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專題2 平面向量的結(jié)論與應(yīng)用
（23-24高三上·江蘇南通·期中）
【典例1-1】已知點(diǎn)M是矩形內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，，則的最大值為 .
【答案】5
【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，可得，然后求解最值即可．
【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
則=
．
∵點(diǎn)點(diǎn)M是矩形內(nèi)（包括邊界）一動(dòng)點(diǎn)，且，
∴，則，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值5.
故答案為：5．
（22-23高一下·四川成都·期末）
【典例1-2】已知邊長為2的菱形中，是邊所在直線上的一點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】取的中點(diǎn)，連接，利用平面向量的運(yùn)算可得，結(jié)合菱形的幾何性質(zhì)可得答案.
【詳解】
取的中點(diǎn)，連接，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，則有最小值，
此時(shí)菱形的面積，
最小值為，
因?yàn)槭沁吽谥本€上的一點(diǎn)，所以無最大值，無最大值，
的取值范圍為，
故答案為：
【題后反思】極化恒等式及其推論
（1）極化恒等式：
①公式推導(dǎo)：
②幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．
（2）平行四邊形模式：如圖，平行四邊形ABCD，O是對(duì)角線交點(diǎn)．則[|AC|2－|BD|2]．
（3）三角形模式：如圖，在△ABC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則|AD|2－|BD|2．
①推導(dǎo)過程：由.
②記憶規(guī)律：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差．
（4）極化恒等式的適用范圍：
①共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問題可直接進(jìn)行轉(zhuǎn)化；
②不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的數(shù)量積問題可通過向量的平移，等價(jià)轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問題.
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）
1．如圖直角梯形中，是邊上長為的可移動(dòng)的線段，，， ，則的最小值為 ， 最大值為 .

（22-23高一下·浙江溫州·期中）
2．已知a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且
(1)求角B的大小；
(2)若，求面積的最大值；
(3)若，且外接圓半徑為2，圓心為O，P為⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，試求的取值范圍．
（22-23高一下·江蘇連云港·期中）
【典例2-1】在△ABC中，D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)，確定點(diǎn)位置，分別過作的平行線，結(jié)合圖形，分別可得，，即可求解.
【詳解】如圖，
過作，因?yàn)椋?br/>所以，所以在邊上的高是在邊上高的，
所以，
同理過作，因?yàn)椋?br/>所以，所以在邊上的高是在邊上高的，
所以，
所以，
故選:A.
（江蘇省南通第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）
【典例2-2】設(shè)點(diǎn)是面積為4的內(nèi)部一點(diǎn)，且有，則的面積為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)確定點(diǎn)的位置，然后將面積比轉(zhuǎn)化為邊長比即可.
【詳解】
；
設(shè)；
則：，即B，C，D三點(diǎn)共線；
所以；
；
故答案為：
【題后反思】1、奔馳定理：是內(nèi)的一點(diǎn)，且，則
2、證明過程：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，求證：.
延長與邊相交于點(diǎn)，
則，
，
∵，
∴，
∴，
所以.
（3）奔馳定理推論：，則
①
②，，.
【舉一反三】
（第02練平面向量的應(yīng)用-2022年【暑假分層作業(yè)】高一數(shù)學(xué)（蘇教版2019必修第二冊(cè)））
3．設(shè)點(diǎn)O在的內(nèi)部，且，則的面積與的面積之比是
（河南省信陽市新未來2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）
4．已知O是內(nèi)部的一點(diǎn)，且，和的面積分別是，若，則 .
（22-23高一下·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）
【典例3-1】若O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，H，N，Q在△ABC所在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P滿足， ，則直線AP一定經(jīng)過的____心，點(diǎn)H滿足，則H是的____心，點(diǎn)N滿足，則N是的____心，點(diǎn)Q滿足，則Q是的____心，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．外心，內(nèi)心，重心，垂心 B．內(nèi)心，外心，重心，垂心
C．內(nèi)心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，內(nèi)心
【答案】B
【分析】推出，又所在直線一定為的平分線，從而得到直線AP一定經(jīng)過的內(nèi)心，點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)相等，故點(diǎn)是的外心，作出輔助線，得到三點(diǎn)共線，且，所以是的重心，推導(dǎo)出，，得到為的垂心.
【詳解】，變形得到，
其中分別代表方向上的單位向量，
故所在直線一定為的平分線，
故直線AP一定經(jīng)過的內(nèi)心，
，即點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)相等，故點(diǎn)是的外心，
因?yàn)椋裕?br/>如圖，取的中點(diǎn)，連接，
則，所以，
故三點(diǎn)共線，且，
所以是的重心，
由可得，
故，同理可得，
故為三條高的交點(diǎn)，為的垂心.
故選：B
（22-23高一下·江蘇南京·期中）
【典例3-2】已知點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定通過的（　　）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】
根據(jù)是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，可知點(diǎn)P軌跡，據(jù)此可求解.
【詳解】
為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，
則的方向?yàn)椤螧AC的平分線的方向．又λ∈（0，＋∞），
所以的方向與的方向相同．
而，所以點(diǎn)P在上移動(dòng)，
所以點(diǎn)P的軌跡一定通過的內(nèi)心．
故選：B
【題后反思】三角形四心及向量表示
（1）三角形重心的概念及向量表示
①重心的概念：三角形各邊中線的交點(diǎn)叫做重心，重心分中線長度的比為2：1．
②重心的向量表示：如圖所示在中，為重心
證明：，所以
③重心坐標(biāo)公式，設(shè)，，，則△ABC的重心坐標(biāo)為．
（2）三角形垂心的概念及向量表示
①垂心的概念：三角形各邊上高線的交點(diǎn)叫做垂心．
②垂心的向量表示：如圖所示在中，為重心
證明：因?yàn)?，所以，所以?br/>同理可得，，所以為重心
（3）三角形內(nèi)心的概念及向量表示
①內(nèi)心的概念：三角形各角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心，內(nèi)心也為三角形內(nèi)切圓的圓心．
②內(nèi)心的向量表示：如圖所示在中，為重心且
（4）三角形外心的概念及向量表示
①外心的概念：三角形各邊中垂線的交點(diǎn)叫做外心，外心也為外接圓的圓心．
②外心的向量表示：若為內(nèi)一點(diǎn)，則為的外心．
【舉一反三】
（22-23高一下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）
5．已知所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M滿足，且實(shí)數(shù)x，y形成的向量與向量共線，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必經(jīng)過的 心.（在重心、內(nèi)心、外心、垂心中選擇）
（22-23高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）
6．已知在所在平面內(nèi)，，則是的 心．
（22-23高一下·江蘇徐州·期中）
【典例4-1】在中，，，E是AB的中點(diǎn)，EF與AD交于點(diǎn)P，若，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】利用向量的線性運(yùn)算求得，由此求得m，n，進(jìn)而求得.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br/>則.
因?yàn)锳，P，D三點(diǎn)共線，所以.
因?yàn)椋?
因?yàn)镋是邊AB的中點(diǎn)，
所以.因?yàn)镋，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，
所以，
則，解得，從而，，故.
故選：A
（23-24高一上·遼寧大連·期末）
【典例4-2】如圖，在中，，，AD與BC相交于點(diǎn)M.設(shè)，.
（1）試用基底表示向量；
（2）在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過點(diǎn)M，若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由D，M，A三點(diǎn)共線，設(shè)，由C，M，B三點(diǎn)共線，可設(shè)，列出方程組，即可求解的值，得到結(jié)論；
（2）由E，M，F(xiàn)共線，設(shè)，由（1）可求得，化簡(jiǎn)即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)镃，M，B三點(diǎn)共線，D，M，A三點(diǎn)共線，所以設(shè)，，
則，，
所以，解得，所以；
（2）因?yàn)镋，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以設(shè)，
則，由（1）知，
所以，所以.
【題后反思】等和（高）線定理
（1）由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和（高）線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若＝λ＋μ（λ，μ∈R），則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA′B′相似，必存在一個(gè)常數(shù)k，k∈R，使得＝k，則＝k＝kλ＋kμ，又＝x＋y（x，y∈R），∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立．
（2）平面內(nèi)一組基底，及任一向量，＝λ＋μ（λ，μ∈R），若點(diǎn)P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k（定值）；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線成為等和（高）線．
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k＝1；
②當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k∈（0，1）；
③當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí)，k∈（1，＋∞）；
④當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時(shí)，k＝0；
⑤若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則定值k互為相反數(shù)；
⑥定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比．
【舉一反三】
7．設(shè)長方形ABCD的邊長分別是AD＝1，AB＝2，點(diǎn)P是(含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則x＋2y的取值范圍為（ ）
A．[1，2] B．[1，3] C．[2，3] D．[0，2]
（22-23高一上·遼寧大連·期末）
8．在三角形中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 99 148
【詳解】在上取一點(diǎn)，使得，取的中點(diǎn)，連接,，如圖所示：

則,，，，即，
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以.
當(dāng)與重合時(shí)，，，則，
當(dāng)與重合時(shí)，，，則，
所以，
故答案為：99；148.
2．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理和化簡(jiǎn)得到，從而得到角B的大??；
（2）由余弦定理和基本不等式得到，從而利用三角形面積公式求出面積最大值；
（3）由正弦定理，余弦定理及，求出，利用極化恒等式求出的取值范圍.
【詳解】（1）由及正弦定理可得：
又∵，
∴，
整理可得：，
可得，
可得：，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）若，根據(jù)余弦定理得：，化簡(jiǎn)，
又∵，
∴，即：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值6，
∵的面積．
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積有最大值，最大值等于
（3）由正弦定理，則，則，
由，可得，則，
則三角形ABC為等邊三角形，取AB中點(diǎn)M，如圖所示：
則
由OP=2，OM=1，則，則．
【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：
①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；
②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
3．5
【分析】由題意可得，再根據(jù)奔馳定理即可解出．
【詳解】由變形可得：，
整理可得：，
根據(jù)奔馳定理可得：，則.
故答案為：5.
4．
【分析】根據(jù)三角形的幾何性質(zhì)，可得點(diǎn)所在三角形中特殊線段位置，結(jié)合三點(diǎn)公式的平面向量計(jì)算，建立方程組，可得答案.
【詳解】如圖，分別在邊AC，BC上取點(diǎn)D，E，使得.

由，可得，所以，
又因?yàn)椋渣c(diǎn)O在線段DE上（不包含端點(diǎn)），
則.
因?yàn)镺，D，E三點(diǎn)共線，所以，即，
所以.
因?yàn)椋?，所?
故答案為：.
5．重心
【分析】根據(jù)向量平行得到，將變形得到，取的中點(diǎn)，則，從而得到答案.
【詳解】與向量共線，故，即，
則變形為，
即，
所以，
取的中點(diǎn)，則，
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必經(jīng)過的重心.
故答案為：重心
6．垂
【分析】根據(jù)給定等式，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，結(jié)合垂直關(guān)系的向量表示推理作答.
【詳解】由得：，即，則，
由同理可得：，
所以是的垂心.
故答案為：垂
7．B
【分析】取中點(diǎn)E，，連接BE，當(dāng)點(diǎn)P位于B點(diǎn)，C點(diǎn)時(shí)，可分別求出和1，即可得到答案；
【詳解】
取中點(diǎn)E，
如圖，連接BE，
當(dāng)點(diǎn)P位于B點(diǎn)時(shí)，三點(diǎn)B、E、P共線，且，即，
當(dāng)點(diǎn)P位于C點(diǎn)時(shí)，，即，
x＋2y的取值范圍為[1，3]，
故選：B
8．(1)①；②
(2).
【分析】（1）①根據(jù)平面向量基本定理即可求；②由三點(diǎn)共線可得，結(jié)合①列方程即可求出的值；
（2）設(shè)，根據(jù)平面向量基本定理可得，結(jié)合已知得到，與之間的關(guān)系，利用基本不等式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）①因?yàn)?，所以?br/>故在中，
；
②因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以
又由①及已知，，
所以，解得.
（2）因?yàn)?，又三點(diǎn)共線，設(shè)，
所以，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，
所以的最小值為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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