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九年級數學上冊知識點
第一章 反比例函數
（一）反比例函數
1．（）可以寫成 （）的形式，注意自變量x的指數為，在解決有關自變量指數問題時應特別注意系數這一限制條件；
2．（）也可以寫成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函數解析式中的k，從而得到反比例函數的解析式；
（二）反比例函數的圖象與性質
1．函數解析式：（）
2．自變量的取值范圍：
3．圖象：反比例函數的圖象：在用描點法畫反比例函數的圖象時，應注意自變量x的取值不能為 ， 且x應對稱取值（關于原點對稱）．
　（1）圖象的形狀：雙曲線越大，圖象的彎曲度越 ，曲線越平直．越小，圖象的彎曲度越 ．
　（2）圖象的位置和性質：自變量，函數圖象與x軸、y軸無交點，兩條坐標軸是雙曲線的漸近線．
　 　當 時，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內，y隨x的增大而減小；
　 　當 時，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內，y隨x的增大而增大．
　（3）對稱性：圖象關于原點對稱，若（a，b）在雙曲線的一支上，（ ， ）在雙曲線的另一支上．
圖象關于直線對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）和（，）在
雙曲線的另一支上．
　4．k的幾何意義: 如圖1，設點P（a，b）是雙曲線上
任意一點，作PA⊥x軸于A點，PB⊥y軸于B點，則矩形PBOA的
面積是 （三角形PAO和三角形PBO的面積都是）．
　　
如圖2，由雙曲線的對稱性可知，P關于原點的對稱點Q也在雙曲線上，
作QC⊥PA的延長線于C，則有三角形PQC的面積為 ．
　 （三）反比例函數的應用
　　1、求函數解析式的方法：（1）待定系數法；（2）根據實際意義列函數解析式．
2、反比例函數與一次函數的聯系．
3、充分利用數形結合的思想解決問題．
第二章 一元二次方程
（一）一元二次方程
1、只含有一個未知數的整式方程（分母不含未知數），且都可以化為（a、b、c為常 數，
a≠0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。
2、把 （a、b、c為常數，a≠0）稱為一元二次方程的一般式，a為二次項系數；b為一次項系數；c為常數項（包括符號）。
（二）一元二次方程的解法
1、直接開平方法：如果方程化成的形式，那么可得；
如果方程能化成 (p≥0)的形式，那么進而得出方程的根。
2、配方法：配方式
基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②將二次項系數化成 ；③把常數項移到方程的右邊；④兩邊加上一次項系數的一半的 ；⑤把方程轉化成左邊為一個完全平方式，右邊化為一個常數；兩邊開方求其根。
3、公式法 （注意在找a、b、c時須先把方程化為一般形式）
4、分解因式法 把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
（3） 一元二次方程根的判別式
判別式⊿=b2-4ac與根的關系：
當b2-4ac>0時，則方程有兩個 的實數根；
當b2-4ac=0時，則方程有兩個 的實數根；
當b2-4ac≥0時，則方程有兩個實數根；
當b2-4ac<0時，則方程 實數根
（上述結論反之也成立，但注意都同時要滿足二次項系數a≠0）
（四）一元二次方程根與系數的關系：
1、根與系數關系：如果一元二次方程的兩根分別為x1、x2， 則有：
.（韋達定理）
2、一元二次方程的兩根與系數的關系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對稱代數式的值，特別注意以下公式：
① ② ③
④
（3）已知方程的兩根x1、x2，可以構造一元二次方程：，
（4）已知兩數x1、x2的和與積，求此兩數的問題，可以轉化為求一元二次方程 的兩根。
（五）一元二次方程的應用
1、一元二次方程：（a≠0）配方，得 （可作為公式記憶）
2、二次代數式配方可以求最值（應用題常考）： 二次代數式
提取二次項系數a得 （不能同時除以二次項系數a）
合并常數項得 （作為公式記憶，一步化到位）
此時可知當時，有最大值（）最大值為 。
當時，有最小值（）最小值為 。
3、平均增長率問題:（設月增長率為）
①一月產量為，二、三月平均增長率為，三月產量為，則有
②一月產量為，二、三月平均增長率為，第一季度產量為，則有
4、漲價總利潤問題：（設漲價元）
總利潤=（定價+上漲價格—進價）（原銷量—）
5、降價總利潤問題：（設降價元）
總利潤=（定價—降價價格—進價）（原銷量+ ）
第三章 圖形的相似
（一）比例線段
1、比例線段的相關概念
（1）如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或寫成a：b=m：n
（2）在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱
（3）如果作為比例內項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項。
2、比例的性質
（1）基本性質①a：b=c：dad=bc ②a：b=b：c
（2）更比性質（交換比例的內項或外項）
（交換內項）
（交換外項）
（同時交換內項和外項）
（3）反比性質（交換比的前項、后項）：
（4）合比性質：
（5）等比性質：
3、黃金分割
把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點值得關注的近似數：假設 則AC0.618 BC=AD0.382）
A C B
定義： ()
（二）平行線分線段成比例
三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。如圖：如圖，因為AD∥BE∥CF，
所以AB：BC=DE：EF； AB：AC=DE：DF； BC：AC=EF：DF。
也可以說AB：DE=BC：EF； AB：DE=AC：DF； BC：EF=AC：DF
推論：（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成 。
逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第 邊。
（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與 的三邊對應成比例。
（三）相似圖形
1、對應角相等，對應邊的比相等的兩個圖形就叫相似圖形。
2、相似多邊形：（1）如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應邊的比叫做 比（或相似系數）
（2）相似多邊形的性質：
①相似多邊形的對應角 ，對應邊成 。
②相似多邊形周長的比、對應對角線的比都等于 。
③相似多邊形中的對應三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比
④相似多邊形面積的比等于相似比的平方
（四）相似三角形的判定和性質
1、相似三角形的概念
對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符號“∽”來表示，相似三角形對
應邊的比叫做相似比（或相似系數）。
2、三角形相似的判定
（1）三角形相似的判定方法
①定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似
②平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三
角形相似
③判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相
似，可簡述為 ，兩三角形相似。
判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應相等，并且夾角相等，那么這
兩個三角形相似，可簡述為 ，兩三角形相似。
判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相
似，可簡述為 ，兩三角形相似
（2）直角三角形相似的判定方法
①以上各種判定方法均適用
②定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成
比例，那么這兩個直角三角形相似
③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。
3、相似三角形的性質
（1）相似三角形的對應角相等，對應邊、對應高、對應中線、對應角平分線的比都等于 。 （2）相似三角形周長的比等于相似比
（3）相似三角形面積的比等于相似比的 。
（5） 相似三角形的應用
測量高度：如測量旗桿的高度：利用同一時刻下陽光的影子 A物高：B物高=A影長：B影長
（6） 位似圖形
1、 位似圖形：
如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在直線都經
過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做
位似中心，此時的相似比叫做位似比。
2、 性質：
（1）位似 ( http: / / baike. / view / 1101680.htm" \t "http: / / baike. / _blank )圖形對應線段 ( http: / / baike. / view / 476943.htm" \t "http: / / baike. / _blank )的比等于位似比 ( http: / / baike. / view / 4246210.htm" \t "http: / / baike. / _blank )。
（2）位似 ( http: / / baike. / view / 1101680.htm" \t "http: / / baike. / _blank )圖形的對應角都 。
（3）位似 ( http: / / baike. / view / 1101680.htm" \t "http: / / baike. / _blank )圖形對應點連線的交點是位似 。
（4）位似圖形面積 ( http: / / baike. / view / 1541581.htm" \t "http: / / baike. / _blank )的比等于位似比 ( http: / / baike. / view / 4246210.htm" \t "http: / / baike. / _blank )的平方。
（5）位似 ( http: / / baike. / view / 1101680.htm" \t "http: / / baike. / _blank )圖形高、周長 ( http: / / baike. / view / 933551.htm" \t "http: / / baike. / _blank )的比都等于位似比 ( http: / / baike. / view / 4246210.htm" \t "http: / / baike. / _blank )。
（6）位似圖形對應邊互相 或在同一直線上
第4章 銳角三角函數
（1） 正弦、余弦、正切
1、勾股定理：直角三角形兩直角邊、的平方和等于斜邊的平方。
2、如下圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，則∠A的銳角三角函數為(∠A可換成∠B)：
定 義 表達式 取值范圍 關 系
正弦 (∠A為銳角)
余弦 (∠A為銳角)
正切 (∠A為銳角)
3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數值(重要)
三角函數 0° 30° 45° 60° 90°
0 1
1 0
0 1 -
5、正弦、余弦的增減性：
當0°≤≤90°時，sin隨的增大而增大，cos隨的增大而 。
6、正切的增減性：
當0°<<90°時，tan隨的增大而 。
（2） 解直角三角形：
1、定義：已知邊和角（兩個，其中必有一邊）→所有未知的邊和角。
2、依據：①邊的關系： ；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義
（3） 解直角三角形的應用：
1、仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。
2、坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般寫成的形式，如等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。
3、從某點的指北方向按順時針轉到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC的方向
角分別是：45°、135°、225°
4、指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4,OA、OB、OC、OD的方向角分別是：北偏東30°（東北方向） ， 南偏東45°（東南方向），南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
第五章 用樣本推斷總體
(一）平均數的計算方法
（1） 定義法：一般地，如果有n個數數據比較分散，那么，叫做這n個數的平均數，讀作“x拔”。
（2） 加權平均數法：如果所給數據重復出現，即n個數中，出現次，出現次，…，出現 次（這里）那么，根據平均數的定義，這n個數的平均數可以表示為
，這樣求得的平均數叫做加權平均數，其中叫做權。
（3）新數據法：當所給數據都在某一常數a的上下波動時，一般選用簡化公式：。
其中，常數a通常取接近這組數據平均數的較“整”的數，（，，…，
。是新數據的平均數（通常把叫做原數據，
叫做新數據）。
（二）、統計學中的幾個基本概念
1、總體：所有考察對象的全體叫做總體。
2、個體：總體中每一個考察對象叫做個體。
3、樣本：從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。
4、樣本容量：樣本中個體的數目叫做樣本容量。
5、樣本平均數：樣本中所有個體的平均數叫做樣本平均數。
6、眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。
7、中位數：將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）
叫做這組數據的中位數。
（三）總體平均數和方差的估計
1、總體平均數：總體中所有個體的平均數叫做總體平均數； 統計中，通常用樣本平均數估計總體平均數。
2、方差：在一組數據中，各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，叫做這組數據的
方差。通常用“”表示，即
（1）簡化計算公式（Ⅰ）：（此公式的記憶方法是：方差等于原數據平方的平均數減去平均數的平方)
也可寫成
（2） 新數據法：原數據的方差與新數據，，…，的方差相等，也就是說，根據方差的基本公式，求得的方差就等于原數據的方差。
（方差越大，穩定性越差，反之越穩定）

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