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專題1 數列基礎、等差數列和等比數列
【必備知識】
1．等差數列的有關概念
（1）等差數列的定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達式為an－an－1＝d（常數）（n≥2，n∈N*）．
（2）等差中項
由三個數a，A，b組成等差數列，則A叫做a與b的等差中項，且有2A＝a＋b.
2．等差數列的有關公式
（1）通項公式：an＝a1＋（n－1）d.
（2）前n項和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
3．等差數列的常用性質
（1）通項公式的推廣：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）．
（2）若{an}為等差數列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），則ak＋al＝am＋an.
（3）若{an}是等差數列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差為md的等差數列．
（4）數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數列．
（5）S2n－1＝（2n－1）an.
（6）等差數列{an}的前n項和為Sn，為等差數列．
【必備技能】
1．已知數列{an}的通項公式是an＝pn＋q（其中p，q為常數），則數列{an}一定是等差數列，且公差為p.
2．在等差數列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．
3．等差數列{an}的單調性：當d＞0時，{an}是遞增數列；當d＜0時，{an}是遞減數列；當d＝0時，{an}是常數列．
4．數列{an}是等差數列 Sn＝An2＋Bn（A，B為常數）．這里公差d＝2A.
【考向總覽】
考向一：等差數列基本量的運算（★★★★）
考向二：等差數列的判定與證明（★★★★）
考向三：等差數列的性質（★★★★）
【考向歸類】
考向一：等差數列基本量的運算
【典例1-1】
（2023上·甘肅隴南·高二校考期中）
1．已知數列（）為等差數列，且，，則數列的通項公式為 .
【典例1-2】
（2023上·黑龍江雞西·高二校考期中）
2．已知等差數列中，
(1)求數列的通項公式
(2)求數列的前項和及
【備考提醒】
（1）等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個（簡稱“知三求二”）．
（2）確定等差數列的關鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.
【舉一反三】
（2023上·云南紅河·高二校考期中）
3．在數列中，為前項和，若，，，則其公差（ ）
A．3 B．4 C． D．
（2023·江蘇泰州·統考一模）
4．等差數列中，若，，則的前10項和為 .
考向二：等差數列的判定與證明
【典例2-1】
（2023上·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）
5．已知數列的前項和為，若，，則有（ ）
A．為等差數列 B．為等比數列
C．為等差數列 D．為等比數列
【典例2-2】（2023上·黑龍江佳木斯·高二校考期中）
6．已知數列的前項和，則下列說法正確的選項是（ ）
A． B．
C．該數列是公差為3的等差數列 D．該數列是遞增數列
【備考提醒】
判斷數列{an}是等差數列的常用方法
（1）定義法．
（2）等差中項法．
（3）通項公式法．
（4）前n項和公式法．
【舉一反三】
（2023上·貴州六盤水·高三校聯考階段練習）
7．已知等差數列的前項和為，則（ ）
A．數列可能是等差數列 B．數列一定是等差數列
C． D．
（2023上·河南許昌·高二統考期中）
8．在數列中，已知，則該數列前2023項的和 .
考向三：等差數列的性質
【典例3-1】
（2023上·陜西銅川·高二校考期中）
9．在等差數列中，，則的值為（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【典例3-2】
（2023下·河南駐馬店·高二校考階段練習）
10．設，分別是兩個等差數列，的前n項和．若對一切正整數n，恒成立，（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】
1.等差數列項的性質的關注點
（1）在等差數列題目中，只要出現項的和問題，一般先考慮應用項的性質．
（2）項的性質常與等差數列的前n項和公式Sn＝相結合．
2.等差數列前n項和的常用的性質是：
在等差數列{an}中，數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數列，且有S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；S2n－1＝（2n－1）an.
【舉一反三】
（2023·全國·模擬預測）
11．已知為等差數列的前項和，，則（ ）
A．240 B．60 C．180 D．120
（2023上·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學校考期中）
12．在等差數列中，已知，，則（ ）
A．90 B．40 C．50 D．60
【必備知識】
1．等比數列有關的概念
（1）定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q（q≠0）表示.
（2）等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.
2．等比數列的通項公式及前n項和公式
（1）若等比數列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn-1.
（2）等比數列通項公式的推廣：an＝amqn-m.
（3）等比數列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝.
3．等比數列性質
（1）若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特別地，若2w＝m＋n，則aman＝aw2，其中m，n，w∈N*.
（2）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，公比為qm（k，m∈N*）．
（3）若數列{an}，{bn}是兩個項數相同的等比數列，則數列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比數列（b，p，q≠0）．
（4）等比數列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數列，其公比為qn.（n為偶數且q＝－1除外）
（5）若則等比數列{an}遞增．
若或則等比數列{an}遞減．
【考向總覽】
考向一：等比數列基本量的運算（★★★★）
考向二：等比數列的判定與證明（★★★★）
考向三：等比數列的性質（★★★★）
【考向歸類】
考向一：等比數列基本量的運算
【典例1-1】
（2023·河南開封·統考一模）
13．記為等比數列的前項和，若，，則（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【典例1-2】
（2022上·廣東廣州·高二統考期中）
14．數列共有5項，前三項成等比數列，后三項成等差數列，第3項等于8，第2項與第4項的和等于9，第1項與第5項的和等于4．求這個數列．
【舉一反三】
（2022上·黑龍江牡丹江·高二校考期中）
15．等比數列中，，，則 （ ）
A． B． C．或 D．或
（2022上·云南臨滄·高二校考期中）
16．已知正項等比數列滿足：，若存在兩項使得，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
考向二：等比數列的判定與證明
【典例2-1】
（2022上·浙江杭州·高二杭州高級中學校考期中）
17．已知數列的前n項和為，下列說法正確的是（ ）
A．若點在函數（k，b為常數）的圖象上，則為等差數列
B．若為等差數列，則為等比數列
C．若為等差數列，，，，則當時，最大
D．若，則為等比數列
【典例2-2】
（2022上·黑龍江大興安嶺地·高二校考期中）
18．已知數列滿足，．
(1)證明數列是等比數列，并求出數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若對于任意都滿足成立，求實數的取值范圍．
【備考提醒】
等比數列的三種常用判定方法
（1）定義法：若＝q（q為非零常數，n∈N*）或＝q（q為非零常數且n≥2，n∈N*），則{an}是等比數列．
（2）等比中項法：若數列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2（n∈N*），則{an}是等比數列．
（3）前n項和公式法：若數列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k（k為常數且k≠0，q≠0，1），則{an}是等比數列．
【舉一反三】
（2023·陜西咸陽·校考模擬預測）
19．已知數列的前項和為，，，且對于任意，，恒成立，則（ ）
A．是等差數列 B．是等比數列
C． D．
（2023·廣西·統考模擬預測）
20．若數列滿足，則稱為“平方遞推數列”.已知數列是“平方遞推數列”，且，則（ ）
A．是等差數列 B．是等比數列
C．是“平方遞推數列” D．是“平方遞推數列”
考向三：等比數列的性質
【典例3-1】
（2022下·江西·高三開學考試）
21．設等比數列的前項和為，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】
（2023上·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學校考期中）
22．正項等比數列中，，則的值是 ．
【備考提醒】
（1）等比數列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形，根據題目條件，認真分析，發現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．
（2）巧用性質，減少運算量，在解題中非常重要．
【舉一反三】
（2023·全國·模擬預測）
23．已知正項等比數列的前n項積為，且，若，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建泉州·統考模擬預測）
24．記等比數列的前項和為.若，，則（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】根據等差數列的概念可得數列的通項公式，進而可得.
【詳解】設等差數列的公差為，
由，，
得，
解得，
所以，
即，
故答案為：.
2．(1)
(2)；
【分析】（1）利用等差數列的通項公式列出關于的方程組即可得解；
（2）利用等差數列的前項公式即可得解.
【詳解】（1）依題意，設數列的首項是，公差是，
因為，所以，解得，
所以數列的通項公式.
（2）因為，
所以，
則.
3．A
【分析】先根據題意得到為等差數列，再求出，進而結合即可求得其公差．
【詳解】由數列滿足，
則，所以為等差數列，
又，則，即，
又，則其公差為．
故選：A．
4．
【分析】根據等差數列公式得到，再求和即可.
【詳解】等差數列，，，解得，
故，則的前10項和為.
故答案為：.
5．D
【分析】根據得到，即可判斷AB選項；根據，得到即可判斷CD選項.
【詳解】由題意，數列的前項和滿足，
當時，，兩式相減，可得，
可得，即，又由，當時，，所以，
所以數列的通項公式為，故數列既不是等差數列也不是等比數列，所以AB錯.
當時，，又由時，，適合上式，
所以數列的前項和為；又由，所以數列為公比為3的等比數列，故D正確，C錯.
故選：D.
6．ABD
【分析】借助與的關系，可計算出，借助的結果可得數列的單調性.
【詳解】當，時，，
則，
當時，，符合上式，故，
故AB正確，
又，故數列是等差數列，且是遞增數列，
故C錯誤，D正確.
故選：ABD.
7．ABC
【分析】根據等差數列的定義判斷AB，根據等差數列求和公式和通項公式計算CD.
【詳解】設的首項為，公差為，則，，
所以當時，即為常數列時，為等差數列，故A正確；
，所以是等差數列，故B正確；
，，所以，故C正確；
，，所以和不一定相等，故D錯.
故選：ABC.
8．2023
【分析】由題目條件分析可知數列為等差數列，然后利用等差數列的前項和公式、結合等差數列的性質求解.
【詳解】由可知，數列為等差數列，
所以，
所以.
故答案為：2023.
9．C
【分析】根據等差數列的性質即可求解.
【詳解】由于是等差數列，所以，故，
，
故選：C
10．B
【分析】由已知和等差數列的性質，可得.
【詳解】由等差數列的性質，可得
.
故選：B
11．D
【分析】利用等差數列的性質以及前項和公式求解即可.
【詳解】因為數列為等差數列，所以，
所以，
所以．
故選：D．
12．D
【分析】根據題意得到成等差數列，從而求出，得到答案.
【詳解】因為為等差數列，所以成等差數列，
，，故，
.
故選：D
13．C
【分析】由，，求得，代入等比數列前n項和公式求解.
【詳解】解：設等比數列的公比為q，
因為，，
所以，，
解得，
所以，
故選：C
14．或
【分析】由題意可設五項為，結合條件可得方程，求解即得.
【詳解】由題意，前三項成等比數列，后三項成等差數列，
設前三項的公比為q，后三項的公差為d，
則數列的各項依次為，
由題意得，
解得或，
所以這個數列是或
15．C
【分析】根據等比數列定義可求得，即可得或
【詳解】設等比數列的公比為，
根據題意可得，解得，
又，所以可得當時，；當時，；
故選：C
16．A
【分析】由已知求出等比數列的基本量，得通項公式，再由，得，將“1”代換，再利用基本不等式求最值即可.
【詳解】等比數列中，
，，.
，，，
∵正項等比數列，，則，.
，，，
，且，
，
當且僅當，即時等號成立.
故選：A.
17．ABC
【分析】直接利用數列的遞推關系式，等差數列和等比數列的定義判斷A，B，C，D的結論．
【詳解】對于A：點在函數，為常數）的圖象上，故，
故（常數），則為等差數列，故A正確；
對于B：由于數列為等差數列，所以（常數），
故（常數），所以數列為等比數列，故B正確；
對于C：若為等差數列，，所以，則，
又，所以，故，所以公差，
所以等差數列遞減，則當時，，當時，，
則當時，最大，故C正確；
對于D：由于，當時，整理得，
當時，，故，
經檢驗，不滿足上式，
故，故選項D錯誤．
故選：ABC．
18．(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）變換得到，確定，得到通項公式；
（2）計算，根據裂項求和得到，解得到答案.
【詳解】（1），故，則，且，
故是首項為，公比為的等比數列，，；
（2），，
，且當n趨于+∞時，趨近于1，
所以由恒成立，可知，解得.
19．D
【分析】推導出，可判斷AB選項；求出數列的通項公式，利用等差數列的求和公式可判斷CD選項.
【詳解】因為對于任意，，滿足，
所以，即，且，
所以，數列不是等差數列，也不是等比數列，A錯B錯；
當時，，
所以，，
所以，，C錯；
，D對.
故選：D.
20．BC
【分析】對于AB，由題意得，然后根據等差數列和等比數列的定義分析判斷即可，對于CD，由平方遞推數列的定義分析判斷.
【詳解】對A，因為是“平方遞推數列”，所以.又，
所以，則，所以不是等差數列，A不正確.
對B，因為，所以是等比數列，B正確.
對C，因為，所以以是“平方遞推數列”，C正確.
對D，因為，所以不是“平方遞推數列”，D不正確.
故選：BC.
21．A
【分析】根據給定條件，利用等比數列片段和性質計算作答.
【詳解】等比數列的前項和為，則成等比數列，
設，則，，所以，所以，
所以，即.
故選：A.
22．8
【分析】根據等比數列的性質和對數的運算性質求解即可
【詳解】因為正項等比數列中，，
所以
，
故答案為：8
23．B
【分析】根據題意可得，利用等比數列的性質可得，再結合對數的運算性質即可求解.
【詳解】∵，∴，
∴，又，
∴，得，
∴.
故選：B．
24．C
【分析】設等比數列的公比為（），根據求得，再由等比數列的性質得到，即可求解.
【詳解】設等比數列的公比為（），
則，解得：，
又，
所以，
故選：C.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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