資源簡介

6.1平面向量的概念學案
【學習目標】
1. 了解平面向量的實際背景，理解平面向量的相關概念；
2. 掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念；
3. 理解兩個向量相等的含義以及共線向量的概念.
【學習重難點】
1．通過學生自主探究，并在教師的引導下，使學生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的幾何表示等是本節課的重點．
2．難點是學生對向量的概念和共線向量的概念的理解．
【預習新知】
向量的實際背景與概念
1．向量與數量
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．
(2)數量：只有大小，沒有方向的量稱為數量．
2．向量的幾何表示
(1)帶有方向的線段叫做有向線段．它包含三個要素：起點、方向、長度．
(2)向量可以用有向線段表示．向量的大小，也就是向量 的長度(或稱模)，記作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，例如：，.
思考：(1)向量可以比較大小嗎？
(2)有向線段就是向量嗎？
[提示]　(1)向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小．
(2)有向線段只是表示向量的一個圖形工具，它不是向量．
3．向量的有關概念
零向量 長度為0的向量，記作0
單位向量 長度等于1個單位的向量
平行向量 (共線向量) 方向相同或相反的非零向量 向量a，b平行，記作a∥b 規定：零向量與任一向量平行
相等向量 長度相等且方向相同的向量 向量a與b相等，記作a＝b
向量的幾何表示
1．向量的兩種表示方法
(1)幾何表示法：先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根據向量的長度確定向量的終點．
(2)字母表示法：為了便于運算可用字母a，b，c表示，為了聯系平面幾何中的圖形性質，可用表示向量的有向線段的起點與終點表示向量，如，，等．
2．兩種向量表示方法的作用
(1)用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運算，為用向量處理幾何問題打下了基礎．
(2)用字母表示法表示向量，便于向量的運算．
[跟進訓練]
2．某人從A點出發向東走了5米到達B點，然后改變方向按東北方向走了10米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點．
(1)作出向量，，；
(2)求的模．
[解]　(1)作出向量，，，如圖所示：
(2)由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米.
相等向量與共線向量
1．兩個相等的非零向量的起點與終點是否都分別重合？
提示：不一定．因為向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，與起點和終點位置無關．
2．若∥，則從直線AB與直線CD的關系和與的方向關系兩個方面考慮有哪些情況？
提示：分四種情況
(1)直線AB和直線CD重合，與同向；
(2)直線AB和直線CD重合，與反向；
(3)直線AB∥直線CD，與同向；
(4)直線AB∥直線CD，與反向．
　如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)與a共線的向量有哪些？
(3)請一一列出與a，b，c相等的向量．
思路點撥：根據相等向量與共線向量的概念尋找所求向量．
[解]　(1)與a的長度相等、方向相反的向量有，，，.
(2)與a共線的向量有，，，，，，，，.
(3)與a相等的向量有，，；與b相等的向量有，，；與c相等的向量有，，.
1．本例條件不變，寫出與向量相等的向量．
[解]　相等向量是指長度相等、方向相同的向量，所以圖中與相等的向量有，，.
2．本例條件不變，寫出與向量長度相等的共線向量．
[解]　與長度相等的共線向量有：，，，，，，.
3．在本例中，若|a|＝1，則正六邊形的邊長如何？
[解]　由正六邊形中，每邊與中心連接成的三角形均為正三角形，∴△FOA為等邊三角形，所以邊長AF＝|a|＝1.
相等向量與共線向量的探求方法
(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線．
(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量．
提醒：與向量平行相關的問題中，不要忽視零向量．
向量是既有大小又有方向的量，解決向量問題時一定要從大小和方向兩個方面去考慮．同時要注意理解以下幾個概念：
1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．任一向量都與它自身是平行向量．
2．共線向量也就是平行向量，其要求是幾個非零向量的方向相同或相反，其所在直線可以平行也可以重合．“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義．
3．相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．由向量相等的定義可以知道，對于一個向量，只要不改變它的大小和方向，是可以平行移動的．因此，用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點．
4．注意兩個特殊向量——零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行，單位向量有無窮多個，起點相同的所有單位向量的終點在平面內形成一個單位圓．
檢測
1．在下列判斷中，正確的是(　　)
①長度為0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③單位向量的長度都相等；
④單位向量都是同方向；
⑤任意向量與零向量都共線．
A．①②③　　　　 B．②③④
C．①②⑤ D．①③⑤
D　[由定義知①正確，②由于零向量的方向是任意的，故兩個零向量的方向是否相同不確定，故不正確．顯然③⑤正確，④不正確，故選D.]
2．汽車以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托車以45 km/h的速度向東北方向走了2 h，則下列命題中正確的是(　　)
A．汽車的速度大于摩托車的速度
B．汽車的位移大于摩托車的位移
C．汽車走的路程大于摩托車走的路程
D．以上都不對
C　[速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比較大小，路程可以比較大小．]
3.在下列命題中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個非零向量的兩個向量是共線向量．正確的命題是________．
④⑥　[由向量的相關概念可知④⑥正確．]
4．如圖所示菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于O點，∠DAB＝60°，分別以A，B，C，D，O中的不同兩點為始點與終點的向量中，
(1)寫出與平行的向量；
(2)寫出與模相等的向量．
[解]　由題圖可知，(1)與平行的向量有：，，；(2)與模相等的向量有：
，，，，，，，，.
【鞏固訓練】
1.已知，是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
2.中國象棋中規定馬走“日”，象走“田”.如圖，在中國象棋的半個棋盤（的矩形中每個小方格都是單位正方形）中，若馬在A處，則可跳到處，也可跳到處，用向量，表示馬走了“一步”.若馬在B或C處，則以B，C為起點表示馬走了“一步”的向量共有___________個.
3.給出下列物理量：①密度；②路程；③速度；④質量；⑤功；⑥位移.下列說法正確的是( )
A.①②③是數量，④⑤⑥是向量 B.②④⑥是數量，①③⑤是向量
C.①④是數量，②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是數量，③⑥是向量
4.下列說法中正確的是( )
A.若,則
B.若與共線,則或
C.若,為單位向量,則
D.是與非零向量共線的單位向量
5.下列命題中正確的是( )
A.兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同
B.兩個有公共終點的向量，一定是共線向量
C.兩個有共同起點且共線的向量，其終點必相同
D.若與是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上
6.下列說法正確的是( )
A.在正方形ABCD中,
B.已知向量,則A,B,C,D四點必在同一條直線上
C.零向量可以與任一向量共線
D.零向量可以與任一向量垂直
7.下列說法中不正確的是( )
A.零向量與任一向量平行 B.方向相反的兩個非零向量不一定共線
C.單位向量是模為1的向量 D.方向相反的兩個非零向量必不相等
8.以下關于平面向量的說法中,正確的是( )
A.有向線段就是向量 B.所有單位向量的模都相等
C.零向量沒有方向 D.平行向量也叫作共線向量
9.已知中，，，，動點P從點C出發沿線段CB運動，到達點B時停止，動點Q從點B出發沿線段BC運動，到達點C時停止，且動點Q的速度是動點P的2倍.若二者同時出發，且一個點停止運動時，另一個點也停止運動，則該過程中的最大值是( )
A. B.4 C. D.23
10.在中，點P滿足，過點P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點M，N，若，，則的最小值為( )
A.3 B. C.1 D.
參考答案
1.答案：D
解析：，是單位向量，.
，
且.
，又，
（是與的夾角）.
又，
，
.
根據一元二次不等式的解法，
解得.
故選：D.
2.答案：11
解析：如圖，在B處時可用向量，，表示馬走了“一步”，共3個，在C處可用向量，，，，，，，表示馬走了“一步”，共8個，所以以B，C為起點表示馬走了“一步”的向量共有11個.
3.答案：D
解析：
4.答案：AD
解析：易知A,D項正確;共線向量不一定模相等,B項錯誤;單位向量可能方向不同,C項錯誤.故選AD項.
5.答案：A
解析：兩個相等的向量方向相同且長度相等，因此起點相同時終點必相同，故A正確；
兩個有公共終點的向量，可能方向不同，也可能模長不同，故B錯誤；
兩個有共同起點且共線的向量可能方向不同，也可能模長不同，終點未必相同，故C錯誤；
與是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯誤.
故選：A.
6.答案：C
解析：對于A:與模長相等,方向不同,故不成立.
對于B:向量共線指的是其方向相同或相反,不一定在同一條直線上,例如平行四邊形中,但A,B,C,D四點不共線;
對于C,D:零向量與任意向量共線,但不能說零向量與任意向量垂直.向量垂直指的是兩個非零向量成.
綜上,應選C.
故答案為:C.
7.答案：B
解析：根據規定：零向量與任一向量平行，A正確；
方向相反的兩個非零向量一定共線，B錯誤；
單位向量是模為1的向量，C正確；
根據相等向量的定義：長度相等方向相同的兩個向量稱為相等向量，
所以方向相反的兩個非零向量必不相等，D正確；
故選：B.
8.答案：BD
解析：根據給定條件結合平面向量的基本概念,逐項分析判斷作答,
由有向線段、向量的定義知,A不正確;
單位向量是長度為1的向量,B正確;
零向量有方向,其方向是任意的,C不正確;
由平行向量的定義知,平行向量也叫作共線向量,D正確.
9.答案：C
解析：中，，，，，，，.由題意知，，當時，取得最大值，最大值為.故選C.
10.答案：A
解析：由題設，如圖所示：，又，，
，由M，P，N三點共線，有，，當且僅當時等號成立.故選A.

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