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專題5 三角形的形狀判斷問題
【典例1-1】
（22-23高一下·江蘇徐州·期末）
1．在中，內角的對邊分別為.已知，則此三角形（ ）
A．無解 B．有一解
C．有兩解 D．解的個數不確定
【典例1-2】
（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·階段練習）
2．在中，則等于（　　）
A． B． C． D．
【題后反思】常用結論：已知a、b、A，△ABC解的情況如下圖示.
（ⅰ）A為鈍角或直角時解的情況如下：
（ⅱ）A為銳角時，解的情況如下：
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇南通·期末）
3．在下列情況的三角形中，有兩個解的是（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高二下·江西宜春·階段練習）
4．在中，角所對的邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有兩解，求的范圍.
【典例2-1】
（22-23高一·江蘇·課時練習）
5．已知在所在平面內，，則是的 心．
【典例2-2】
（22-23高一下·江蘇泰州·期末）
6．若O是△ABC所在平面上一定點，H，N，Q在△ABC所在平面內，動點P滿足， ，則直線AP一定經過的____心，點H滿足，則H是的____心，點N滿足，則N是的____心，點Q滿足，則Q是的____心，下列選項正確的是（ ）
A．外心，內心，重心，垂心 B．內心，外心，重心，垂心
C．內心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，內心
【題后反思】牢記三角形五心的含義，進而可以推到其一些性質：
1.三角形的重心：三角形各邊中線的交點
2.三角形的垂心：三角形各邊高線的交點
3.三角形的內心：三角形各個內角平分線的交點
4.三角形的外心：三角形各邊垂直平分線的交點
5.三角形的中心：正三角形四心合一為中心
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇天一中學·階段練習）
7．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則M為的重心
B．若M為的內心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
（22-23高一下·河南南陽·期中）
8．為所在平面內一點，且滿足
|則點為的 心.若,，，則
【典例3-1】
（22-23高一下·江蘇連云港·期中）
9．P是所在平面上一點，滿足，則的形狀是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形
【典例3-2】
（23-24高二上·廣東佛山·期中）
10．已知的三個頂點分別是，，，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【題后反思】此類題目常常通過數量積的運算律將向量關系轉化為數量關系，通過邊的數量關系的情況判斷形狀.
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇張家港·期中）
11．在中，若，則的形狀是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
（22-23高一下·上海浦東新·階段練習）
12．在中，若，則的形狀是 .
【典例3-1】
（22-23高一下·江蘇無錫·期中）
13．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【典例3-2】
（22-23高一下·遼寧沈陽·期中）
14．在中，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【題后反思】轉化為三角形的邊來判斷：
（1）△ABC為直角三角形或或；
（2）△ABC為銳角三角形且且；
（3）△ABC為鈍角三角形或或；
（4）按等腰或等邊三角形的定義判斷.
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇如皋·階段練習）
15．在中，其內角的對邊分別為，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
（22-23高一下·浙江嘉興·期中）
16．若，且，那么是（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【典例4-1】
（22-23高一下·江蘇連云港·期中）
17．在中，角的對邊分別為，若，則的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【典例4-2】
（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·階段練習）
18．已知內角A，B，C的對邊為a，b，c，若，，則的形狀是（ ）
A．鈍角三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【題后反思】
轉化為角的三角函數（值）來判斷：
（1）若cosA=0，則A=90°，△ABC為直角三角形；
（2）若cosA<0，則△ABC為鈍角三角形；
（3）若cosA>0且cosB>0且cosC>0，則△ABC為銳角三角形；
（4）若，則C=90°，△ABC為直角角形；
（5）若sinA=sinB或sin（A-B）=0，則A=B，△ABC為等腰三角形；
（6）若sin2A=sin2B，則A=B或A+B=90°，△ABC為等腰三角形或直角三角形.
【舉一反三】
（22-23高一下·河北石家莊·期中）
19．中，內角的對邊分別為，以下選項為正確的是（ ）
A．若，則一定為銳角三角形
B．若，則為等腰三角形
C．，則為銳角三角形
D．
（22-23高一下·江蘇徐州·期中）
20．在中，三個內角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】利用正弦定理解出再根據，得到，可得角有兩個解.
【詳解】由正弦定理，得，解得.
因為，所以.又因為，所以或，故此三角形有兩解.
故選：C.
2．B
【分析】利用正弦定理求解角度.
【詳解】在中，
所以,
由正弦定理，,
所以,則,
因為,所以或.
故選：B
3．AD
【分析】利用正弦定理，逐項判斷計算作答
【詳解】對于A，，則有兩解，A是；
對于B，，且，則為銳角，只有一解，B不是；
對于C，，則為銳角，只有一解，C不是；
對于D，，則有兩解，D是.
故選：AD
4．(1);
(2).
【分析】（1）由正弦定理可得，利用兩角和差公式可得，即可得解；
（2）由及正弦定理可得，因為角的解有兩個，所以角的解也有兩個，從而有，，求解即可.
【詳解】（1）解：因為，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因為，
所以；
（2）解：將代入正弦定理，得，
所以，
因為，角的解有兩個，所以角的解也有兩個，
所以，
即，
又，
所以，
解得.
所以的范圍為.
5．垂
【分析】根據給定等式，利用向量數量積的運算法則，結合垂直關系的向量表示推理作答.
【詳解】由得：，即，則，
由同理可得：，
所以是的垂心.
故答案為：垂
6．B
【分析】推出，又所在直線一定為的平分線，從而得到直線AP一定經過的內心，點到三個頂點相等，故點是的外心，作出輔助線，得到三點共線，且，所以是的重心，推導出，，得到為的垂心.
【詳解】，變形得到，
其中分別代表方向上的單位向量，
故所在直線一定為的平分線，
故直線AP一定經過的內心，
，即點到三個頂點相等，故點是的外心，
因為，所以，
如圖，取的中點，連接，
則，所以，
故三點共線，且，
所以是的重心，

由可得，
故，同理可得，
故為三條高的交點，為的垂心.
故選：B
7．ABD
【分析】A選項，，作出輔助線，得到，，三點共線，同理可得為的重心；B選項，設內切圓半徑為，將面積公式代入得到；C選項，設外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個三角形的面積，得到比值；D選項，得到，作出輔助線，由面積關系得到線段比，設，，，表示出，，，結合三角函數得到，，進而求出余弦值；
【詳解】對A選項，因為，所以，
取的中點，則，所以，
故，，三點共線，且，
同理，取中點，中點，可得，，三點共線，，，三點共線，
所以為的重心，A正確；

對B選項，若為的內心，可設內切圓半徑為，
則，，，
所以，
即，B正確；
對C選項，若，，為的外心，
則，
設的外接圓半徑為，故，，
，
故，，，
所以，C錯誤．

對D選項，若為的垂心，，
則，
如圖，，，，相交于點，
又，
，即，
，即，
，即，
設，，，則，，，
因為，，
所以，即，
，則，
D正確；
故選：ABD.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查向量與四心關系應用，關鍵是利用三角形的幾何關系及向量數量積及向量線性表示逐項判斷.
8． 垂
【分析】由平面向量數量積的運算性質可得出，同理可得，，結合垂心的定義可得出結論；由平面向量數量積的運算性質可求出的值，再利用垂心的幾何性質結合平面向量數量積的運算性質可求得的值.
【詳解】因為，
則，即，
即，
即，
即，
所以，，同理可得，，
故點為的垂心，
因為
，即，
因為，解得，
因此，，
解得，
因此，.
故答案為：垂；.
9．B
【分析】根據向量的加減運算可得，兩邊平方后結合數量積的性質，即可推得答案.
【詳解】由，可得，
即，即，
將等式兩邊平方，化簡得，∴，
即，因此，是直角三角形，
故選：B．
10．B
【分析】利用向量數量積的坐標表示即可求得，由模長公式計算可得，即可得出結論.
【詳解】易知，
可得，即，且，
所以可得的形狀是直角三角形.
故選：B
11．C
【分析】根據給定條件，利用向量運算律計算判斷即得.
【詳解】在中，由，得，
即，因此，即，
所以是等腰三角形.
故選：C
12．等腰三角形
【分析】根據向量的數量積運算性質求解.
【詳解】，
，即，
為等腰三角形.
故答案為：等腰三角形
13．D
【分析】根據正弦定理和余弦定理講原式角化邊，化簡整理即可.
【詳解】根據正弦定理和余弦定理可得：，
整理可得，
即，當時，為等腰三角形，
當時為直角三角形.
故選：D
14．D
【分析】利用余弦定理將化簡為，從而可求解.
【詳解】由，得，
化簡得，
當時，即，則為直角三角形；
當時，得，則為等腰三角形；
綜上：為等腰或直角三角形，故D正確.
故選：D.
15．A
【分析】由余弦定理化角為邊得，即可判斷三角形形狀.
【詳解】因為，所以由余弦定理得，
所以，所以，所以為等腰三角形.
故選：A.
16．A
【分析】利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍可得出角的值，再利用結合余弦定理可得出，即可得出結論.
【詳解】因為，則，可得，
由余弦定理可得，因為，所以，，
因為，則，整理可得.
所以，為等邊三角形.
故選：A.
17．B
【分析】根據正弦定理整理等式，利用差角公式，結合三角形內角的性質，可得答案.
【詳解】由得：，即，
即，且，所以.
故選：B．
18．B
【分析】由余弦定理求得，根據題意和正弦定理可得，即可求解.
【詳解】由，得，
而，又，
所以.
，由正弦定理得，
即，得，
所以或，得或（舍去），
所以，即為等邊三角形.
故選：B
19．D
【分析】由余弦定理判斷A，由正弦函數性質判斷B，舉反例判斷C，由數量積的定義及余弦定理判斷D．
【詳解】A，由已知，為銳角，但的范圍不確定，A錯；
B，是的內角，則，所以或，
即或，為等腰三角形或直角三角形，B錯；
C，，如，，則，但為鈍角三角形，C錯；
D，，D正確，
故選：D．
20．D
【分析】由正弦定理與二倍角公式化簡后判斷即可.
【詳解】，由正弦定理化簡得，
即，故，，
則或，即或，則的形狀為等腰或直角三角形.
故選：D.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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