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專題3 平面向量中的范圍與最值問(wèn)題
（22-23高一下·江蘇海安·期中）
【典例1-1】在中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為 .
【答案】
【分析】建立如圖平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可求解.
【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，
，
設(shè)直線BC方程為，則，
解得，所以BC方程為，設(shè)，
所以，
得.
故答案為：.
（22-23高一下·江蘇常州·期末）
【典例1-2】在斜三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)已知條件，由此求得.
（2）利用正弦定理、向量的數(shù)量積運(yùn)算、三角恒等變換以及基本不等式的知識(shí)求得的最小值.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，，
由得，
所以或（舍去）
所以.
（2）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?br/>所以，
由（1）知，，且，
所以，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以最小值為.
【題后反思】數(shù)量積的取值范圍和最值問(wèn)題往往通過(guò)兩種方法來(lái)解決，第一種即定義與轉(zhuǎn)化，通過(guò)數(shù)量積的定義式，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律與圖形關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解；第二種為坐標(biāo)法，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)公式求解范圍與最值.
【舉一反三】
（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）
1．如圖，在四邊形中，.若為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 .
（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）
2．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，，且，.

(1)求的值；
(2)若向量，點(diǎn)在的內(nèi)部（不含邊界），求的取值范圍.
（23-24高一下·江蘇徐州·期中）
【典例2-1】如圖， A 、 B 、 C 三點(diǎn)在半徑為1 的圓 O 上運(yùn)動(dòng)，且， M 是圓 O 外一點(diǎn)，，則的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)、向量運(yùn)算以及向量絕對(duì)值三角不等式，求得答案.
【詳解】連接，如下圖所示：
因?yàn)? ，則為圓 O 的一條直徑，故 O 為的中點(diǎn)，
所以 ，
所以
.
當(dāng)且僅當(dāng) M 、O 、C 共線且 、 同向時(shí)，等號(hào)成立，
因此， 的最大值為
故選：C.
（22-23高一下·江蘇淮安·期中）
【典例2-2】在中，的對(duì)邊分別為，且.
（1）若，求的值；
（2）若，點(diǎn)在線段上，且滿足，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦公式，求得，得到，再由，求得，進(jìn)而求得時(shí)，結(jié)合余弦定理，即可求解.
（2）由點(diǎn)在線段上，且滿足，得到為角平分線，利用三角形的內(nèi)角平分線定理求得，利用，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br/>由正弦定理得，
即，
可得，
又因?yàn)椋傻茫矗?br/>由，可得，可得，可得，
又由，所以或，即或
當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)椋裕环项}意，舍去；
所以時(shí)，此時(shí)，由余弦定理得，
綜上可得，的值為 .
（2）解：由（1）知，即且，可得，，
又由點(diǎn)在線段上，且滿足，
因?yàn)榉謩e是和同向的單位向量，所以為角平分線，
由三角形的內(nèi)角平分線定理，可得，即，
在中，可得，
所以，
因?yàn)椋傻茫裕裕?br/>即向量的取值范圍是.
【題后反思】模長(zhǎng)與數(shù)量積、夾角緊密相連，可以通過(guò)數(shù)量積的定義式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，也可以通過(guò)坐標(biāo)公式直接計(jì)算，模長(zhǎng)的最值問(wèn)題往往需要結(jié)合基本不等式或不等式的放縮法.
【舉一反三】
（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）
3．若，，均為單位向量，且，，則的值可能為（　　）
A．－1 B．1 C． D．2
（22-23高一下·福建漳州·期中）
4．已知平面向量，，其中，，的夾角是，若為任意實(shí)數(shù)，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）
5．已知，，求：
(1)的取值范圍；
(2)的取值范圍．
（22-23高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）
【典例3-1】設(shè)與均為單位向量，它們的夾角為.若，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】運(yùn)用數(shù)量積求模的方法求解.
【詳解】依題意有：，即 ，
又，；
故選：B.
（22-23高一下·江蘇蘇州·期末）
【典例3-2】已知中，是邊（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)為與的交點(diǎn)，請(qǐng)用表示；
（2）若點(diǎn)使得，求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）由已知得，再由A、O、P三點(diǎn)共線，令，由得，然后由C、O、Q三點(diǎn)共線，求出作答.
（2）由（1）中信息，設(shè)，則，再由垂直關(guān)系的向量表示及數(shù)量積的運(yùn)算律，求出，借助函數(shù)的單調(diào)求解作答.
【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t ，又A、O、P三點(diǎn)共線，有，，
又，即有，而C、O、Q三點(diǎn)共線，于是，解得，
所以.
（2）由（1）知，，而，設(shè)，則，
由，得，即，
整理得，即，
于是，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，
所以的取值范圍.
【題后反思】已知數(shù)量積求夾角的問(wèn)題使用數(shù)量積定義式代入求解轉(zhuǎn)化，已知其他關(guān)系求夾角的往往通過(guò)坐標(biāo)法的公式轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解，最終可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題，結(jié)合初等函數(shù)單調(diào)性或函數(shù)的單調(diào)性定義法進(jìn)行判斷值域即可.
【舉一反三】
（23-24高一下·山東濱州·開(kāi)學(xué)考試）
6．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，且為單位向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．
C．若向量與垂直，則 D．向量與的夾角正切值最大為
（22-23高一下·甘肅定西·階段練習(xí)）
7．設(shè)向量，，向量與的夾角為銳角，則x的范圍為 .
（22-23高一下·山東泰安·階段練習(xí)）
8．設(shè)兩個(gè)向量滿足．
(1)若，求的夾角；
(2)若的夾角為，向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（22-23高一下·江蘇·階段練習(xí)）
【典例4-1】已知，，，，的最小值為 .
【答案】/
【分析】由得到關(guān)于，，的方程組，利用表示，，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.
【詳解】，
，
即，解得，
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：.
（22-23高一下·江蘇蘇州·期末）
【典例4-2】在鈍角三角形中，，，，.
（1）求的值；
（2）已知，，三點(diǎn)共線，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）的取值范圍為.
【分析】（1）由條件結(jié)合三角形面積公式求，利用表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求的值；
（2）設(shè)，利用表示，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律求，再求其最小值，由此可得的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>又，
所以，
所以，所以或，
若，則，
則，
為三角形最大內(nèi)角，不合題意；
所以，則，
，
則；
（2）由已知，設(shè)，
則，
所以，
，，
當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，
由恒成立可得，.
所以的取值范圍為，
【題后反思】平面向量參數(shù)問(wèn)題需要理解平面向量基本定理相關(guān)內(nèi)容，結(jié)合定理內(nèi)容列出等式，尋找參數(shù)的關(guān)系，亦可以通過(guò)圖形關(guān)系與式子的特征直接判斷最值.
【舉一反三】
（22-23高一下·廣西·期末）
9．已知內(nèi)一點(diǎn)是其外心，，且，則的最大值為 ．
（23-24高一上·河北保定·期中）
10．在扇形中，為弧上一動(dòng)點(diǎn)，若，求的取值范圍.
（23-24高一上·遼寧葫蘆島·期末）
11．如圖，在等腰梯形中，，，M為線段中點(diǎn)，與交于點(diǎn)N，P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)設(shè)，求的取值范圍．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．6
【分析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，再由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到，再求二次函數(shù)的最大值即可．
【詳解】以為原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，其中，
則，，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值6．
故答案為：6.
2．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式求得正確答案.
（2）先求得的取值范圍，然后根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算以及不等式的性質(zhì)求得的取值范圍.
【詳解】（1）由圖可知，，
所以.
（2），則，
，則，
所以，
由于，
所以，即，
所以
,
由于，所以，
所以的取值范圍是.

【點(diǎn)睛】已知三角函數(shù)值求角，主要是通過(guò)三角恒等變換的知識(shí)求得角的某個(gè)三角函數(shù)值，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得所求的角.求解向量數(shù)量積運(yùn)算，可以轉(zhuǎn)化為基底表示，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律來(lái)求得正確答案.
3．AB
【分析】利用平面向量的模長(zhǎng)公式求解.
【詳解】因?yàn)椋鶠閱挝幌蛄浚遥?br/>所以，所以，
又，故
而
，
所以即
所以選項(xiàng)C，D不正確，選項(xiàng)A，B正確．
故選：A，B.
4．C
【分析】根據(jù)給定條件，作出幾何圖形，利用圖形結(jié)合向量的幾何意義求出最小值作答.
【詳解】依題意，作，使，如圖，

顯然對(duì)，的終點(diǎn)的軌跡是線段確定的直線，
于是為點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離，過(guò)作線段于，
所以.
故選：C
5．(1)
(2)
【分析】（1）由向量運(yùn)算的三角形法則即可求解，注意等號(hào)成立的條件；
（2）由向量運(yùn)算的三角形法則即可求解，注意等號(hào)成立的條件；
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>且，所以，
當(dāng)與同向時(shí)，；
當(dāng)與反向時(shí)，；
所以的取值范圍為．
（2）由，
且，所以，
當(dāng)與同向時(shí)，；
當(dāng)與反向時(shí)，．
所以的取值范圍為．
6．AB
【分析】對(duì)于A，根據(jù)為單位向量即可判定；對(duì)于B，等式右邊展開(kāi)后，結(jié)合題中條件即可判定；對(duì)于C，設(shè)，，，根據(jù)題中條件可得，再利用坐標(biāo)求模公式，結(jié)合重要不等式，即可判定；對(duì)于D，利用坐標(biāo)運(yùn)算求得夾角的余弦值，繼而求得正切值，結(jié)合條件即可判定.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉閱挝幌蛄浚裕蔄正確；
對(duì)于B，因?yàn)闉閱挝幌蛄浚?br/>所以，
故B正確；
對(duì)于C，設(shè)，，，
則，則，
，則，
又，
則由向量與垂直知，
，則，
，
故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，設(shè)向量與的夾角為，
則，
則，
則，無(wú)最大值，故D錯(cuò)誤；
故選：AB.
7．且
【分析】根據(jù)已知可得，且不共線，求解即可.
【詳解】向量，，由得，，所以.
由已知得，，所以，即，且不共線.
則，所以.
又不共線，則.所以x的取值范圍為且.
故答案為：且.
8．(1)
(2)且
【分析】（1）先由可求，再用向量夾角余弦的公式可得，則的夾角可求.
（2）由向量與的夾角為鈍角，可得且與不共線，再求解相應(yīng)不等式即可.
【詳解】（1）
又
即
又
（2）的夾角為且
向量與的夾角為鈍角
且與不共線
即
解得：且
實(shí)數(shù)t的取值范圍且
9．##0.75
【分析】延長(zhǎng)交于，令結(jié)合向量共線的推論得到，數(shù)形結(jié)合判斷取最大值時(shí)的形狀，進(jìn)而求其最大值.
【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)交于，

令，
∵，，三點(diǎn)共線，
∴，
∴取最大值時(shí)，取最大值，則，
∵為外接圓的半徑（定值），
∴當(dāng)取得最小時(shí)，取最大值，此時(shí)，
∴為等腰三角形，且，
∴，則，，，
∵，，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：延長(zhǎng)交于，令結(jié)合向量知識(shí)，將問(wèn)題化為求的最大值，數(shù)形結(jié)合進(jìn)一步化為求最小值為關(guān)鍵.
10．
【分析】以為原點(diǎn)，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，求出，設(shè)與軸的夾角為，則，代入可得，求解即可.
【詳解】解：設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
如圖，則，

不妨設(shè)與軸的夾角為，則.
因?yàn)椋裕獾茫?br/>在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，為最大值；
當(dāng)時(shí)，為最小值.
所以的取值范圍是.
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算；
（2）由題意得，由共起點(diǎn)的三向量終點(diǎn)共線的充要條件求出，即可得出答案；
（3）由題意，可設(shè)，代入中并整理可得，又，根據(jù)平面向量基本定理得出方程組，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】（1）由向量的線性運(yùn)算法則，可得，①
，②
因?yàn)镸為線段中點(diǎn)，則，
聯(lián)立①②得：，
整理得：．
（2）由AM與BD交于點(diǎn)N，得，
由共起點(diǎn)的三向量終點(diǎn)共線的充要條件知，，解得：．
所以，即．
（3）由題意，可設(shè)，
代入中并整理可得
．
又，故，可得：，．
因?yàn)椋裕?br/>在單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，的取值范圍為．
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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