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專題6 三角形的范圍與最值問(wèn)題
【典例1-1】
1．已知的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】
2．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，設(shè)的面積為，且滿足.
(1)求角的大小；
(2)求的最大值.
【題后反思】在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問(wèn)題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn).解決這類問(wèn)題，通常有下列五種解題技巧：（1）利用基本不等式求范圍或最值；
（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；（3）利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；（4）根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值.
【舉一反三】
3．已知銳角中，角的對(duì)邊分別為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且邊上的高.
(1)若，求；
(2)已知中角和是銳角，求的最小值.
【典例2-1】
5．已知鈍角的角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，則最大邊的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】
6．已知銳角內(nèi)角及對(duì)邊，滿足.
(1)求的大小；
(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.
【題后反思】本類題型需要根據(jù)題意選擇方法，范圍問(wèn)題多轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問(wèn)題，最值問(wèn)題可以用基本不等式直接求解.同時(shí)，需要注意三角形中一些基本的性質(zhì)，例如兩邊之和大于第三邊，大邊對(duì)大角等.
【舉一反三】
7．中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，，交AC于點(diǎn)D，且，的最小值為（ ）
A． B． C．8 D．
8．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，若，且，則的周長(zhǎng)的取值范圍是 ．
【典例3-1】
9．已知，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，的角平分線交于點(diǎn)D．若，則的取值范圍是 ．
【典例3-2】
10．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，.
(1)求角；
(2)求邊上中線長(zhǎng)的取值范圍.
【題后反思】中線問(wèn)題多采用中線向量公式并結(jié)合平面向量的平方轉(zhuǎn)化法；角平分線問(wèn)題多轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積和等于大三角形面積，通過(guò)兩個(gè)等角與公共邊進(jìn)行聯(lián)系；高的問(wèn)題多采用等面積法或圖形求解法（在圖形中找出高，結(jié)合已知角或自變量在直角三角形中表示高的長(zhǎng)度）.
【舉一反三】
11．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積.
(1)若，求；
(2)已知為上一點(diǎn)，從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，求線段長(zhǎng)度的最大值.
①為的平分線；②為邊上的中線.
注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
12．在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求BC邊上的高AD的最大值．
【典例4-1】
13．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足．
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值．
【典例4-2】
14．已知在，角所對(duì)的邊分別是，且．
(1)求的大小；
(2)若，求面積的取值范圍．
【題后反思】牢記三角形的面積公式：
（1）為三角形的底，為對(duì)應(yīng)的高）
（2）.
此外，面積求最值時(shí)往往通過(guò)余弦定理的表達(dá)式進(jìn)行整理，再利用基本不等式直接得到最值.
【舉一反三】
15．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．
(1)求；
(2)若角的平分線交于點(diǎn)，且，求面積的最小值．
16．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，．
(1)求角B的大小和邊長(zhǎng)b的值；
(2)求面積的取值范圍．
【典例5-1】
17．正三角形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)在邊上，且，三角形的外接圓的一條弦過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最短時(shí)，的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-2】
18．已知，，，；若P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則的最大值為 ．
【題后反思】平面向量+三角形問(wèn)題，出現(xiàn)直角多采用坐標(biāo)法，常規(guī)圖形采用平面向量運(yùn)算的定義法與轉(zhuǎn)化法.此類題型一定要數(shù)形結(jié)合尋找一些題目隱藏的條件與關(guān)系，從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算量的目的.
【舉一反三】
19．在中，，，，則的取值范圍是 ．
20．萊洛三角形也稱圓弧三角形，是一種特殊的曲邊三角形，在建筑、工業(yè)上應(yīng)用廣泛如圖所示，分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以正三角形邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形，已知兩點(diǎn)間的距離為2，點(diǎn)為萊洛三角形曲邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 .
【典例6-1】
21．如圖，在平面四邊形ABCD中，，，且的面積為.

(1)求A，C兩點(diǎn)間的距離；
(2)設(shè)的角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且.作的內(nèi)切圓，求這個(gè)內(nèi)切圓面積的最大值.
【典例6-2】
22．已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，．
(1)求角B的大小；
(2)若為鈍角三角形，且，求外接圓半徑的取值范圍．
【題后反思】對(duì)于外接圓相關(guān)的范圍與最值問(wèn)題，可以通過(guò)正弦定理聯(lián)系三角形基本量與外接圓半徑，列出表達(dá)式后統(tǒng)一化為角或統(tǒng)一化為邊，結(jié)合不等式或函數(shù)求解答案；對(duì)于內(nèi)切圓相關(guān)問(wèn)題，可以通過(guò)面積拆分法聯(lián)系內(nèi)切圓半徑與三角形基本量，結(jié)合三角形等面積法即可得到相關(guān)關(guān)系.
【舉一反三】
23．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，.
(1)求B及a，c；
(2)若線段MN長(zhǎng)為3，其端點(diǎn)分別落在邊AB和AC上，求△AMN內(nèi)切圓半徑的最大值.
24．如圖，平面四邊形中，，，，的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且滿足.

(1)判斷四邊形是否有外接圓 若有，求其半徑；若無(wú)，說(shuō)明理由，
(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．A
【分析】利用正弦定理及余弦定理化簡(jiǎn)表示，結(jié)合基本不等式求得的取值范圍，從而求得的取值范圍，即可求解.
【詳解】由題意，由正弦定理得：，化簡(jiǎn)得：，
由余弦定理得：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而可得為銳角，
所以：，得：，則：，
所以：，
所以：的最大值為，故A項(xiàng)正確.
故選：A.
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形面積公式和余弦定理可得.
（2）根據(jù)，二倍角公式和輔助角公式可將轉(zhuǎn)化為
，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.
【詳解】（1），所以，
故，又因?yàn)椋?
（2）
當(dāng)，即時(shí)，有最大值1，
故的最大值為.
3．A
【分析】根據(jù)余弦定理以及正弦定理結(jié)合已知條件找出角的關(guān)系式，然后利用正切的二倍角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)角的范圍求出取值范圍即可.
【詳解】由得：，
所以，
所以，
，
，
，
在中，由，
所以，
因?yàn)殇J角三角形，
所以，
所以，
所以.
所以的取值范圍是：，
故選：A.
4．(1)或；
(2).
【分析】（1）利用三角形面積公式，結(jié)合正弦定理邊化角得，再把代入，利用二倍角公式求出作答.
（2）利用（1）的信息，利用和角的正弦化簡(jiǎn)變形，再利用均值不等式求解作答.
【詳解】（1）因?yàn)檫吷系母撸瑒t，
由正弦定理得，而，則，
當(dāng)時(shí)，，即有，即，
顯然，即，有，于是或，
所以或.
（2）在中，由，得，而和為銳角，
即，于是，
顯然，從而，
因此
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及三角形中的三角函數(shù)等式求最值問(wèn)題，可以利用三角恒等變形結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，化成含某個(gè)角或某兩個(gè)角的等式，再借助三角函數(shù)性質(zhì)或均值不等式求解即可.
5．C
【分析】根據(jù)給定條件利用余弦定理建立不等關(guān)系即可計(jì)算作答.
【詳解】因是鈍角三角形，，，且是最大邊，則由余弦定理得：，
于是得，，解得，又有，即，
所以最大邊的取值范圍是：.
故選：C
6．(1)
(2).
【分析】（1）由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合，可得的值．
（2）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，由已知求出的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其范圍．
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br/>又因?yàn)椋?br/>所以，，
可得，由，可得.
（2）因?yàn)椋烧叶ɡ恚?br/>可得，
可得
，
因?yàn)殇J角三角形中，所以，解得，所以，
所以，可得.
周長(zhǎng)的取值范圍為.
7．B
【分析】根據(jù)題意由面積關(guān)系可得，再結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知：，
因?yàn)椋矗?br/>整理得，
則．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
所以的最小值為．
故選：B.
8．
【分析】由正弦定理和正弦和角公式得到，再利用正弦定理和三角恒等變換得到，結(jié)合求出周長(zhǎng)取值范圍.
【詳解】，由正弦定理得，
又，
所以，
由于，故，
故，
因?yàn)椋裕?br/>由正弦定理得，；
故
，
由于，
故，
所以，
故周長(zhǎng)的取值范圍為．
故答案為：
9．
【分析】由題目條件，根據(jù)正弦定理先推出邊長(zhǎng)關(guān)系，根據(jù)面積相等，求出角平分線長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理，將角平分線表示成一個(gè)量的函數(shù)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
對(duì)用正弦定理，可得，設(shè)，，由于為三角形內(nèi)角，則，由可得，，整理得，，對(duì)，由余弦定理，，即，故，即，于是，根據(jù)基本不等式，，即，結(jié)合，解得，即，于是.
故答案為：
10．(1)
(2)
【分析】（1）將平方后，結(jié)合余弦定理即可求得答案；
（2）解法1，求得外接圓半徑，過(guò)點(diǎn)C作，交BD延長(zhǎng)線于E，利用余弦定理推出，結(jié)合正弦定理邊化角，以及三角恒等變換，化簡(jiǎn)可得的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案；
解法2，利用平行四邊形性質(zhì)可得，下面解法同解法1；
解法3，利用余弦定理結(jié)合基本的不等式可求得答案；
解法4，利用三角形外接圓中線段的不等式關(guān)系，可求得答案.
【詳解】（1）由，可得：，
即，
所以，而，從而；
（2）解法1：設(shè)外接圓半徑為R，則，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作，交BD延長(zhǎng)線于E，
則∽，則，

故，
所以，
，
又因?yàn)椋剩瑒t，
所以，即；
解法2：由平行四邊形性質(zhì)可得，
所以，
因?yàn)?br/>，
又因?yàn)椋剩瑒t，
所以，則，即；
解法3：
因?yàn)椋?br/>所以，所以，
又因?yàn)椋?結(jié)合解法2可知，
所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值；
解法4：
如圖所示，，，
設(shè)外接圓半徑為R，則，
故有外接圓如圖，D為的中點(diǎn)，
則，

由圖可知，
所以.
11．(1)
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理和三角形的面積公式即可得到，再由正弦定理即可得到結(jié)果；
（2）若選①，由余弦定理結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果；若選②，由，再結(jié)合余弦定理與基本不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>由余弦定理可得，所以，
由三角形的面積公式可得，所以，
所以，又，所以.
因?yàn)椋詾殇J角，，
所以
，
由正弦定理得，即，
所以.
（2）選擇條件①：
在中由余弦定理得，即，
即，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故的最大值為.
選擇條件②：
由點(diǎn)為的中點(diǎn)得，
平方得，
在中由余弦定理得，
即，所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故有
，
從而，故的最大值為.
12．(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)已知等式即得解；
（2）利用余弦定理和基本不等式求出，再求出，即得解.
【詳解】（1）根據(jù)正弦定理可得，
又，∴．
∵,∴．
（2），∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
∵，∴，
∴，
∴，∴AD的最大值為.
13．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；
（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的最大值.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br/>由正弦定理可得
，
因?yàn)椤ⅲ瑒t，可得，
所以，，故.
（2）解：由余弦定理可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，
因此，面積的最大值為.
14．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化邊為角得到，知值由范圍求角即可；
（2）由（1），已知，由一組對(duì)邊角已知可得，借助這一常數(shù)利用正弦定理化邊為角，再由三角恒等變換化簡(jiǎn)面積表達(dá)式求解最值.
【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻茫?br/>整理可得，又，所以．
（2）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫?br/>所以，
又，所以，
所以
又因?yàn)椋傻茫?br/>所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），
可得，
由，,
即面積的取值范圍是．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件，得到，利用正弦定理角轉(zhuǎn)邊，得到，再利用余弦定理即可求出結(jié)果；
（2）利用條件，結(jié)合，得到，再利用基本不等式，得到，從而求出結(jié)果.
【詳解】（1）由已知，得，
在中，由正弦定理得，即．
再由余弦定理得．
又，所以.
（2）因?yàn)槭墙堑钠椒志€，則，
又，
又，所以，得到，
又因?yàn)椋玫剑獾茫矗?br/>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，
即面積的最小值是．
16．(1)，
(2)
【分析】（1）利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合B為銳角，可得B的值，由正余弦定理化簡(jiǎn)已知等式即可求解b的值．
（2）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式可求，由題意可求范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其范圍．
【詳解】（1）∵，∴，
∴，∴，
∵B為銳角，∴，∵，
由正余弦定理可得：，
整理可得，解得．
（2）∵，
∴，，
∴，
，
∵，，∴，
∴，∴，
∴
17．D
【分析】設(shè)為外接圓的圓心，結(jié)合垂徑定理和正弦定理，可得，再由極化恒等式推出，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的取值范圍，然后結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)與余弦定理，即可得解．
【詳解】解：設(shè)為外接圓的圓心，
因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)弦的長(zhǎng)度最短時(shí)，，
在中，由正弦定理知，外接圓半徑，即，
所以，
因?yàn)椋矗?br/>所以，
因?yàn)辄c(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，
所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，
在中，由余弦定理知，
，
所以，
綜上，，
所以．

故選：D．
18．192
【分析】建立直角坐標(biāo)系，由可得P的坐標(biāo)，從而可得，再結(jié)合t的范圍即可求得它的最大值．
【詳解】由題意建立如圖所示的坐標(biāo)系，
可得，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以，
因?yàn)椋瑒t，
所以的最大值為192．
故答案為：192．

19．
【分析】利用正弦定理和向量數(shù)量積的定義得，再根據(jù)的范圍和正切函數(shù)的值域即可求出其范圍．
【詳解】根據(jù)正弦定理得，即，
，
，
，，所以，
，
即的取值范圍．
故答案為：．
20．
【分析】因?yàn)辄c(diǎn)為萊洛三角形曲邊上的一動(dòng)點(diǎn)，所以需要討論點(diǎn)在哪一條弧上.每一種情況將原式中的向量利用向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)且已知長(zhǎng)度和角度的向量，再設(shè)出唯一變化的角或，進(jìn)而利用數(shù)量積運(yùn)算表示成該角的三角函數(shù)，借助輔助角公式求出最值.
【詳解】當(dāng)點(diǎn)落在圓弧上時(shí)，長(zhǎng)度恒為半徑2，
設(shè)，，
原式
其中，，
又，，
原式取最小值.
當(dāng)點(diǎn)落在圓弧上時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性同理可得原式取最小值.
當(dāng)點(diǎn)落在圓弧上時(shí)，長(zhǎng)度恒為半徑2，
設(shè)，，
原式
又
，∴當(dāng)時(shí)，原式取最小值.
，故原式取最小值.
故答案為：.
21．(1)
(2).
【分析】（1）由面積公式及余弦定理求解；
（2）由所給條件求出B，再由內(nèi)切圓性質(zhì)求半徑，法一利用正弦定理及正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最值得解；法二利用均值不等式求出最大值得解.
【詳解】（1）在中，因?yàn)椋?
由余弦定理可得
，
所以.
故A，C兩點(diǎn)間的距離是 .
（2）根據(jù)三角形面積公式有，即，
又因?yàn)?，
所以，所以，
所以，，得.
設(shè)內(nèi)切圓的半徑是，
因?yàn)椋瑒t.
所以
又，
因此，
解法一：在中，，.
由正弦定理得，
所以，，
于是
.
又，所以.
當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而取得最大值2.
故內(nèi)切圓面積的最大值為.
解法二：
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).
內(nèi)切圓面積的最大值為.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合條件，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)果；
（2）利用正弦定理，將邊轉(zhuǎn)角，再結(jié)合條件得到，再利用角的范圍即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br/>得到，又，所以，
故，即，所以，
又，所以，得到.
（2）由正弦定理，得到，，
所以
，所以，
又因?yàn)闉殁g角三角形，且，又由（1）知，所以，
所以，由的圖像與性質(zhì)知，所以
23．(1)
(2)
【分析】（1）由題得，再結(jié)合三角形面積公式和余弦定理即可得到答案；
（2）設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式得，代入數(shù)據(jù)有，再利用余弦定理和基本不等式即可求出最值.
【詳解】（1）由，得，又
，解得,
，或
由余弦定理，
得，
當(dāng)時(shí)，，又，所以，，
當(dāng)時(shí)，，矛盾
所以，，
（2）設(shè)△內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，由（1）知：△ABC為等邊三角形，
則，
從而（其中指的周長(zhǎng)），
，
，
，則
，
又，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，.
即內(nèi)切圓半徑的最大值為
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)切圓半徑公式，再結(jié)合余弦定理和基本不等式求出的最大值.
24．(1)有，；
(2).
【分析】（1）利用數(shù)量積的定義及三角形面積公式求出角D，再由正余弦定理求出角B，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的判定作答.
（2）利用三角形面積建立三角形內(nèi)切圓半徑的函數(shù)，再求出函數(shù)值域作答.
【詳解】（1）在中，，則，
由，得，于是，而，因此，
在中, ，解得，
在中，由正弦定理，得 ，整理得，
由余弦定理，得，又，因此，有，
于是四點(diǎn)共圓，且四邊形外接圓的半徑就等于外接圓的半徑，
所以四邊形有外接圓，圓半徑.
（2）由（1）知：，則，即有，
由，得，
又，由，故不是正三角形,又，則，
于是，又，解得，，
則，
所以內(nèi)切圓半徑的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：的三邊分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑，則.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
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