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專題2 平面向量基本定理和坐標(biāo)運(yùn)算
【必備知識(shí)】平面向量基本定理
（1）定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使＝λ1＋λ2．
（2）基底：不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
單位向量定義：長(zhǎng)度（模）為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量．設(shè)是非零向量同方向的單位向量，則或．
【必備技能】用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的．
【考向總覽】
考向一 基底的概念與基底表示向量 （★★★）
考向二 平面向量基本定理及其應(yīng)用 （★★★★）
【考向歸類】
考向一 基底的概念與基底表示向量
【典例1-1】
（22-23高一下·江蘇淮安·期末）
1．下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【典例1-2】
（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）
2．在中，，，若點(diǎn)滿足，以作為基底，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【備考提醒】如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2；若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．
【舉一反三】
（23-24高一下·山東濱州·開學(xué)考試）
3．若在三角形中，，，則（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高一下·江蘇蘇州·期末）
4．如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊和邊上，，分別為和的三等分點(diǎn)，點(diǎn)靠近點(diǎn)，點(diǎn)靠近點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，，則（ ）

A． B．
C． D．
考向二 平面向量基本定理及其應(yīng)用
【典例2-1】
（22-23高一下·江蘇鹽城·期末）
5．已知中，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，則向量為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】
6．已知為的邊所在直線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)在直線上，且，則（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系．
【舉一反三】
（23-24高一上·北京昌平·期末）
7．在中，點(diǎn)D，E滿足，.若，則 .
（23-24高一上·遼寧大連·期末）
8．如圖，在中，，，AD與BC相交于點(diǎn)M.設(shè)，.

(1)試用基底表示向量；
(2)在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過點(diǎn)M，若，，求的值.
【必備知識(shí)】平面向量的坐標(biāo)表示
在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a與數(shù)對(duì)（x，y）是一一對(duì)應(yīng)的，把有序數(shù)對(duì)（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝（x，y），其中a在x軸上的坐標(biāo)是x，a在y軸上的坐標(biāo)是y．
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（1）設(shè)=，=，則=．
（2）設(shè)=，=，則=．
（3）設(shè)，，則．
（4）設(shè)=，，則=．
（5）設(shè)=，=，則（斜乘相減等于零）．
（6）設(shè)=，則||=．
【必備技能】求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的一般思路
1．向量問題坐標(biāo)化
向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，通過建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算．
2．巧借方程思想求坐標(biāo)
向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過程中要注意方程思想的運(yùn)用．
3．妙用待定系數(shù)法求系數(shù)
利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出系數(shù)．
【考向總覽】
考向一 向量的線性運(yùn)算坐標(biāo)表示（★★★★）
考向二 根據(jù)線性運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)（★★★）
考向三 線段的定比分點(diǎn)（★★★）
【考向歸類】
考向一 向量的線性運(yùn)算坐標(biāo)表示
【典例1-1】
（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）
9．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．1
【典例1-2】
（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）
10．已知向量，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
【備考提醒】①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
【舉一反三】
（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）
11．已知向量，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）
12．已知（ ）
A． B． C． D．
考向二 根據(jù)線性運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)
【典例2-1】
（22-23高一下·四川眉山·期中）
13．已知向量滿足，，，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【典例2-2】
（22-23高一下·北京大興·期末）
14．已知向量與，且，則（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過程中要注意方程思想的運(yùn)用．
【舉一反三】
（2023高一·全國(guó)·專題練習(xí)）
15．已知，，，且，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .
（22-23高一下·廣東湛江·階段練習(xí)）
16．解答下列各題：
(1)設(shè)向量，，求；
(2)已知兩點(diǎn)和，點(diǎn)P滿足，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
考向三 線段的定比分點(diǎn)
【典例3-1】
（22-23高一下·江蘇蘇州·期末）
17．已知，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．或
【典例3-2】
（22-23高一下·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）
18．已知，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇蘇州·期末）
19．已知，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．或
（22-23高一下·四川自貢·期中）
20．已知點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 .
【必備知識(shí)】平面向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b x1y2－x2y1＝0.
【必備技能】平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略：
（1）如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”．
（2）在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．
【考向總覽】
考向一 根據(jù)坐標(biāo)判斷向量是否平行（★★★★）
考向二 由向量平行求參數(shù)（★★★★）
考向三 由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題（★★★）
【考向歸類】
考向一 根據(jù)坐標(biāo)判斷向量是否平行
【典例1-1】
（22-23高一下·河南·期中）
21．下列向量中與共線的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】
（22-23高一下·江蘇無(wú)錫·期中）
22．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】向量共線的判定方法
（1）利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
（2）利用向量共線的坐標(biāo)表示，由x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判斷a與b平行.
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）
23．在下列向量組中，可以把向量表示出來的是（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高一下·浙江溫州·期中）
24．若向量，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．時(shí)，
C．與垂直的單位向量有兩個(gè)
D．時(shí)，在上的投影向量為
考向二 由向量平行求參數(shù)
【典例2-1】
（22-23高一下·河北石家莊·期中）
25．已知向量，若與共線，則m的值為 ．
【典例2-2】
（23-24高三上·江蘇南通·期末）
26．若向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【備考提醒】本類題型直接根據(jù)向量共線的充要條件列式求解計(jì)算即可.
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇連云港·期中）
27．設(shè)為實(shí)數(shù)，若向量，，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．4
（22-23高一下·江蘇徐州·期中）
28．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，，.向量，.若，則角的大小為（ ）
A． B．
C． D．
考向三 由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題
【典例3-1】
（22-23高一下·江蘇無(wú)錫·期末）
29．已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】
（22-23高一下·山東·期中）
30．某同學(xué)因興趣愛好，自己繪制了一個(gè)迷宮圖，其圖紙如圖所示，該同學(xué)為讓迷宮圖更加美觀，在繪制過程中，按單位長(zhǎng)度給迷宮圖標(biāo)記了刻度，該同學(xué)發(fā)現(xiàn)圖中A，B，C三點(diǎn)恰好共線，則（ ）
A．7 B． C． D．8
【備考提醒】三點(diǎn)共線的充要條件:
（1）、、三點(diǎn)共線的充要條件是．
（2）設(shè)、不共線，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線的充要條件是．
特別地，當(dāng)時(shí)，是中點(diǎn)．
【舉一反三】
（22-23高一下·福建漳州·期中）
31．已知向量，.
(1)若與共線，求的值；
(2)若，，且三點(diǎn)共線，求的值.
（22-23高一下·河北石家莊·階段練習(xí)）
32．已知向量與不共線，且，，．
(1)若，求m，n的值；
(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，求的最大值．
【必備知識(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.
知識(shí)點(diǎn)二 平面向量坐標(biāo)表示的幾個(gè)公式
1.向量模的坐標(biāo)公式
若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2，或|a|＝.
2.兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離公式
＝.
3.兩向量夾角的余弦公式
設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，則cos θ＝.
（1）θ為銳角或零角 x1x2＋y1y2>0；
（2）θ為鈍角或θ＝π x1x2＋y1y2<0.
知識(shí)點(diǎn)三　向量垂直的條件
設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
【必備技能】向量數(shù)量積的運(yùn)算有兩種思路：一種是基底法，另一種是坐標(biāo)法，兩者相互補(bǔ)充.當(dāng)題目中的圖形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊圖形時(shí)，一般選擇坐標(biāo)法.
【考向總覽】
考向一 數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算（★★★★）
考向二 向量模的坐標(biāo)運(yùn)算（★★★）
考向三 向量夾角與垂直的坐標(biāo)表示（★★★）
考向四 已知夾角/數(shù)量積/向量垂直求參數(shù)（★★★★）
考向五 投影向量的坐標(biāo)表示（★★★★★）
【考向歸類】
考向一 數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
【典例1-1】
（23-24高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）
33．已知，若，則（ ）
A．4 B． C． D．-4
【典例1-2】
（22-23高一下·內(nèi)蒙古包頭·期末）
34．邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的重心為G，設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，則的最小值為 ．
【備考提醒】進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要正確使用公式a·b＝x1x2＋y1y2及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，并注意與函數(shù)、方程等知識(shí)的聯(lián)系.
【舉一反三】
（22-23高一下·甘肅武威·期中）
35．已知向量，則 .
（22-23高一下·新疆喀什·期中）
36．已知向量，，求：
(1)；
(2)||；
(3).
考向二 向量模的坐標(biāo)運(yùn)算
【典例2-1】
（22-23高一下·新疆阿克蘇·期末）
37．已知向量，，則（ ）
A． B．5 C． D．4
【典例2-2】
（22-23高三上·江蘇·期末）
38．已知向量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】求向量的模的兩種基本策略
（1）字母表示下的運(yùn)算：利用|a|2＝a2，將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題.
（2）坐標(biāo)表示下的運(yùn)算：若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝
【舉一反三】
（22-23高一下·安徽滁州·期末）
39．已知平面向量，，則（ ）
A．1 B．2 C． D．3
（23-24高一上·北京延慶·期末）
40．已知，則=
考向三 向量夾角與垂直的坐標(biāo)表示
【典例3-1】
（22-23高一下·青海西寧·期末）
41．已知，，，則與的夾角是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】
42．設(shè)向量，，則（ ）
A． B．
C． D．與的夾角為
【備考提醒】1.利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩向量夾角的步驟
（1）求向量的數(shù)量積.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積.
（2）求模.利用|a|＝計(jì)算向量的模.
（3）求夾角余弦值.由公式cos θ＝求夾角余弦值.
（4）求角.由向量夾角的范圍及cos θ求θ的值.
2.涉及非零向量a，b垂直問題時(shí)，一般借助a⊥b a·b＝x1x2＋y1y2＝0來解決.
【舉一反三】
（23-24高一下·江蘇南京·期中）
43．已知向量，若與垂直，則 （ ）
A．13 B． C．11 D．
（22-23高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）
44．在中，，為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．相交于點(diǎn).則中線的長(zhǎng)為 .的余弦值為 ．
考向四 已知夾角/數(shù)量積/向量垂直求參數(shù)
【典例4-1】
（23-24高一上·浙江紹興·期末）
45．已知向量，，且，則（ ）
A． B．2 C． D．
【典例4-2】
（22-23高一下·江蘇蘇州·期中）
46．已知，為互相垂直的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【備考提醒】此類題目需要熟練掌握相關(guān)公式，根據(jù)相關(guān)公式代入求解方程即可得到參數(shù)的值.
【舉一反三】
（22-23高一下·甘肅臨夏·期末）
47．已知點(diǎn)及平面向量，，．
(1)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．
（22-23高一下·江西新余·期末）
48．已知向量．
(1)若向量的夾角為銳角，求x的取值范圍；
(2)若，求．
考向五 投影向量的坐標(biāo)表示
【典例5-1】
（22-23高一下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）
49．已知向量，，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】
（22-23高一下·天津和平·期末）
50．已知向量，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為 .
【備考提醒】向量的投影
（1）定義：如圖，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，＝a，＝b，作如下的變換：過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，則稱上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
（2）計(jì)算：設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe.
【舉一反三】
（22-23高一下·寧夏吳忠·期末）
51．已知向量，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·江西南昌·期末）
52．已知向量，，則在方向上的投影數(shù)量是 .
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．D
【分析】?jī)蓚€(gè)向量若不共線即可作為一組基底，所以找出不共線的向量組即可.
【詳解】只要兩個(gè)向量不共線，即可作為基底向量
對(duì)于A，因?yàn)椋裕瑒t共線，故A不符合；
對(duì)于B，因?yàn)椋裕瑒t共線，故B不符合；
對(duì)于C，因?yàn)椋裕瑒t共線，故C不符合；
對(duì)于D，因?yàn)椋裕瑒t不共線，故D符合；
故選：D.
2．A
【分析】結(jié)合圖形，將和分別用和，和表示，代入方程即可求解.
【詳解】
如圖，因，則，即，
解得：.
故選：A.
3．A
【分析】根據(jù)圖形，由向量的線性運(yùn)算及減法運(yùn)算求解即可.
【詳解】如圖，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
故選：A
4．B
【分析】利用表示，結(jié)合平面向量基本定理確定其表達(dá)式.
【詳解】設(shè)，，
所以，
又，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，解得，
所以，
故選：B.
5．D
【分析】利用的圖形關(guān)系并依據(jù)平面向量基本定理即可利用向量表示向量.
【詳解】中，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，則

故選：D
6．A
【分析】由平面向量基本定理的推論求解．
【詳解】，
而三點(diǎn)共線，故，即，
故選：A
7．##
【分析】利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理求解即得.
【詳解】在中，點(diǎn)D，E滿足，，
則，
而不共線，又，因此，
所以.
故答案為：
8．(1)
(2)
【分析】（1）由D，M，A三點(diǎn)共線，設(shè)，由C，M，B三點(diǎn)共線，可設(shè)，列出方程組，即可求解的值，得到結(jié)論；
（2）由E，M，F(xiàn)共線，設(shè)，由（1）可求得，化簡(jiǎn)即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)镃，M，B三點(diǎn)共線，D，M，A三點(diǎn)共線，所以設(shè)，，
則，，
所以，解得，所以；
（2）因?yàn)镋，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以設(shè)，
則，由（1）知，
所以，所以.
9．A
【分析】根據(jù)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的加法公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?
故選：A
10．D
【分析】利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?
故選：D.
11．A
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的加減可得.
【詳解】
故選：A
12．A
【分析】由平面向量的坐標(biāo)的加減運(yùn)算及數(shù)量積公式求解結(jié)果.
【詳解】，
，
.
故選：A.
13．B
【分析】設(shè)出向量，的坐標(biāo)，根據(jù)條件列出坐標(biāo)方程，即可解出，的坐標(biāo)，即可進(jìn)一步列出含參數(shù)的坐標(biāo)方程，從而解出參數(shù)，.
【詳解】設(shè)，，又，，
所以，且，
解得，，即，.所以，則，解得，故.
故選：B.
14．A
【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及平面向量基本定理計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)榕c，
又，所以，所以.
故選：A
15．
【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入中，計(jì)算結(jié)果.
【詳解】由題意得，所以.
設(shè)，則，
所以，解得 ，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
故答案為：
16．(1)
(2)．
【分析】（1）由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解；
（2）由向量的坐標(biāo)表示求解.
【詳解】（1）．
（2）由已知兩點(diǎn)和，可得，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，則．
由已知，可得，
∴解得∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是．
17．B
【分析】根據(jù)已知條件及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.
【詳解】由題意得，點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則
，解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選:B．
18．D
【分析】由題可得，可得，即求．
【詳解】點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，
，即,
所以．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
故選：D.
19．B
【分析】根據(jù)已知條件及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.
【詳解】由題意得，點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則
，解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選:B．
20．
【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，列出方程組，即可求解.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，
可得，
設(shè)，則，即 ，
解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：.
21．C
【分析】根據(jù)共線向量定理判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋晒簿€向量定理可知向量與共線.
故選：C.
22．D
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】因?yàn)橄蛄浚傻茫訟不正確；
由，所以與不共線，所以B不正確；
由，所以，所以C不正確；
由，所以，所以D正確.
故選：D.
23．A
【分析】設(shè)，然后對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)代入向量的坐標(biāo)，建立方程組求解即可．
【詳解】解：選項(xiàng)A：設(shè)，即（﹣1，3）＝λ（﹣1，2）+μ（3，2），
所以，解得，所以A正確，
選項(xiàng)B：設(shè)，即（﹣1，3）＝λ（0，0）+μ（1，﹣4），
所以，解得，所以λ，μ無(wú)解，故B錯(cuò)誤，
選項(xiàng)C：設(shè)，即（﹣1，3）＝λ（5，1）+μ（10，2），
所以，解得，無(wú)解，故C錯(cuò)誤，
選項(xiàng)D：設(shè)，即（﹣1，3）＝λ（﹣4，3）+μ（4，﹣3），
所以，解得，無(wú)解，故D錯(cuò)誤，
故選：A．
24．CD
【分析】根據(jù)向量模的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷A，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可判斷B，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和單位向量的定義即可判斷C，根據(jù)投影向量的求法即可判斷D.
【詳解】對(duì)A，，解得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，顯然，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，設(shè)與垂直的單位向量為，則有，
解得或，則，則C正確；
對(duì)D，，則在上的投影向量為，故D正確.
故選：CD.
25．
【分析】計(jì)算出兩向量與的坐標(biāo)，再利用共線向量的坐標(biāo)表示，求出的值.
【詳解】向量，則，
，由向量與共線，得，解得，
所以m的值為.
故答案為：
26．C
【分析】由向量平行的充要條件結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由題意，則“”是“”的充要條件.
故選：C．
27．B
【分析】由向量共線定理結(jié)合已知條件即可求解.
【詳解】因?yàn)椋源嬖趯?shí)數(shù)，使得，
又，，所以，
解得，所以的值為.
故選：B．
28．B
【分析】根據(jù)，得，由余弦定理可求.
【詳解】因?yàn)橄蛄浚?br/>因?yàn)椋?br/>所以，即，
由余弦定理可得.
因?yàn)椋裕?br/>故選：B.
29．D
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.
【詳解】由題意可知 由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以與共線，
所以，
所以,
故選：D
30．C
【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示可得.
【詳解】由圖可知，
所以，，
因?yàn)椋裕獾?
故選：C
31．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得結(jié)果；
（2）由三點(diǎn)共線可知共線，由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】（1），，又與共線，
，解得：.
（2），，又三點(diǎn)共線，
，解得：.
32．(1)，
(2)
【分析】（1）由已知求得，再根據(jù)向量的線性運(yùn)算可求得答案；
（2）由A，B，C三點(diǎn)共線得，存在不為零的數(shù)，使得，繼而有，再得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>（2），，
由A，B，C三點(diǎn)共線，存在不為零的數(shù)，使得，
即，
則，，
所以，，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．
33．D
【分析】根據(jù)向量垂直結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，利用模的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求得答案.
【詳解】由題意得，
即，
，
故選：D.
34．
【分析】由題意，建立直角坐標(biāo)系，表示出坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，建立函數(shù)關(guān)系，可得答案.
【詳解】由題意，設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以分別為軸建立直角坐標(biāo)系，可作圖如下：
由為等邊的重心，則，，即，，
設(shè)，則，，
，
對(duì)于，，故.
故答案為：.
35．##0.5
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合兩角和與差的余弦公式即可得到答案.
【詳解】向量，
∴.
故答案為：.
36．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求解；
（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)，直接代入向量模的坐標(biāo)表示的公式，即可求解；
（3）分別求向量和的坐標(biāo)，再代入向量數(shù)量積的公式，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t.
（2）
（3）由已知可得，，
則
37．B
【分析】根據(jù)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算求出，再由向量模公式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以.
故選：B
38．A
【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和向量模的坐標(biāo)表示，列出關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值.
【詳解】由，
可得，
又，則，
即，解之得
故選：A.
39．C
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：，
所以.
故選：C.
40．10
【分析】求出的坐標(biāo)，再由模的坐標(biāo)表示計(jì)算．
【詳解】由題意，
所以，
故答案為：10.
41．D
【分析】根據(jù)向量夾角公式即可代入求解.
【詳解】設(shè)向量與的夾角為θ，則，
因?yàn)椋?
故選:D.
42．CD
【分析】求出可判斷A；求出的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B；由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C；利用向量夾角公式計(jì)算可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋裕蔅錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椋裕裕蔆正確；
對(duì)于D，，因?yàn)椋?br/>所以與的夾角為，故D正確.
故選：CD.
43．A
【分析】由垂直向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄浚裕?br/>若與垂直，則，解得：.
故選：A.
44．
【分析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量模和夾角的坐標(biāo)表示，即可求解.
【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向?yàn)閤軸，過A做垂線為y軸，
與x軸夾角為.如圖：
則，
得，所以.
又，所以.
故答案為：； ．
45．D
【分析】由，可得，計(jì)算即可得的值.
【詳解】由，故，故.
故選：D.
46．C
【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，，，再由向量數(shù)量積的定義及夾角為銳角，列不等式求的范圍，注意排除夾角為時(shí)的值.
【詳解】因?yàn)椋瑸榛ハ啻怪钡膯挝幌蛄浚裕?br/>由題設(shè)，，
，則，
，則，
所以，即.
當(dāng)，可得，此時(shí)與的夾角為，不為銳角，
綜上，的范圍為.
故選：C.
47．(1)4
(2)
【分析】（1）利用向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)可得坐標(biāo)，再由題意列出方程求解；
（2）根據(jù)向量垂直，轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為0求解.
【詳解】（1）,
因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上，
所以，解得.
（2），，
又因?yàn)椋?br/>所以，
解得.
48．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量的夾角為銳角，得到，且與不共線，進(jìn)而列式求解即可；
（2）根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算法則得到，再結(jié)合向量垂直的相關(guān)知識(shí)得到，進(jìn)而求解向量的模.
【詳解】（1）因?yàn)橄蛄康膴A角為銳角，
所以，且與不同向共線，
則，解得且，
故x的取值范圍為
（2）由，得，
若，則，即，解得，
所以，
所以
49．C
【分析】先由向量垂直求出，從而結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)公式及投影向量的公式求解即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄浚裕獾茫?br/>則，則，
所以在方向上的投影向量為.
故選：C
50．
【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求解即得.
【詳解】向量，則，
所以向量在方向上的投影向量為
故答案為：
51．A
【分析】根據(jù)題意，求得，且，結(jié)合公式，即可求解.
【詳解】由向量，
可得，且，則在上的投影向量為.
故選：A.
52．
【分析】利用投影數(shù)量的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，，
所以，
則在方向上的投影數(shù)量是.
故答案為：.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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