資源簡介

專題3 平面向量的應用
【必備知識】知識點一　余弦定理
文字語言：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．
符號語言：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos_A，b2＝c2＋a2－2ca_cos_B，c2＝a2＋b2－2ab_cos_C．
知識點二　余弦定理的推論在△ABC中，cos A＝，cos B＝，cos C＝．
知識點三　解三角形
一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形．
知識點四　正弦定理
文字語言 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等
符號語言 ＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓的半徑)
知識點五　正弦定理的變形
正弦定理的變形(R為△ABC外接圓的半徑)
1．a＝2R·sin_A，b＝2R·sin_B，c＝2R·sin_C；2．sin A＝，sin B＝，sin C＝；
3．a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C．
知識點六　常用的三角形的面積計算公式
1．S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分別為邊a，b，c上的高)．
2．將ha＝b sin C，hb＝c sin A，hc＝a sin B代入上式可得S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半．
知識點七　三角形中有關邊和角的常用性質
1．三角形內角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π．
2．在△ABC中，a>b A>B sin A>sin B．
3．在△ABC中，a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b．
4．在△ABC中，A為銳角 cos A>0 a2b2＋c2．
【必備技能】
1．用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：
（1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題．
（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題．
（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系．
2．已知三角形三邊解三角形的方法
先利用余弦定理的推論求出一個角的余弦值，從而求出第一個角；再利用余弦定理的推論求出第二個角；最后利用三角形的內角和定理求出第三個角．
3．已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法
已知三角形的兩邊及一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角．若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊．
4．已知兩角及一邊解三角形的解題方法
（1）若所給邊是已知角的對邊，可先由正弦定理求另一邊，再由三角形的內角和定理求第三個角，最后由正弦定理求第三邊．
（2）若所給邊不是已知角的對邊，則先由三角形內角和定理求第三個角，再由正弦定理求另外兩邊．
5．已知兩邊及一角解三角形時，如果已確定三角形有解，可用“大角對大邊”來判定是有一解還是有兩解，不必死記硬背某些結論．
6．利用正弦定理判斷三角形形狀的方法
（1）化邊為角：根據正弦定理把已知條件中邊和角的混合關系轉化為角的關系，再進行三角恒等變換，得到角的三角函數值或角的三角函數值之間的關系，進而得到三角形的角或角的關系，從而確定三角形的形狀．
（2）化角為邊：根據正弦定理把已知條件中邊和角的混合關系轉化為邊的關系，然后通過整理得到邊與邊之間的數量關系，從而確定三角形的形狀．
【考向總覽】
考向一 正弦定理與余弦定理 （★★★★★）
考向二 線段垂直問題 （★★★★）
考向三 角度問題 （★★★）
考向四 線段長度問題 （★★★★）
考向五 最值問題 （★★★★★）
考向六 三角形形狀問題 （★★★）
考向七 三角形面積公式的應用 （★★★★★）
【考向歸類】
考向一 正弦定理與余弦定理
【典例1-1】
（22-23高一·江蘇海安·期末）
1．在中，內角的對邊分別為，有，，，則 .
【典例1-2】
（22-23高二下·寧夏石嘴山·期末）
2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．
(1)求a的值；
(2)求的值．
【備考提醒】正、余弦定理本身是研究幾何圖形計算的工具，因此在面對幾何圖形時，關鍵是尋找相應的三角形，并在三角形中運用正、余弦定理，特別是涉及公共邊時，要利用公共邊來進行過渡，即利用公共邊創造的互補或互余關系列式，其本質是構建關于角的關系的方程．
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇宿遷·期中）
3．如圖，平面四邊形中，與交于點，若，，則 ．
（23-24高二上·云南·期末）
4．在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足．
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值．
考向二 線段垂直問題
【典例2-1】
（23-24高三上·山西·期末）
5．已知平面四邊形的四條邊，，，的中點依次為E，F，G，H，且，則四邊形一定為（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形
【典例2-2】
（22-23高一下·海南省直轄縣級單位·期中）
6．如圖所示，已知在正方形中，E，F分別是邊，的中點，與交于點M.

(1)設，，用，表示，；
(2)猜想與的位置關系，寫出你的猜想并用向量法證明你的猜想.
【備考提醒】1．解決垂直問題的一般思路是將目標線段的垂直轉化為相應向量的數量積為零．
2．兩個向量垂直的條件，即向量的數量積為0，可以考慮向量關系式的形式，也可以考慮坐標的形式．
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇泰州·期中）
7．在中，分別為邊上的點，且.設.

(1)用表示；
(2)用向量的方法證明：.
（22-23高一下·陜西西安·期末）
8．已知在中，點是邊上靠近點的四等分點，點為中點，設與相交于點.

(1)請用、表示向量；
(2)設和的夾角為，若，且，求證：.
考向三 角度問題
【典例3-1】
（22-23高一下·江蘇揚州·期中）
9．如圖：已知樹頂A離地面米，樹上另一點離地面米，某人在離地面米的處看此樹，則該人離此樹（　　）米時，看A、的視角最大.
A．4 B．5 C．6 D．7
【典例3-2】
（22-23高一下·福建廈門·期中）
10．如圖，正方形ABCD的邊長為6，E是AB的中點，F是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于M，則 ．
【備考提醒】用向量法求角度的策略：將要求的角轉化為兩向量的夾角，再使用基底法或坐標法求出向量的模或該夾角的余弦值，然后求出夾角即可．
【舉一反三】
（22-23高一下·山東聊城·期末）
11．如圖，在中，已知，，，是的中點，，設與相交于點，則 ．

（22-23高一下·福建廈門·期末）
12．在四邊形中，，，，其中，為不共線的向量．
(1)判斷四邊形的形狀，并給出證明；
(2)若，，與的夾角為，為中點，求．
考向四 線段長度問題
【典例4-1】
（22-23高一下·江蘇無錫·期中）
13．在中，O為BC的中點，向量，的夾角為，，則線段AC的長度是 .
【典例4-2】
（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）
14．在中，角所對的邊分別為，.
(1)求角的值；
(2)若，邊上的中點為，求的長度.
【備考提醒】用向量法求長度的策略
①根據圖形特點選擇基底，利用向量的數量積轉化，用公式|a|2＝a2求解．
②建立坐標系，確定相應向量的坐標，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝．
用向量法解決平面幾何問題的兩種思想
①幾何法：選取適當的基底(基底中的向量盡量已知模或夾角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質求解．
②坐標法：建立平面直角坐標系，實現向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉化為代數運算．
【舉一反三】
（22-23高一下·上海奉賢·階段練習）
15．已知是邊長為1的等邊三角形，點O是所在平面上的任意一點，則向量的模為 .
（22-23高一下·北京大興·期中）
16．已知的面積為，，，則AC邊的中線的長為（ ）
A． B．3 C． D．4
考向五 最值問題
【典例5-1】
（22-23高一下·江蘇泗陽·期末）
17．在銳角三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
(1)求角B的值；
(2)若，求的取值范圍．
【典例5-2】
（22-23高二上·四川遂寧·階段練習）
18．等邊的面積為，且的內心為，若平面內的點滿足，則的最小值為 ．
【備考提醒】最值與范圍問題一般有兩種解法
（1）轉化為邊的關系，利用基本不等式求解．
（2）轉化為角的關系，利用三角函數的性質與三角函數的恒等變換求解．
【舉一反三】
（22-23高一下·重慶綦江·期中）
19．已知菱形的邊長為，則的取值范圍是 ．
（22-23高一上·湖南長沙·期末）
20．已知.
(1)求函數圖象的對稱軸方程；
(2)設的內角所對的邊分別為，若且.求的取值范圍．
考向六 三角形形狀問題
【典例6-1】
（22-23高一下·江蘇南通·期中）
21．在中，若，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【典例6-2】
（23-24高二上·廣東佛山·期中）
22．已知的三個頂點分別是，，，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【備考提醒】判斷三角形的形狀，應圍繞三角形的邊角關系進行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區別．
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇鹽城·期中）
23．中，、、分別是內角、、的對邊，若且，則的形狀是（ ）
A．有一個角是的等腰三角形
B．等邊三角形
C．三邊均不相等的直角三角形
D．等腰直角三角形
（22-23高二下·湖南長沙·階段練習）
24．下列有關四邊形的形狀，判斷正確的有（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，且，則四邊形為菱形
C．若，則四邊形為矩形
D．若，且，則四邊形為正方形
考向七 三角形面積公式應用
【典例7-1】
（22-23高一下·江蘇東臺·期中）
25．在中，，則 ， ．
【典例7-2】
（23-24高二上·廣東茂名·期末）
26．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且.
(1)求；
(2)若的面積為，求的周長.
【備考提醒】本章節三角形面積公式著重于S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半這一形式，往往結合正弦定理和余弦定理綜合運用．
【舉一反三】
（23-24高一下·四川成都·開學考試）
27．在中，角、、的對邊分別為、、，且的面積，，則（ ）
A． B． C． D．
（2024·云南昭通·模擬預測）
28．在中，角的對邊分別為，已知.
(1)求；
(2)若，求面積的最大值.
【必備知識】一、基線的概念與選擇原則
1．定義：在測量過程中，我們把根據測量的需要而確定的線段叫做基線．
2．性質：在測量過程中，應根據實際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．
二、測量中的有關角的概念
1．仰角和俯角
與目標視線在同一鉛垂平面內的水平線和目標視線的夾角，目標視線在水平線上方時叫仰角，目標視線在水平線下方時叫俯角．(如圖所示)
2．方向角
從指定方向線到目標方向線所成的小于90°的水平角．如南偏西60°，即以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉60°．(如圖所示)
【必備技能】向量方法解決物理問題的步驟
用向量方法討論物理學中的相關問題，一般來說分為四個步驟：
（1）問題轉化，即把物理問題轉化為數學問題．
（2）建立模型，即建立以向量為載體的數學模型．
（3）求解參數，即求向量的模、夾角、數量積等．
（4）回答問題，即把所得的數學結論回歸到物理問題．
【考向總覽】
考向一 物理學相關問題 （★★★）
考向二 實際生活問題 （★★★）
【考向歸類】
考向一 物理學相關問題
【典例1-1】
（23-24高二上·廣東佛山·階段練習）
29．已知力，，滿足，且，則 .
【典例1-2】
（22-23高一下·江蘇江陰·期末）
30．冰球運動是一種以冰刀和冰球桿為工具在冰上進行的相互對抗的集體性競技運動，在冰球運動中，冰球運動員腳穿冰鞋，身著防護裝備，以球桿擊球，球入對方球門，多者為勝．小趙同學在練習冰球的過程中，以力作用于冰球，使冰球從點移動到點，則F對冰球所做的功為（ ）

A． B．18 C． D．12
【備考提醒】平面向量與物理學結合的問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為問題的解．
【舉一反三】
（23-24高二上·廣東佛山·期中）
31．如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為，已知禮物的質量為，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（ ）（重力加速度）
A． B． C． D．
（22-23高一下·江蘇昆山·期中）
32．三名學生拉同一個可移動物體，當處于平衡狀態時，所用的力分別用表示.若， 的夾角是，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．夾角的余弦值為
D．夾角的余弦值為得
考向二 實際生活問題
【典例2-1】
（23-24高一下·廣東惠州·開學考試）
33．已知飛機從A地按北偏東的方向飛行到達B地，再從B地按南偏東的方向飛行到達C地，再從C地按西南方向飛行到達D地.則D地距A地（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】
34．在水流速度為的河中，要使船以的速度與河岸成直角橫渡，則船行駛速度的大小為 ，與水流方向所成的角為 ．
【備考提醒】運用平面向量與解三角形知識來解決生活問題，一般是把問題轉化為求三角形的邊長問題，基本方法為：
（1）認真理解題意，正確作出圖形，根據條件和圖形特點尋找可解的三角形．
（2）把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊和角，利用正、余弦定理求解．
【舉一反三】
（23-24高一下·江蘇泰州·期中）
35．長江流域內某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·廣東清遠·階段練習）
36．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東km/h.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發，航行到位于河對岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當小貨船的航程最短時，求此時小貨船航行速度為多少. （ ）
A．km/h B．km/h
C．km/h D．km/h
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】根據題意，利用余弦定理求得，再由正弦定理，列出方程，即可求解.
【詳解】因為，可得，
又因為，可得，
因為，，由正弦定理，可得，解得.
故答案為：.
2．(1)2
(2)
【分析】（1）利用余弦定理得到關于的方程，解方程即可解出值；
（2）方法1：利用余弦定理求出，再根據角的范圍利用公式計算；方法：先利用公式計算，再利用正弦定理求.
【詳解】（1）因為，在中，由余弦定理有：，
得，解得，（舍去）．所以.
（2）方法1：由余弦定理，得，，
∵C是的內角，∴．
方法2：∵，且B是的內角，∴，
在中，根據正弦定理，，得．
3．##
【分析】由向量對應的比例關系、正弦定理，首先可列方程結合求得，進一步結合余弦定理可表示出，由此即可得解.
【詳解】如圖，設，，，
，
則：在中，有，
在中，有，
兩式相除得，化簡得，又，
所以，即，
所以.
在中，由余弦定理，解得，
進一步繼續在中，由勾股定理有，所以，
所以.
故答案為：.
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理結合兩角和的正弦公式化簡得出的值，結合角的取值范圍可得出角的值；
（2）利用余弦定理結合基本不等式可求得的最大值，再結合三角形的面積公式可求得面積的最大值.
【詳解】（1）解：因為，
由正弦定理可得
，
因為、，則，可得，
所以，，故.
（2）解：由余弦定理可得，
當且僅當時，等號成立，
故，
因此，面積的最大值為.
5．C
【分析】由中位線定理可得四邊形為平行四邊形，結合已知以及，化簡整理得，即，進一步即可得解.
【詳解】

由題意結合中位線定理可得，，
所以，即四邊形為平行四邊形.
，
，
，
，
，即，即，
所以，又，所以，
同理由中位線定理可得，所以，
故四邊形為矩形.
故選：C.
6．(1)，
(2)，證明見解析
【分析】（1）利用向量的線性運算求解即可；
（2）用基底表示兩個向量，利用數量積的運算證明即可.
【詳解】（1），
；
（2），證明如下：
由（1）知，，
所以，
設，則，
所以，所以，得證.
7．(1).
(2)證明見解析
【分析】（1）根據平面向量的線性運算即可求解；
（2）由（1）得，根據平面向量的數量積運算即可證明.
【詳解】（1）因為，
.
（2）由且，
得，
所以.
8．(1).
(2)證明見解析.
【分析】（1）結合圖形，根據平面向量的線性運算可得.
（2）以、為基底表示出向量，結合向量的數量積公式，可證得.
【詳解】（1）.
（2），
，.
9．C
【分析】建立平面直角坐標系，利用向量的方法即可求得看A、的視角最大時該人離此樹距離.
【詳解】如圖建立平面直角坐標系，則，設，
則，
則
又，且余弦函數在單調遞減，
則當，即時最大.
即該人離此樹6米時，看A、的視角最大.
故選：C
10．##
【分析】令，作為基底，將表示出來，再根據向量的數量積公式求夾角即可.
【詳解】解：設，，則，
，又，，
所以
．
故答案為：.
11．
【分析】用和表示和，根據以及，，，可求出結果.
【詳解】因為是的中點，所以，
，
因為，，
，
所以，
所以.
故答案為：.
12．(1)四邊形為梯形，證明見解析
(2)
【分析】（1）根據向量線性運算判斷的關系即可；
（2）利用向量數量積先求，和，然后由向量夾角公式可得.
【詳解】（1）因為，，
所以，
又因為，所以，
又因為四點不共線，所以且，所以四邊形為梯形．
（2）因為，
所以，
因為為中點，所以，
所以，所以，
所以，
因為，所以．

13．
【分析】根據條件可得，結合向量的模長公式以及數量積的運算，即可得到結果.
【詳解】，
，
.
故答案為:.
14．(1)
(2)
【分析】（1）切化弦后，利用兩角和的正弦公式求解；
（2）利用平面向量數量積可求出結果.
【詳解】（1），，
，，
，，
.
（2）是邊上的中線，
，
，
.
15．
【分析】根據平面向量的線性運算以及平面向量數量積的運算律可求出結果.
【詳解】因為是邊長為1的等邊三角形，所以，，
所以，
所以
.
故答案為：
16．C
【分析】根據正弦定理、二倍角正弦公式、正弦函數的性質，結合三角形面積公式、平面向量加法的幾何意義、平面向量數量積的運算性質進行求解即可.
【詳解】根據正弦定理由，
因為，所以，或，
當時，,不符合三角形內角和定理，
當時，，因此,
因此，因為的面積為，
所以有，負值舍去，即，
由余弦定理可知：
，
設邊的中點為，所以有，因此
故選：C
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角后整理化簡即可；
（2）利用正弦定理得到，則，利用三角公式變形整理，利用三角函數的性質求最值.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理邊化角可得，
所以，又，
所以，又為銳角，
則；
（2）由正弦定理，
則，
所以，
，
因為在銳角三角形中，得，
所以，
則，
所以的取值范圍為.
18．
【分析】根據三角形面積公式求邊長，再應用等面積法、正弦定理求內切圓、外接圓半徑，并判斷的軌跡及相對三角形的位置，最后由，數形結合求最小值即可.
【詳解】若邊長為，則，可得，
所以，內切圓半徑，外接圓半徑，
而的內心為，且，故在以為圓心，1為半徑的圓上，
所以N軌跡在三角形內部，如下圖示，，

所以
，
若是中點，則，
綜上，，要使其最小，只需反向共線，
由，故.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：利用向量數量積的運算律有，根據已知求相關向量的模，結合位置關系確定其最小值.
19．
【分析】利用平面向量的加法運算，結合夾角取值范圍和三角函數值域即可求得其范圍.
【詳解】如下圖所示：

易知，且，
所以，易知，
所以，
因此
故答案為：
20．(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量數量積的運算及三角恒等變換，結合三角函數的性質求解即可；
（2）由正弦定理可得，然后結合三角函數值域的求法求解即可．
【詳解】（1）已知，
則，
由（k∈Z），得（k∈Z），
即函數圖象的對稱軸方程為（k∈Z）；
（2）由，得，又，即.
所以，又，
由正弦定理，得，
即
又，所以，
所以.即的取值范圍為．
21．C
【分析】利用平面向量的數量積運算律計算即可.
【詳解】由題意可知，
所以，即的形狀是直角三角形.
故選：C
22．B
【分析】利用向量數量積的坐標表示即可求得，由模長公式計算可得，即可得出結論.
【詳解】易知，
可得，即，且，
所以可得的形狀是直角三角形.
故選：B
23．D
【分析】由推導可得的平分線垂直于邊BC，進而可得，再由給定面積導出得解.
【詳解】如圖所示，在邊、上分別取點、，使、，
以、為鄰邊作平行四邊形，則，顯然，
因此平行四邊形為菱形，平分，而，則有，即，
于是得是等腰三角形，即，令直線AF交BC于點O，則O是BC邊的中點，，
而，因此有，從而得，
所以是等腰直角三角形.
故選：D
24．AB
【分析】對選項A，利用即可判斷出選項A的正誤；對于選項B，由，得出四邊形為平行四邊形，再根據，即可判斷出選項B的正誤；對于選項C，根據條件，得到，即，從而判斷出選項C的正誤；選項D，根據及即可判斷出選項D的正誤.
【詳解】選項 A，若，則 ，，則四邊形為平行四邊形，故A正確；
選項B，若，則 ，，則四邊形為平行四邊形，
又，則，則四邊形一定是菱形，故B正確；
選項C，若，則，則，則，僅由不能判定四邊形為矩形，故C錯誤；
選項D，若，則，，則四邊形為平行四邊形，又由，可得，所以對角線，則平行四邊形為菱形，故D錯誤，
故選：AB．
25．
【分析】由題意可知，然后利用余弦定理即可求解；利用正弦定理的面積公式即可求解.
【詳解】對空：由題意知，則，所以，
由余弦定理得，則；
對空：由，，所以，
所以.
故答案為：；.
26．(1)
(2)
【分析】（1）根據正弦定理計算即可；
（2）利用三角形面積公式及余弦定理計算即可.
【詳解】（1）由已知得
由正弦定理得，
則．即
（2），得，
由余弦定理，
即，則，
所以，的周長為．
27．D
【分析】根據已知條件，結合余弦定理，以及三角形的面積公式，即可求解．
【詳解】解：的面積，
，
，
則，
，
，
，
，，，
，
．
故選：D．
28．(1)
(2)
【分析】（1）根據正弦定理邊角化可得，即可利用輔助角公式求解，
（2）根據余弦定理可得，利用不等式即可求解，由面積公式即可求解.
【詳解】（1）由正弦定理得，
又，
.
，，即，
.
.
（2）由余弦定理有，
，，當且僅當時取等號.
.
29．
【分析】由題意知，，，首尾相連必形成封閉的等邊三角形，再結合模長公式求解即可.
【詳解】由題意，如圖，

在等邊三角形中，可令，，,
所以.
故答案為：.
30．D
【分析】由平面向量數量積的定義即可得出答案.
【詳解】因為，，所以，又，
故力對冰球所做的功為.
故選：D.
31．C
【分析】根據降落傘在勻速下落的過程中力的平衡可列式求解，即得答案.
【詳解】設降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小，
則，故，
故選：C
32．BC
【分析】根據，然后利用數量積的運算律及模的運算公式求解，再由及數量積的運算公式求解即可.
【詳解】由已知可知：，
所以．
設的夾角為，由，得，
所以，得解.
故選：BC
33．D
【分析】利用“上北下南左西右東”建立直角坐標系，結合題意標出各點位置，從而在與中依次求得，從而得解.
【詳解】以為原點，正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立直角坐標系．
由題意知點在第一象限，點在x軸正半軸上，點在第四象限，

由已知可得，為正三角形，，所以．
又，，則，
所以為等腰直角三角形，所以.
故選：D.
34． 20
【分析】表示水流方向，表示垂直于對岸橫渡的方向，表示船實際航行的方向，則，由可得答案.
【詳解】如圖，表示水流方向，表示垂直于對岸橫渡的方向，表示船實際航行的方向，則，由題意知，，所以，且．所以船行駛速度的大小為，與水流方向所成的角為．
故答案為：①20②．
35．B
【分析】結合圖形，利用平面向量的線性運算、數量積公式、模長公式以及兩向量垂直的充要條件求解.
【詳解】由題意知，
則，
因為，，
即，
所以.故A，C，D錯誤.
故選：B.
36．B
【分析】根據平面向量的性質，結合平面向量數量積的運算性質進行求解即可.
【詳解】如圖所示：
，，
，
設合速度為，小貨船航行速度為，水流的速度為，
則有所以有
，
故選：B.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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