資源簡介

專題1 任意角與弧度制
【必備知識】
1．角的分類
類型 定義 圖示
正角 按逆時針方向旋轉形成的角
負角 按順時針方向旋轉形成的角
零角 一條射線沒有作任何旋轉，稱它形成了一個零角
2．角的加法
（1）若角α，β的旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱α＝β．
（2）設α，β是任意兩個角，把角α的終邊旋轉角β，這時終邊所對應的角是α＋β．
（3）相反角：把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角，角α的相反角記為－α，α－β＝α＋（－β）．
3．象限角
如果角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角．如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．
4．終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．
【必備技能】
1．兩個重要概念
（1）任意角的概念，高中用“運動”的觀點定義了任意角，旋轉方向決定角的正負，旋轉量決定角的大小．
（2）終邊相同的角：所有與角α（含α在內）終邊相同的角可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．兩種思想方法：
（1）數(shù)形結合：解決象限角問題時，注意利用圖形．
（2）分類討論：已知α所在的象限，判斷或nα（n∈Z）所在的象限時注意應用分類討論的思想方法．
【考向總覽】
考向一：終邊相同（對稱）的角（★★★）
考向二：角的范圍及表示（★★★）
考向三： n倍角及n等分角（★★★）
【考向歸類】
考向一終邊相同（對稱）的角
【典例1-1】（22·23高一上·甘肅定西·期中）
1．下列各角中，與角終邊重合的是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22·23高一下·山東威海·期中）
2．下列角的終邊與角的終邊關于軸對稱的是（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】
（1）求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構建不等式求出k的值．
（2）求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分x≥0和x<0兩種情況討論，最后再進行合并.
【舉一反三】
（22·23上·長春·期中）
3．下列各角中，與 角終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
（22·23高一下·遼寧鞍山·期中）
4．若角的終邊與角的終邊關于軸對稱，且，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．
考向二：角的范圍及表示
【典例2-1】（22·23高一下·遼寧遼陽·期中）
5．若是第二象限角，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【典例2-2】
6．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【備考提醒】
表示區(qū)域角的三個步驟
第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界．
第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°范圍內的角α和β，寫出最簡集合{x|α第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合．
【舉一反三】
（22·23高一上·甘肅天水·期中）
7．若是第二象限角，則是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
（22·23高二上·貴州貴陽·期中）
8．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
考向三： n倍角及n等分角
【典例3-1】
9．的終邊在第三象限，則的終邊可能在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限或軸非負半軸 D．第三、四象限或軸非正半軸
【典例3-2】（22·23·鹽城·期中）
10．已知為第三象限角，則為第（ ）象限角.
A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三
【備考提醒】
已知θ所在的象限，求或nθ（nN*）所在的象限的方法是：將θ的范圍用不等式（含有k）表示，然后兩邊同除以n或乘以n，再對k進行討論，得到或nθ（nN*）所在的象限．
【舉一反三】
（22·23·全國·課時練習）
11．若是第三象限角，則所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；
C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．
（21·22上·阜陽·期中）
12．若是第二象限角，則（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
【必備知識】
1．弧度數(shù)
（1）正角：正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)．
（2）負角：負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)．
（3）零角：零角的弧度數(shù)是0．
（4）如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝．
2．角度制與弧度制的換算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π__rad 2π rad＝360°
180°＝π__rad π rad＝180°
1°＝__rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度數(shù)×＝弧度數(shù) 弧度數(shù)×°＝度數(shù)
3．扇形的弧長及面積公式
設扇形的半徑為R，弧長為l，α（0<α<2π）為其圓心角，則
度量單位類別 α為角度制 α為弧度制
扇形的弧長 l＝ l＝α·R
扇形的面積 S＝ S＝l·R＝α·R2
【必備技能】
1．角度制與弧度制是兩種不同的度量制度，在表示角時不能混用，例如α＝k·360°＋ （k∈Z），β＝2kπ＋60°（k∈Z）等寫法都是不規(guī)范的，應寫為α＝k·360°＋30°（k∈Z），β＝2kπ＋ （k∈Z）．
2．（1）在應用扇形面積公式S＝αR2時，要注意α的單位是“弧度”．
（2）在運用公式時，根據(jù)已知條件 ，選擇合適的公式代入．
（3）在弧度制下的扇形面積公式S＝lR，與三角形面積公式S＝ah（其中h是三角形底邊a上的高）的形式相似，可類比記憶．
【必備技能】
1．角度制與弧度制互化的原則是應用180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°進行換算．
2．利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度，根據(jù)具體的條件選用公式，涉及最值問題往往轉化為二次函數(shù)的最值問題．
【考向總覽】
考向一：角度與弧度的互化及應用（★★★）
考向二：弧長公式與面積公式的應用（★★★★）
考向三：扇形中的最值問題（★★★★）
【考向歸類】
考向一：角度與弧度的互化及應用
【典例1-1】（22·23高一上·內蒙古呼倫貝爾·期中）
13．將化為弧度制，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22·23高一下·上海長寧·期中）
14．將弧度化為角度：弧度= °．
【備考提醒】
角度制與弧度制的互化的方法：
度數(shù)×＝弧度數(shù)；弧度數(shù)×（）°＝度數(shù)．
【舉一反三】
（22·23高一下·貴州遵義·期中）
15．（ ）
A． B． C． D．
（21·22高一上·全國·期中聯(lián)考）
16．與角終邊相同的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向二：弧長公式與面積公式的應用
【典例2-1】（22·23高二下·福建·期中）
17．一鐘表的秒針長，經過，秒針的端點所走的路線長為（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（22·23高一下·江西撫州·期中）
18．以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長度為，則該勒洛三角形的面積是 ．

【備考提醒】
扇形弧長公式及面積公式的應用類問題的解決方法
首先，將角度轉化為弧度表示，弧度制的引入使相關的弧長公式、扇形面積公式均得到了簡化，所以解決這類問題時通常采用弧度制．一般地，在幾何圖形中研究的角，其范圍是（0，2π）；其次，利用α，l，R，S四個量“知二求二”代入公式．在求解的過程中要看清角的度量制，選用相應的公式；
【舉一反三】
（2022上·浙江·高一校聯(lián)考期中）
19．下列說法正確的是（ ）
A．如果是第一象限的角，則是第四象限的角
B．如果，是第一象限的角，且，則
C．若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形面積為
D．若圓心角為的扇形的弦長為，則該扇形弧長為
（22·23高一上·安徽合肥·期中）
20．已知扇形的周長是12，面積是8，則扇形的圓心角為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
考向三：扇形中的最值問題
【典例3-1】（22·23高一下·四川達州·期中）
21．已知一扇形的圓心角為2，半徑為r，弧長為l，則的最小值為 ．
【典例3-2】（22·23高一上·上海寶山·期中）
22．若扇形的周長為16，問當圓心角為 時，扇形面積最大？
【備考提醒】
扇形的周長等于弧長加兩個半徑長，對于扇形周長或面積的最值問題，通常轉化為某個函數(shù)的最值問題．
【舉一反三】
（22·23高一上·重慶·期中）
23．已知某扇形材料的面積為，圓心角為，則用此材料切割出的面積最大的圓的周長為 .
（21·22高一下·江西贛州·階段練習）
24．已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長為．
(1)已知扇形的周長為，面積是，求扇形的圓心角；
(2)若扇形周長為，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)角的終邊相同的集合判斷選擇即可.
【詳解】與角終邊重合的角為：，則當時，，故C正確.
經檢驗，其他選項都不正確.
故選：C.
2．A
【分析】根據(jù)已知角，利用周期性寫出終邊相同角，再結合選項判斷即可.
【詳解】由題意知，與角的終邊關于軸對稱的角為
當時，，正確.
經驗證，其他三項均不符合要求.
故選：.
3．B
【分析】根據(jù)即可得到答案.
【詳解】對選項A，，故A錯誤.
對選項B，因為，故B正確.
對選項C，，故C錯誤.
對選項D，，故D錯誤.
故選：B
4．AD
【分析】寫出，，再根據(jù)其范圍即可得到答案.
【詳解】因為角的終邊與角的終邊關于x軸對稱，
所以，，
又因為，所以當時，，
當時，.
故選：AD.
5．B
【分析】先判斷角終邊的位置，然后再判斷出角終邊的位置.
【詳解】由與的終邊關于軸對稱，可知若是第二象限角，則是第三象限角，
所以是第二象限角．
故選：B.
6．C
【分析】對分奇偶，結合終邊相同的角的定義討論判斷即可
【詳解】當時，，此時表示的范圍與表示的范圍一樣；
當時，，此時表示的范圍與表示的范圍一樣，
故選：C．
7．D
【分析】由象限角的定義即可求解.
【詳解】由題意是第二象限角，
所以不妨設，
所以，
由象限角的定義可知是第四象限角.
故選：D.
8．A
【分析】根據(jù)角的范圍及集合的關系即可判斷.
【詳解】當時，，
當時，，
所以.
故選：A
9．C
【解析】根據(jù)題意得出，求出的范圍，據(jù)此可判斷出角的終邊的位置.
【詳解】由于的終邊在第三象限，則，
所以，，
因此，的終邊可能在第一、二象限或軸非負半軸.
故選：C.
【點睛】本題考查角的終邊位置的判斷，一般利用不等式來判斷，考查推理能力，屬于基礎題.
10．A
【分析】根據(jù)為第三象限角得到的取值范圍，進而可得的范圍，即可求解.
【詳解】因為為第三象限角，
所以
所以
當為偶數(shù)時，記,
所以
所以為第二象限角，
當為奇數(shù)時，記,
所以
所以為第四象限角，
所以為第二或第四象限角，
故選:A.
11．D
【分析】根據(jù)是第三象限角的范圍，可判斷所在的象限.
【詳解】因為為第三象限角, 即 ,
所以,,
當 為奇數(shù)時, 是第四象限的角;
當 為偶數(shù)時, 是第二象限的角.
故選:D.
12．AB
【分析】由與關于x軸對稱，判斷A選項；
由已知得，，再根據(jù)不等式的性質可判斷B選項；
由是第一象限角判斷C選項；
由不等式的性質可得，，由此可判斷D選項．
【詳解】解：因為與關于x軸對稱，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A選項正確；
因為是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B選項正確；
因為是第二象限角，所以是第一象限角，故 C選項錯誤；
因為是第二象限角，所以，，所以，，所以的終邊可能在y軸負半軸上，故D選項錯誤．
故選：AB.
13．C
【分析】利用角度與弧度的換算關系可得結果.
【詳解】.
故選：C.
14．
【分析】根據(jù)角度制與弧度制的互化即可求解.
【詳解】.
故答案為：
15．C
【分析】根據(jù)角度制與弧度制互化公式直接計算即可.
【詳解】由題意得，.
故選：C
16．D
【分析】根據(jù)弧度制和角度制的互化、終邊相同的角的表示方法可判斷出結果.
【詳解】對于AB，弧度和角度屬于不同度量單位，不能混用，A錯誤，B錯誤；
對于CD，換算成弧度制為，與角終邊相同的角的集合為或，C錯誤，D正確.
故選：D.
17．C
【分析】計算出秒針走過的弧度數(shù)，結合扇形的弧長公式可求得結果.
【詳解】經過，秒針走過的弧度為，
因此，秒針的端點所走的路線長為.
故選：C.
18．
【分析】根據(jù)弧長公式求出三角形邊長，再根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式可得結果.
【詳解】因為的長度為，所以，，
所以勒洛三角形的面積是.
故答案為：.
19．AD
【分析】由象限角的概念判斷A；舉反例判斷B；由扇形弧長、面積公式計算判斷C，D作答.
【詳解】對于A，是第一象限的角，即，則，
是第四象限的角，A正確；
對于B，令，，是第一象限的角，且，而，B不正確；
對于C，設扇形所在圓半徑為r，則有，解得，扇形面積，C不正確；
對于D，設圓心角為的扇形所在圓半徑為，依題意，，扇形弧長，D正確.
故選：AD
20．AC
【分析】根據(jù)周長和面積公式列方程，即可求解、，進而可求解圓心角.
【詳解】設扇形的半徑和弧長分別為、，
則由題意可知： ，解得或，
所以圓心角的弧度數(shù)為或.
故選：AC
21．4
【分析】求出，從而利用基本不等式求出最值.
【詳解】由題意得，則，當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為4.
故答案為：4
22．2
【分析】設該扇形的弧長為、半徑為、圓心角為，根據(jù)條件可將表示成關于的二次函數(shù)，由此可得答案.
【詳解】設該扇形的弧長為、半徑為、圓心角為，
因為扇形的周長為16，所以，
所以，
所以當時最大，此時，
故答案為：2.
23．
【分析】根據(jù)條件求出扇形半徑，設割出的圓半徑為，圓心為，由求得，從而求得的周長.
【詳解】設扇形所在圓半徑為，∴
如圖：設割出的圓半徑為，圓心為，∴,
，故，
所以最大的圓周長為.
故答案為：
24．(1)
(2)取得最大值25，此時
【分析】（1）根據(jù)弧長公式及扇形的面積公式，再結合扇形的周長公式即可求解；
（2）根據(jù)扇形的周長公式及扇形的面積公式，再結合二次函數(shù)的性質即可求解.
【詳解】（1）由題意得，解得(舍去)，．
所以扇形圓心角．
（2）由已知得，．
所以，
所以當時，取得最大值25，
,解得.
當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大為25.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑