供的數(shù)據(jù)，公式，特別是計算公式不能把數(shù)據(jù)弄混，否則會得出錯誤結果．
3．(1)20.47萬元
(2)
【分析】（1）根據(jù)圖表利用最小二乘法計算線性回歸方程并預測即可；
（2）根據(jù)圖表利用分層抽樣及古典概型計算即可.
【詳解】（1），
,
，
，
線性回歸方程為．
當時，，
在不改變經(jīng)營狀態(tài)的情況下，預測該小賣部2023年的年利潤為20.47萬元．
（2）2013～2022年的年利潤中低于12萬元的有4個，不低于12萬元的有6個，
按照分層抽樣從2013～2022年的年利潤中隨機抽取5個，
則年利潤低于12萬元的有2個，記為，不低于12萬元的有3個，
記為．
從這5個數(shù)據(jù)中隨機抽取2個，
所有等可能結果有，，共10種，
其中，抽取的2個數(shù)據(jù)至少有1個低于12萬元的結果有，共7種，
故所求概率為．
4．（1）；（2）
【分析】（1）由最小二乘法先求樣本點中心，再代入公式求，即可得到答案；
（2）先計算6棵A樹木中殘差為零的有3棵，占比為，即可得到答案；
【詳解】（1）由，
，
，
，
有，
，
故關于的回歸方程為：.
（2）當時，，殘差為，
當時，，殘差為，
當時，，殘差為，
當時，，殘差為，
當時，，殘差為，
當時，，殘差為，
由這6棵A樹木中殘差為零的有3棵，占比為，
這棵樹木“長勢標準”的概率為.
5．C
【分析】根據(jù)散點圖的特點及經(jīng)驗回歸方程可判斷ABC選項，根據(jù)相關系數(shù)的定義可以判斷D選項.
【詳解】根據(jù)散點的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關性，A選項錯誤
散點的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關性，B選項錯誤，
把代入可得，C選項正確；
由于是全部數(shù)據(jù)的相關系數(shù)，取出來一部分數(shù)據(jù)，相關性可能變強，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關系數(shù)不一定是，D選項錯誤
故選：C
6．B
【分析】從圖中分析得到去掉點后，回歸效果更好，再由決定系數(shù)，殘差平方和，相關系數(shù)和相關性的概念和性質作出判斷.
【詳解】從圖中可以看出點較其他點，偏離直線遠，故去掉點后，回歸效果更好，
故決定系數(shù)會變大，更接近于1，殘差平方和變小，
相關系數(shù)的絕對值，即會更接近于1，由圖可得與正相關，故會更接近于1，
即相關系數(shù)的值變大，解釋變量與預報變量相關性變強，
故A、C、D錯誤，B正確.
故選：B.
7．
【分析】設出解釋變量和預報變量；代入線性回歸方程公式，求出線性回歸方程，將方程中的用182代替，求出他孫子的身高．
【詳解】解：設表示父親的身高，表示兒子的身高,則隨的變化情況如下：
173 170 176 182
170 176 182 ？
，，
，，
線性回歸方程
當時，．
故答案為：
8．7.4
【分析】經(jīng)驗回歸直線方程過樣本點的中心，所以把代入求得的值，再代入求解即可.
【詳解】由已知得，即樣本點中心，
因為經(jīng)驗回歸直線方程過樣本點的中心，
所以，解得.
所以，當時，.
故答案為：.
9．（1）；（2）該地2012年的糧食需求量約為萬噸.
【分析】(1)根據(jù)給定數(shù)據(jù)求出，再利用最小二乘法公式計算b即可計算作答.
(2)利用(1)的結論求出時的即可作答.
【詳解】(1)依題意，，，
因此，，，
年需求量與年份之間的回歸直線方程是：；
(2)由(1)知，當x=2012時，(萬噸)，
所以預測該地2012年的糧食需求量約為萬噸.
10．（1）見解析；
（2）線性回歸方程為y=0.7x+0.35
（3）19.65(噸)
【詳解】(1)所求散點圖如圖所示：

(2) 3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
，
，
，
故所求線性回歸方程為＝0.7x＋0.35.
(3)根據(jù)回歸方程的預測，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標準煤的數(shù)量為0.7×100＋0.35＝70.35，故耗能降低了90－70.35＝19.65噸標準煤．
11．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）計算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
（2）代入題給相關系數(shù)公式去計算即可求得樣本的相關系數(shù)值；
（3）依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．
【詳解】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值
樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值
據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，
平均一棵的材積量為
（2）
則
（3）設該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為，
又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，
可得，解之得．
則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為
12．（1）利用模型①預測值為226.1，利用模型②預測值為256.5，（2）利用模型②得到的預測值更可靠．
【詳解】分析：（1）兩個回歸直線方程中無參數(shù)，所以分別求自變量為2018時所對應的函數(shù)值，就得結果;（2）根據(jù)折線圖知2000到2009，與2010到2016是兩個有明顯區(qū)別的直線，且2010到2016的增幅明顯高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2018的預測.
詳解：（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為
=–30.4+13.5×19=226.1（億元）．
利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為
=99+17.5×9=256.5（億元）．
（2）利用模型②得到的預測值更可靠．
理由如下：
（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢．2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠．
（ii）從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠．
點睛：若已知回歸直線方程，則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預測值；若回歸直線方程有待定參數(shù)，則根據(jù)回歸直線方程恒過點求參數(shù).
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑