資源簡介

3簡單的軸對稱圖形
第1課時
學習目標
經(jīng)歷探索簡單圖形軸對稱性的過程，進一步體驗軸對稱的特征，發(fā)展空間觀念．探索并了解“三線合一”有關性質(zhì)，應用“三線合一”的性質(zhì)解決一些實際問題．
學習策略
1.先精讀一遍教材第121頁到124頁，用紅筆進行勾畫“三線合一”有關性質(zhì), 線段垂直平分線的有關性質(zhì)；再針對課前預習二次閱讀教材，并回答問題.
2.找出自己的疑惑和需要討論的問題，隨時記錄在課本或?qū)W案上，準備課上討論質(zhì)疑.
學習過程
一.復習回顧：
觀察下列各種圖形，判斷是不是軸對稱圖形,能找出對稱軸嗎？
二.新課學習：
1.自學教材P124，回答以下問題
（1）等腰三角形是軸對稱圖形嗎？如果是，請找出它的對稱軸．
（2）等腰三角形頂角平分線所在的直線是它的對稱軸嗎？
（3）等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸嗎？底邊上的高所
在的直線呢？
沿對稱軸對折，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的哪些特征？說說你的理由．
三..嘗試應用：
1、下列命題正確的個數(shù)是（　　）
①如果等腰三角形內(nèi)一點到底邊兩端點的距離相等，那么過這點與頂點的直線必垂直于底邊;②如果把等腰三角形的底邊向兩個方向延長相等的線段，那么延長線段的兩個端點與頂點距離相等;
③等腰三角形底邊中線上一點到兩腰的距離相等;
④等腰三角形高上一點到底邊的兩端點距離相等．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．把等腰△ABC沿底邊BC翻折，得到△DBC，那么四邊形ABDC( )
A．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形
C．既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形
D．以上都不正確
3.我們知道等腰三角形是軸對稱圖形，你認為它有____條對稱軸．對于等腰三角形對稱軸的問題，芳芳、麗麗、園園有了不同的看法．
芳芳：“我認為等腰三角形的對稱軸是頂角平分線所在的直線．”
麗麗：“我認為等腰三角形的對稱軸是底邊中線所在的直線．”
園園：“我認為等腰三角形的對稱軸是底邊高線所在的直線．”
你認為她們誰說的對呢？
請說明你的理由______________________________________________
自主總結：
1.等腰三角形是 _____ 圖形
2.等腰三角形 ， ， 重合（也稱 ）它們所在的直線都是三角形的
3.等腰三角形的 相等
五.達標測試
一、選擇題
1.等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是（ ）
A.過頂點的直線 B.底邊上的高
C.頂角平分線所在的直線 D.腰上的高所在的直線
2．下面四個圖形中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A.有一個內(nèi)角為45度的直角三角形 B.有一個內(nèi)角為60度的等腰三角形
C.有一個內(nèi)角為30度的直角三角形 D.兩個內(nèi)角分別為36度和72度的三角形
3．下列字母中：H、F、A、O、M、W、Y、E，軸對稱圖形的個數(shù)是（ ）
A.5 B.4 C.6 D.7
二、填空題
4．等腰三角形的對稱軸是 .　
5．在△ABC中，AB =AC，∠A=80°，則∠B= ．　
6．已知M、N是線段AB的垂直平分線上任意兩點，則∠MAN和∠MBN之間關系是 ．
三、解答題
7.如圖1，在一條河同一岸邊有A和B兩個村莊，要在河邊修建碼頭M，使M到A和B的距離之和最短，試確定M的位置；
8.如圖所示，P和Q為△ABC邊AB與AC上兩點，在BC上求作一點M，使△PQM的周長最小.
9.圓、長方形、正方形都是軸對稱圖形，說出他們分別有幾條對稱軸.
已知等腰三角形的一邊長等于4，一邊長等于9，求它的周長.
答案：
3 簡單的軸對稱圖形
第1課時
一、選擇題
1．答案：C
解析：解答：對稱軸是直線，故B錯；須過底邊中點，故A錯，D錯，綜上，選C.
分析：解決本題關鍵是首先確定對稱軸是直線，其次確定過什么特殊點.
2．答案：C
解析：解答：對于選項A，有一個內(nèi)角為45度的直角三角形，三個內(nèi)角分別是45°、90°、45°，是等腰三角形，是軸對稱圖形；選項B，有一個內(nèi)角為60°的等腰三角形，三個角度數(shù)分別為60°、60°、60°，是等邊三角形，是軸對稱圖形；對于C，有一個內(nèi)角為30度的直角三角形，三個角度數(shù)分別為30°、90°、60°，不是等腰三角形，不是軸對稱圖形；對于D，兩個內(nèi)角分別為36度和72度的三角形，三個角度數(shù)分別為36°、72°、72°，是等腰三角形，是軸對稱圖形；綜上，選C.
分析：解決本題關鍵是判斷是不是等腰三角形，是的就是軸對稱圖形，否則就不是.
3．答案：D
解析：解答：從第一個字母研究，只要能夠找到一條對稱軸，令這個字母沿這條對稱軸折疊后，兩邊的部分能夠互相重合，就是軸對稱圖形，可以得出：字母H、A、O、M、W、Y、E這七個字母，屬于軸對稱圖形，故選D.
分析：本題關鍵是找到一條對稱軸，解決方法是針對每一字母逐一研究，涉及到的知識點較為單一.
二、填空題
4．答案：底邊的垂直平分線
解析：解答：∵對稱軸是直線
∴等腰三角形的對稱軸也是直線
∵等腰三角形有兩條邊相等
∴這兩條邊是軸對稱后能夠重合的兩條線段
∴這兩邊的非公共點是軸對稱點
∴等腰三角形的對稱軸是其底邊的垂直平分線
分析：本題關鍵是把求等腰三角形的對稱軸轉(zhuǎn)化成求線段的對稱軸.
5．答案：50°
解析：解答：∵AB=AC
∴根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，將線段BC對折重合后，點A在折痕上
∴線段AB、AC關于折痕軸對稱
設折痕與BC交點為D
則△ABD、△ACD關于直線AD軸對稱
∴∠B=∠C =(180°－∠A)÷2=（180°－80°)÷2=50°
分析：本題關鍵是利用軸對稱性質(zhì)，得到∠B =∠C，再利用三角形內(nèi)角各可以求得.
6．答案：∠MAN=∠MBN
解析：解答：∵原題當中沒有說明點M、N在線段AB的位置，
∴可能有以下四種情況：
①如圖①，點M、N在線段AB兩側(cè)時
∵M、N是線段AB的垂直平分線上任意兩點
∴點A、B兩點關于直線MN軸對稱
∴線段MA、MB兩點關于直線MN軸對稱
同理線段NA、NB兩點關于直線MN軸對稱
∴△MAN與△MBN關于直線MN軸對稱
∴∠MAN =∠MBN
②如圖①，當點M、N在線段AB同側(cè)時，
按照①中邏輯推理，同樣可以得到∠MAN =∠MBN；
②③如圖③，當點N在線段AB上時，同理可得∠MAN =∠MBN；
④如圖④，當點M在線段AB上時，同理可得∠MAN =∠MBN.
綜上，一定有∠MAN =∠MBN
分析：本題關鍵是考慮到不論點M、N與線段AB的位置如何，求得∠MAN=∠MBN原理相同，這是關鍵點.
三、解答題
7.解答：∵兩點之間線段最短
∴需要能將AM、BM兩邊轉(zhuǎn)化到一條直線上
∴用軸對稱可以辦到
求點M的位置的具體步驟如下：
①作作點A關于直線BC的軸對稱點A’
②連結A’B交BC于點M
②③連結AM
則點M就是所求作的點，能夠使M到A和B的距離之和最短.
解析：分析：本題關鍵是要分析出如何求點M的方法，這是關鍵點.
8.答案：所求點如下圖所示
解答：∵△PQM的三條邊中PQ已經(jīng)確定
∴只需要另外兩邊之和最短
∵兩點之間線段最短
∴需要能將其它兩邊轉(zhuǎn)化到一條直線上
∴用軸對稱可以辦到
求點M的位置的具體步驟如下：
①作作點P關于直線BC的軸對稱點P’
②連結P’Q交BC于點M
②③連結PM
則點M就是所求作的點，能夠使PQM的周長最小.
解析：分析：本題關鍵是要分析出如何求點M的方法，這是關鍵點.
9.答案：無數(shù)條｜2條｜4條
解答：∵對于圓來說，過圓心的任意一條直線，都能夠?qū)⑦@個圓分成能夠互相重合的兩部分
∴過圓心的直線，都是圓的對稱軸
∴圓有無數(shù)條對稱軸
∵對于長方形來說，過其中心平行于邊的直線，都能夠把它分成能夠互相重合的兩部分
∴長方形有2條對稱軸
∵對于正方形來說，屬于長方形的對稱軸，對其也成立；
∴正方形首先有2條對稱軸
又∵正方形的每一條對角線所在的直線，也能夠把這個正方形分成能夠互相重合的兩部分
∴正方形另外還有2條對稱軸
綜上，正方形有4條對稱軸
解析：分析：本題關鍵是要分析出每一種圖形對稱軸的由來，這是關鍵點.
10.答案：22
解答：∵等腰三角形的一邊長等于4，一邊長等于9，
∴等腰三角形的三邊長為4，4，9或4，9，9；
當三邊長為4，4，9時，4+4＜9
不能構成三角形，舍去；
當三邊長為4，9，9時，能夠構成三角形，
此時，周長為4+9+9 =22
答：它的周長是22.
解析：分析：本題關鍵是要考慮到是否能夠構成三角形，這是易錯點.3簡單的軸對稱圖形
第2課時
學習目標
經(jīng)歷探索簡單圖形軸對稱性的過程，進一步體驗軸對稱的特征，發(fā)展空間觀念．探索并了解“三線合一”有關性質(zhì)，應用“三線合一”的性質(zhì)解決一些實際問題．
2.探索并了解線段垂直平分線的有關性質(zhì)，應用線段垂直平分線的性質(zhì)解決一些實際問題．
3.在探究作已知角的平分線的方法和角平分線的性質(zhì)的過程中，發(fā)展幾何直覺。提高綜合運用三角形全等的有關知識解決問題的能力，初步了解角的平分線的性質(zhì)在生活、生產(chǎn)中的應用.
學習策略
1.先精讀一遍教材第121頁到124頁，用紅筆進行勾畫“三線合一”有關性質(zhì), 線段垂直平分線的有關性質(zhì)；再針對課前預習二次閱讀教材，并回答問題.
2.找出自己的疑惑和需要討論的問題，隨時記錄在課本或?qū)W案上，準備課上討論質(zhì)疑.
3.再精讀一遍教材第125頁到126頁，用紅筆進行勾畫角的平分線的方法；再針對課前預習二次閱讀教材，并回答問題.
4.找出自己的疑惑和需要討論的問題，隨時記錄在課本或?qū)W案上，準備課上討論質(zhì)疑.
學習過程
一.復習回顧：
1、什么樣的圖形叫做軸對稱圖形？
答：把一個圖形沿著某條直線對折，如果對折的兩部分是完全重合的，我們就稱這樣的圖形為軸對稱圖形，這條直線叫做這個圖形的對稱軸。
2、下列圖形哪些是軸對稱圖形？
二.新課學習：
1.自學教材P126-129，回答以下問題
（1）線段是對稱圖形嗎？
（2）線段垂直平分線的性質(zhì)？
（3）角平分線的性質(zhì)？
三..嘗試應用：
1．如圖,AB是△ABC的一條邊，DE是AB的垂直平分線，垂足為E，并交BC于點D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____.
2．如圖，在△ABC，PM，QN分別垂直平分AB，AC，則: (1)若BC=10，則△APQ的周長=_____; (2)若∠BAC=100°則∠PAQ=______.
3．如圖，在Rt△ABC中，∠ C= 90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，若DE=5cm，則CD=（ ）
4．如圖，已知點P到BE，BD，AC的距離相等，則下列說法不正確的是（ ）。
A．點P在∠B的角平分線上 B．點P在∠ACE的角平分線上
C．點P在∠DAC的角平分線上 D．點P到A，B，C三點的距離相等
自主總結：
1.線段是 圖形。 的直線是它的一條
2.垂直于一條線段，并且 的直線，叫做這條線段的 （簡稱 ）
3.角是 圖形， 所在的直線是它的
4.角平分線上的點到（ ）
五.達標測試
一、選擇題
1．如圖，點P，Q分別在∠AOB的兩邊OA，OB上，若點N到∠AOB的兩邊距離相等，且PN＝NQ，則點N一定是（ ）．
A．∠AOB的平分線與PQ的交點
B．∠OPQ與∠OQP的角平分線的交點
C．∠AOB的平分線與線段PQ的垂直平分線的交點
D．線段PQ的垂直平分線與∠OPQ的平分線的交點
2．如圖所示的尺規(guī)作圖是作
A．線段的垂直平分線 B．一個半徑為定值的圓
C．一條直線的平行線 D．一個角等于已知角
3．右圖的尺規(guī)作圖是作（ ）
A.線段的垂直平分線 B.一個半徑為定值的圓
C.一條直線的平行線 D.一個角等于已知角
二、填空題
4．如圖，OP是∠MON的角平分線，點A是ON上一點，作線段OA的垂直平分線交OM于點B，過點A作CA⊥ON交OP于點C，連接BC，AB=10cm，CA=4cm．則△OBC的面積為 cm2．
5．概念考察．
（1）公理： 的兩個三角形全等，（簡稱 ，字母表示 ）
（2）公理： 的兩個三角形全等，（簡稱 ，字母表示 ）
（3）公理： 的兩個三角形全等，（簡稱 ，字母表示 ）
（4）判定： 的兩個三角形全等．（字母表示：AAS）
（5）簡述“三線合一”： ．
（6）勾股定理的內(nèi)容是： ．
（7）線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離 ．
（8）角平分線上的點到角兩邊的距離 ．
6．如圖，在中，，，則的一條中線是 ，一條角平分線是 .
三、解答題
7．如圖，a、b分別代表鐵路和公路，點M、N分別代表蔬菜和雜貨批發(fā)市場。現(xiàn)要建中轉(zhuǎn)站O點，使O點到鐵路、公路距離相等，且到兩市場距離相等。請用尺規(guī)畫出O點位置，不寫作法，保留痕跡。
8．如圖，兩個班的學生分別在M、N兩處參加植樹勞動，現(xiàn)要在道路AB、AC的交叉區(qū)域內(nèi)設一個茶水供應點P, 使P到兩條道路的距離相等，且使PM=PN,有一同學說：“只要作一個角平分線、一條線段的垂直平分線，這個茶水供應點的位置就確定了”，你認為這位同學說得對嗎？請說明理由，并通過作圖找出這一點，不寫作法，保留作圖痕跡.
9．如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，垂足為D．若ED=5，求CE的長.
10．已知:如圖,△ABC中,請你按下列要求讀句畫圖: (“作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡并寫出結論)．
⑴用尺規(guī)作圖作∠BAC的角平分線AD交邊BC于D點;
⑵作線段AD的垂直平分線EF,交AD于E點,交BC的延長線于F點；
⑶ 根據(jù) ⑴,⑵作圖, 連結AF, 若∠B=40°,請求出∠CAF的度數(shù).
答案：
3 簡單的軸對稱圖形
第2課時
一、選擇題
1．C．
【解析】
試題分析：根據(jù)角平分線的判定定理：到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，所以本題到∠AOB的兩邊距離相等的點在∠AOB的平分線上；根據(jù)線段垂直平分線的判定定理：到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，所以到點P，Q兩點距離相等的點在線段PQ的垂直平分線上，滿足兩種情況，點N一定是∠AOB的平分線與線段PQ的垂直平分線的交點．故選C．
考點：1．角平分線的判定定理；2．線段垂直平分線的判定定理．
2．A
【解析】解：設這條線段為AB，上邊兩弧的交點為C，下面兩弧的交點為D．
∵AC=BC，
∴點C在AB的垂直平分線上，
同理點D在AB的垂直平分線上，
∴CD垂直平分AB，
∴是線段的垂直平分線，
故選A．
3．A
【解析】
試題分析：根據(jù)與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，可得圖中的由兩弧相交得到的兩個點是這條線段垂直平分線上的點，根據(jù)兩點確定一條直線可得過這兩點的直線是這條線段的垂直平分線．
解：設這條線段為AB，上邊兩弧的交點為C，下面兩弧的交點為D．
∵AC=BC，
∴點C在AB的垂直平分線上，
同理點D在AB的垂直平分線上，
∴CD垂直平分AB，
∴是線段的垂直平分線，
故選A．
點評：用到的知識點為：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；兩點確定一條直線．
二、填空題
4．20
【解析】解：如圖，過點C作CF⊥OM于點F，
∵BE是線段OA的垂直平分線
∴OB=AB=10
∵OP是∠MON的角平分線
∴CF=CA=4
∴△OBC的面積=×OB CF=×10×4=20（cm2）
故填20．
5．（1）兩邊和它們的夾角對應相等，邊角邊，SAS；
（2）三邊對應相等，簡稱：邊邊邊或SSS
（3）兩角和它們的夾邊對應相等，角邊角，ASA
（4）兩角和其中一角的對邊對應相等，角角邊，AAS；
（5）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合；
（6）直角三角形的兩條直角邊長的平方和等于斜邊的平方；
（7）相等；
（8）相等．
【解析】
試題分析：根據(jù)三角形全等的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)即可得出結果．
解：（1）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡稱：邊角邊或SAS；
故答案為：兩邊和它們的夾角對應相等，邊角邊，SAS；
（2）三邊對應相等的兩個三角形全等，邊邊邊，SSS；
故答案為：三邊對應相等，簡稱：邊邊邊或SSS
（3）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡稱：角邊角或ASA；
故答案為：兩角和它們的夾邊對應相等，角邊角，ASA
（4）兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡稱：角角邊或AAS；
故答案為：兩角和其中一角的對邊對應相等，角角邊，AAS；
（5）三線合一：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合；
故答案為：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合；
（6）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊長的平方和等于斜邊的平方；
故答案為：直角三角形的兩條直角邊長的平方和等于斜邊的平方；
（7）線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；
故答案為：相等；
（8）角平分線上的點到角兩邊的距離相等；
故答案為：相等．
點評：此題考查了全等三角形的判定方法、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)；熟記各個判定定理和性質(zhì)定理是解決問題的關鍵．
6．、
【解析】
試題分析：根據(jù)三角形的中線、角平分線的定義即可得到結果.
由題意得的一條中線是，一條角平分線是.
考點：本題考查的是三角形的中線，角平分線
點評：解答本題的關鍵是掌握角的平分線把角分成兩個大小相同的小角，且都等于大角的一半。三角形的中線的概念：連接三角形的頂點和對邊中點的線段叫做三角形的中線．
三、解答題
7．如圖所示：
【解析】
試題分析：連接MN，先畫出a、b兩線所組成的角的平分線，然后再畫出線段MN的中垂線．這兩條直線的交點即為所求．
①以A為圓心，以任意長為半徑畫圓，分別交鐵路a和公路b于點B、C；
②分別以B、C為圓心，以大于BC為半徑畫圓，兩圓相交于點D，連接AD，則直線AD即為∠BAC的平分線；
③連接MN，分別以M、N為圓心，以大于MN為半徑畫圓，兩圓相交于E、F，連接EF，則直線EF即為線段MN的垂直平分線；
④直線EF與直線AD相交于點O，則點O即為所求點．
考點：本題主要考查了線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì)
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的到線段兩端的距離相等；角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
8．答：這位同學說的對，理由如下：
因為角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等，而線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等，所以只要作出∠BAC的平分線，再作出線段MN的垂直平分線，兩條直線的交點P就是茶水供應點的位置．
【解析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等，線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等，作出∠BAC的平分線與線段MN的垂直平分線，交點就是點P所在的位置．
9．10
【解析】
試題分析：根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出BE=CE，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出BE的長，即可求出CE長．
：∵DE是線段BC的垂直平分線，
∴BE=CE，∠BDE=90°，
∵∠B=30°，
∴BE=2DE=2×5=10，
∴CE=BE=10．
考點：本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)的應用
點評：解答本題的關鍵是得到BE=CE和求出BE長，題目比較典型。
10．⑴ 圖略⑵ 圖略⑶40°
【解析】⑴ 圖略
⑵ 圖略
⑶ ∵EF是AD的垂直平分線
∴FA=FD （垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）
∴∠FAD=∠FDA （等邊對等角）
即 ∠1＋∠2＝∠3
∵∠3＝∠B＋∠4
∵AD平分∠BAC
∴∠1＝∠4
∴∠1＋∠2＝∠B＋∠4
∴∠2＝∠B＝40°
（1）用尺規(guī)作角平分線（見數(shù)學課本）
（2）用尺規(guī)作線段的垂直平分線（見數(shù)學課本）
（3）垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等、等邊對等角與角平分線性質(zhì)的相結合

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