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專題5 三角恒等變換
【必備知識】
1.兩角和差的正余弦，正切公式：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
2.輔助角公式：，其中
3.二倍角公式：
①
②
③
4．半角公式 （不要求記憶）
sin＝±，cos＝　±　，tan＝　±　＝＝.符號由所在的象限決定．
5．積化和差與和差化積
（1）積化和差公式（不要求記憶和應(yīng)用）
sinαcosβ＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）]，
cosαsinβ＝[sin（α＋β）－sin（α－β）]，
cosαcosβ＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]，
sinαsinβ＝－[cos（α＋β）－cos（α－β）]．
（2）和差化積公式（不要求記憶和應(yīng)用）
sinx＋siny＝2sincos，
sinx－siny＝2cossin，
cosx＋cosy＝2coscos，
cosx－cosy＝－2sinsin．
【必備技能】
1.三角函數(shù)式化簡的方法
（1）弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．
（2）在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號中含有三角函數(shù)式時，一般需要升次，去掉根號．
2．三角函數(shù)式的化簡遵循的三個原則
（1）一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的變換，從而正確使用公式．
（2）二看“名”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”或“弦化切”．
（3）三看“形”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降冪”等．
3．三角恒等式的證明方法
（1）從等式的比較復(fù)雜的一邊化簡變形到另一邊，相當(dāng)于解決化簡題目．
（2）等式兩邊同時變形，變形后的結(jié)果為同一個式子．
（3）先將要證明的式子進(jìn)行等價變形，再證明變形后的式子成立．
【考向總覽】
考向一：給角求值（★★★★）
考向二：給值求值（★★★★）
考向三: 給值求值（★★★★）
考向四: 綜合應(yīng)用三角公式進(jìn)行化簡求值或證明（★★★★）
【考向歸類】
考向一：給角求值
【典例1-1】（2023下·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期中）
1．（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2023下·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期中）
2．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】
1.解決給角求值問題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)厥褂谜T導(dǎo)公式，合理地進(jìn)行角的變換，運(yùn)用和（差）角公式、二倍角公式、輔助角公式等，使其轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值的求解問題.
2. 已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角．
3.由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中要根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．
【舉一反三】
（2023下·江西新余·高一統(tǒng)考期中）
3．下列各式中，值為的是（ ）
A． B．
C． D．
（2022春·江蘇揚(yáng)州·高一校考期中）
4．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
考向二：給值求值
【典例2-1】（2023上·福建莆田·高一莆田一中校考期中）
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角和鈍角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求的值．
【典例2-2】（2023下·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期中）
6．已知為銳角，，則下列各選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【備考提醒】
解決給值求值問題的關(guān)鍵是根據(jù)問題的需要，將所給的一個或幾個三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變形，使其轉(zhuǎn)化為所求函數(shù)式能等使用的條件，然后代入求出三角函數(shù)式的值；也可以將所要的函數(shù)式經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃魏螅倮脳l件求值.
【舉一反三】
（2023春·河北·高一校考期中）
7．魏晉南北朝時期，祖沖之利用害圓術(shù)以正邊形，求出圓周率約，和真正的值相比，其誤差小于八億分之一，這個記錄在一千年后才給打破．若已知的近似值還可以表示成，則的值為（ ）
A． B． C． D．
（2023春·江蘇南京·高一南京市寧海中學(xué)校聯(lián)考期中）
8．已知，且，則（ ）
A． B． C． D．或
考向三: 給值求角
【典例3-1】
9．若，則角的值為（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】
10．已知，，，，則 ．
【備考提醒】
1.解決給值求角問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出所求角的某種三角函數(shù)值，并根據(jù)已知條件判斷出所求角的范圍，由角的范圍及三角函數(shù)值確定出角的大小.
2.給值求角問題的難點(diǎn)是縮小角的范圍，角的范圍最好縮小到該三角函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，或在所確定的范圍內(nèi)滿足條件的角只有一個，有時僅根據(jù)已知的條件是不夠的，還要根據(jù)三角函數(shù)值和函數(shù)的單調(diào)性縮小角的范圍
3.求角的問題盡量利用余弦函數(shù)和正切函數(shù)，少用正弦函數(shù).
【舉一反三】
（2023下·山東威海·高一統(tǒng)考期中）
11．已知銳角，滿足，，則 .
（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州市廣陵區(qū)紅橋高級中學(xué)校考期中）
12．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
考向四: 綜合應(yīng)用三角公式進(jìn)行化簡求值或證明
【典例4-1】
13．已知，則等于（　　）
A．－m B．m
C．－4m D．4m
【典例4-2】
14．求下列各式的值：
(1)；
(2).
【備考提醒】
在應(yīng)用和差化積時，必須是一次同名（正切除外）．若是異名，必須用誘導(dǎo)公式化為同名．若是高次函數(shù)，必須利用公式降為一次．
【舉一反三】
15．（　　）
A．+cos 4x B．sin 4x
C．+cos 4x D．+sin 4x
16．利用和差化積和積化和差公式完成下面的問題：已知，，則 .
【必備知識】
【必備技能】
三角函數(shù)恒等變換與三角函數(shù)交匯問題解題關(guān)鍵點(diǎn)：
（1）對三角函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用同角關(guān)系、兩角和差、二倍角公式等進(jìn)行恒等變形，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一個變量（）的三角函數(shù)；
（2）運(yùn)用換元法轉(zhuǎn)化為，借助的性質(zhì)分析解決問題.
【考向總覽】
考向一：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的交匯（★★★★）
【考向歸類】
考向一：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的交匯
【典例1-1】（2023下·云南迪慶·高一統(tǒng)考期中）
17．已知函數(shù).
(1)求的最小正周期：
(2)當(dāng)，求的最大值.
【典例1-2】
18．已知函數(shù)，且函數(shù)的最小正周期為.
（1）求函數(shù)解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）已知函數(shù)與函數(shù)滿足，且.若，且，，求，的值.
【備考提醒】
有兩個要點(diǎn)，一是三角恒等變換，注意“變角、變名、變式”等技巧的靈活運(yùn)用，三是三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究.
【舉一反三】
（2023下·北京懷柔·高一統(tǒng)考期中）
19．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)若，求函數(shù)的值域；
(3)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點(diǎn)，求m的取值范圍．
（2023下·北京延慶·高一統(tǒng)考期中）
20．已知函數(shù)，其中．
(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的的值．
【必備知識】
三角函數(shù)恒等變換的實際應(yīng)用的解題模板：
1.根據(jù)題意，設(shè)出角為自變量；
2.把題目中出現(xiàn)的其他量均用表示出來；
3.根據(jù)題意建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
4.利用三角函數(shù)恒等變換整理化簡，利用三角函數(shù)求解
5.直接作答.
【必備技能】
三角函數(shù)式化簡的方法
（1）弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．
（2）在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號中含有三角函數(shù)式時，一般需升次，去掉根號．
【考向總覽】
考向一：三角函數(shù)恒等變換的實際應(yīng)用（★★★）
【考向歸類】
考向一三角函數(shù)恒等變換的實際應(yīng)用
【典例1-1】（2023下·山東棗莊·高一統(tǒng)考期中）
21．如圖，在扇形中，半徑，圓心角，是扇形弧上的動點(diǎn)，矩形內(nèi)接于扇形，設(shè).

(1)試建立矩形的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
(2)在（1）的條件下，當(dāng)為何值時，取最大值，并求出最大值.
【典例1-2】（2023春·廣東佛山·高一佛山市榮山中學(xué)校考期中）
22．一年之計在于春，春天正是播種的好季節(jié)．小林的爺爺對自己的一塊正方形菜園做了一些計劃．如圖，是邊長為米的正方形菜園，扇形區(qū)域計劃種植花生，矩形區(qū)域計劃種植蔬菜，其余區(qū)域計劃種植西瓜．分別在上，在弧上，米，設(shè)矩形的面積為（單位：平方米）．
(1)若，請寫出（單位：平方米）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求的最小值．
【備考提醒】
解題關(guān)鍵是設(shè)出合適的自變量，建立函數(shù)關(guān)系式，對其進(jìn)變形、化簡.
【舉一反三】
（2023春·江西南昌·高一南昌二中校考期中）
23．如圖，扇形鋼板的半徑為，圓心角為，現(xiàn)要從中截取一塊四邊形鋼板，其中頂點(diǎn)在扇形的弧上，分別在半徑上，且 ．
(1)設(shè)，試用表示截取的四邊形鋼板的面積，并指出的取值范圍；
(2)求當(dāng)為何值時，截取的四邊形鋼板的面積最大，并求出最大值．
（2023春·安徽滁州·高一滁州市第二中學(xué)校聯(lián)考期中）
24．如圖，已知扇形是一個觀光區(qū)的平面示意圖，其中扇形半徑為10米，，為了便于游客觀光和旅游，提出以下兩種設(shè)計方案：
(1)如圖1，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一條三角形形狀的道路，道路的一個頂點(diǎn)B在弧上（不含端點(diǎn)），，另一頂點(diǎn)A在半徑OM上，且，的周長為，求的表達(dá)式并求的最大值；
(2)如圖2，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一個三角形區(qū)域種植花卉，三角形花圃的一個頂點(diǎn)B在弧MN上，另兩個頂點(diǎn)A、C分別在半徑OM、ON上，且，，求花圃面積的最大值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式與余弦兩角和公式化簡求值即可.
【詳解】
故選：A.
2．C
【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，切化弦，再結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡，即可求得答案.
【詳解】由，，
得，
即，
即，
所以，即，
所以，
故選：C
3．B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式、二倍角公式，可得答案.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D錯誤.
故選：B.
4．AC
【分析】利用二倍角公式可判斷AB選項；利用誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式可判斷C選項；利用輔助角公式以及二倍角的公式可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，，A對；
對于B選項，，B錯；
對于C選項，
，C對；
對于D選項，
，D錯.
故選：AC.
5．(1)
(2)
【分析】（1）由題設(shè)及圖確定的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)定義求，根據(jù)夾角大小及誘導(dǎo)公式求，，即得的坐標(biāo)；
（2）應(yīng)用倍角正余弦、和角正弦公式求即可.
【詳解】（1）的橫坐標(biāo)為，且在第一象限，則，即，
，，
故點(diǎn)坐標(biāo).
（2）由（1）得，
．
6．BCD
【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得，，分別利用兩角和差的正余弦公式以及正切公式以及二倍角正切公式進(jìn)行計算，即可得答案.
【詳解】為銳角，，故，，
對于A，
，A錯誤；
對于B，
，B正確；
對于C，，C正確；
對于D，因為為銳角，故也為銳角，
又可得，解得（負(fù)值舍去），D正確，
故選：BCD
7．A
【分析】將代入，結(jié)合三角恒等變換思想化簡可得結(jié)果.
【詳解】將代入，
可得
.
故選：A.
8．A
【分析】由萬能公式可得，根據(jù)已知得方程求即可.
【詳解】由，
所以，則，
由，則.
故選：A
9．A
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，的值，然后利用和差角公式及特殊角函數(shù)值，可得的值．
【詳解】∵，
，
由，，得，，
若，
則
，
與矛盾，故舍去，
若，
則
，
又，
.
故選：A.
10．
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合兩角差的余弦公式可求得的值，求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】因為，，則，，，
所以，，，
所以，
，
因此，.
故答案為：.
11．##
【分析】根據(jù)正切和角公式即可求解.
【詳解】由，得，
由于，為銳角，所以，故，
故答案為：
12．C
【分析】先利用三角函數(shù)的符號確定角、、的范圍，再利用兩角差的正弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系的商數(shù)關(guān)系得到關(guān)于和的方程組，再利用兩角和的正弦公式求出，進(jìn)而結(jié)合角的范圍進(jìn)行求解.
【詳解】因為，，
所以或；
若，則，
此時（舍）；
若，則，
此時（符合題意），
所以，
即；
因為且，
所以且，
解得，，
則，
所以.
故選：C.
13．B
【分析】由積化和差公式變形可得.
【詳解】.
故選：B．
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用和差化積公式和二倍角的正弦公式以及誘導(dǎo)公式化簡即可；
（2）利用和差化積、積化和差公式化簡即可.
【詳解】（1）
（2）
15．D
【分析】利用積化和差求解,
【詳解】解：，
，
，
，
故選：D.
16．
【分析】由和差化積和積化和差公式求得，，進(jìn)而求得，即可求解.
【詳解】，可得；，可得；
則；.
故答案為：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡，即可由周期公式求解，
（2）根據(jù)得，即可由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】（1）,
所以周期為；
（2）當(dāng)時，，所以，
所以，
故值域為，最大值為.
18．（1），單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：；（2）.
【分析】（1）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.
【詳解】解：（1）
將以上公式代入化簡，則，
由于函數(shù)的最小正周期為.
又，
所以.
故，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：.
（2）由于函數(shù)滿足，且.
所以，
又，
，
用和差化積公式，
則，
再用半角公式，
則，
，
且，
所以，
則.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，根據(jù)周期公式求得結(jié)果；
（2）根據(jù)，求出整體角的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)果；
（3）根據(jù)整體角的范圍及正弦函數(shù)的零點(diǎn)求得結(jié)果.
【詳解】（1），
所以函數(shù)最小正周期.
（2）當(dāng)時，，
則，
，，
因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域為.
（3）∵，
由得，
若函數(shù)在上有且僅有兩個零點(diǎn)，則，
則，解得.
即.
20．(1)最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
(2)時有最大值為；時有最小值為0.
【分析】（1）應(yīng)用倍角正余弦公式、輔助角公式化簡，結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)求最小正周期、單調(diào)增區(qū)間；
（2）由正弦型函數(shù)性質(zhì)求最值即可.
【詳解】（1）
，
函數(shù)最小正周期為，
由，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）因為，所以，
當(dāng)，即時，取最大值，最大值為，
當(dāng)，即時，取最小值，最小值為0．
21．(1)
(2)當(dāng)時，取最大值，且
【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)定義，結(jié)合矩形面積公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)正弦二倍角公式、輔助角公式、降冪公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）在中，，.
在中，，
故.
矩形的面積
（2）由
.
由，得，
當(dāng)，即時，.
因此，當(dāng)時，取最大值，且.
22．(1)
(2)平方米
【分析】（1）延長交于，可用表示出，由此可得；
（2）令，將表示為關(guān)于的二次函數(shù)的形式，由二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.
【詳解】（1）延長交于，
則米，米，
則米，米，
.
（2）由（1）得：，
令，則，
，，
，
，當(dāng)時，，
即當(dāng)時，矩形面積的最小值為平方米．
23．(1)詳見解析；
(2)時四邊形鋼板的面積最大，最大值為．
【分析】（1）利用割補(bǔ)法和三角函數(shù)即可求得四邊形鋼板的面積的解析式，進(jìn)而得到的取值范圍；
（2）先化簡的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值及對應(yīng)的值.
【詳解】（1）扇形鋼板的半徑為，圓心角為，，
則，，
則四邊形鋼板的面積
其中的取值范圍為；
（2）
又，則，則，
則，
則當(dāng)，即時四邊形鋼板的面積最大，最大值為．
24．(1)，
(2)
【分析】(1)由題意結(jié)合圖形，可得，由正弦定理得， ，代入的周長得，由三角恒等變換化簡得，根據(jù)的范圍即可求出的最大值；
(2)由圖可知，的面積的面積相等，由余弦定理得，再由基本不等式得，代入的面積公式即可求面積的最大值．
【詳解】（1）因為，，所以，，
又因為，，
所以在中，由正弦定理知得，
∴，，
周長為，，
所以，
∵，∴，
∴當(dāng)時，即時，周長取最大值，為．
（2）由題意，可知（2）中的面積與（1）中同底等高，即二者面積相等，
在中，，，，，
由余弦定理知：，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
∴，
．
即花圃面積的最大值為．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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