資源簡介

8.3.1分類變量與列聯(lián)表+8.3.2獨立性檢驗
第三練 能力提升拔高
【試題來源】來自各地期中期末的聯(lián)考試題，進(jìn)行整理和改編；
【試題難度】本次訓(xùn)練試題難度較大，適合學(xué)完第三課后，起到提升解題能力和素養(yǎng)的目的．
【目標(biāo)分析】
1．獨立性檢驗的應(yīng)用．如第1，2題．
2．與獨立性檢驗有關(guān)的綜合問題．如第12，13題．
一、單選題
（22-23高二下·河南南陽·階段練習(xí)）
1．在一次獨立性檢驗中，得出2×2列聯(lián)表如下：
A 合計
B 200 800 1000
180 a 180+a
合計 380 800+a 1180+a
且最后發(fā)現(xiàn)，兩個分類變量A和B沒有任何關(guān)系，則a的可能值是（ ）
A．200 B．720 C．100 D．180
（23-24高三上·四川成都·期末）
2．在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動物實驗.現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進(jìn)行實驗，得到如下列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合計
注射疫苗 10 50
未注射疫苗 30 50
合計 30 100
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
計算可知，根據(jù)小概率值______的獨立性檢驗，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果” （ ）
附：，.
A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005
（23-24高二下·河南南陽·階段練習(xí)）
3．某高校團(tuán)委對學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生、女生人數(shù)均為，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的．若有的把握認(rèn)為喜歡短視頻和性別相關(guān)聯(lián)，則的最小值為（ ）（附
A．18 B．20 C．22 D．24
（23-24高二上·全國·單元測試）
4．某校團(tuán)委對“喜歡吃水果和學(xué)生性別是否有關(guān)”進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡吃水果的人數(shù)占被調(diào)查的男生人數(shù)的，女生喜歡吃水果的人數(shù)占被調(diào)查的女生人數(shù)的，若有99%的把握認(rèn)為喜歡吃水果和學(xué)生性別有關(guān)，則被調(diào)查的男生至少有（ ）
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．12人 B．18人
C．24人 D．30人
（22-23高二下·江蘇·課后作業(yè)）
5．有甲、乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀，得到列聯(lián)表如下：
優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計
甲班
乙班
總計 105
已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是(　　)
A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35
B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50
C．列聯(lián)表中c的值為20，b的值為50
D．由列聯(lián)表可看出成績與班級有關(guān)系
（22-23高二下·江蘇·單元測試）
6．在2×2列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)變?yōu)樵瓉淼?倍，則的值變?yōu)樵瓉淼谋稊?shù)為（ ）
A．8倍 B．4倍
C．2倍 D．不變
二、多選題
（22-23高二下·江蘇·課時練習(xí)）
7．有兩個分類變量x，y，其2×2列聯(lián)表如下所示：
y1 y2 合計
x1 a 20－a 20
x2 15－a 30＋a 45
合計 15 50 65
其中a，15－a均為大于5的整數(shù)，現(xiàn)有95%的把握認(rèn)為x，y有關(guān)，則a的值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
（2024·廣東湛江·一模）
8．某養(yǎng)老院有110名老人，經(jīng)過一年的跟蹤調(diào)查，過去的一年中他們是否患過某流行疾病和性別的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
性別 是否患過某流行疾病 合計
患過該疾病 未患過該疾病
男 b
女 c
合計 80 110
下列說法正確的有（ ）
參考公式：，其中．
附表：
0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．
B．
C．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認(rèn)為是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)
D．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分的證據(jù)推斷是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)
（2024·湖北·一模）
9．某校為了解高一新生對數(shù)學(xué)是否感興趣，從400名女生和600名男生中通過分層抽樣的方式隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，將調(diào)查的結(jié)果得到如下等高堆積條形圖和列聯(lián)表，則（ ）
性別 數(shù)學(xué)興趣 合計
感興趣 不感興趣
女生
男生
合計 100
參考數(shù)據(jù)：本題中
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．表中
B．可以估計該校高一新生中對數(shù)學(xué)不感興趣的女生人數(shù)比男生多
C．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認(rèn)為性別與對數(shù)學(xué)的興趣有差異
D．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認(rèn)為性別與對數(shù)學(xué)的興趣沒有差異
三、填空題
（22-23高二·全國·課時練習(xí)）
10．在一次獨立性檢驗中，得出2×2列聯(lián)表如下：
總計
200 800 1000
180 m
總計 380
最后發(fā)現(xiàn)，兩個分類變量x和y沒有任何關(guān)系，則m的可能值是 ．
（22-23高三·全國·課后作業(yè)）
11．某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲的人數(shù)占女生人數(shù)的.若根據(jù)獨立性檢驗認(rèn)為喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲和性別有關(guān)，且此推斷犯錯誤的概率超過0.01但不超過0.05，則被調(diào)查的學(xué)生中男生可能有 人.（請將所有可能的結(jié)果都填在橫線上）
附表：，其中.
0.050 0.010
3.841 6.635
四、解答題
（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）
12．近日，歐冠拉開帷幕，引得無數(shù)球迷的紛紛關(guān)注，成了體育競技賽事的又一熱點，為此某中學(xué)組織人員對在校學(xué)生“是否熱愛踢足球”做了一次隨機(jī)調(diào)查．共隨機(jī)調(diào)查了18名男生和12名女生，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女生中分別有12人和6人喜愛該項運動，其余不喜愛.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下列聯(lián)表．
喜歡踢足球 不喜歡踢足球 合計
男
女
合計
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析性別與喜歡踢足球是否有關(guān)
(2)從被調(diào)查的女生中隨機(jī)抽取3人，若其中喜愛踢足球的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（2024·四川遂寧·二模）
13．某校在課外活動期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動和體育鍛煉類活動，為了解學(xué)生對這兩類活動的參與情況，統(tǒng)計了如下數(shù)據(jù)：
文化藝術(shù)類 體育鍛煉類 合計
男 100 300 400
女 50 100 150
合計 150 400 550
(1)通過計算判斷，有沒有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動的類別與性別有關(guān)系？
(2)“投壺”是中國古代宴飲時做的一種投擲游戲，也是一種禮儀．該校文化藝術(shù)類課外活動中，設(shè)置了一項“投壺”活動．已知甲、乙兩人參加投壺活動，投中1只得1分，未投中不得分，據(jù)以往數(shù)據(jù)，甲每只投中的概率為，乙每只投中的概率為，若甲、乙兩人各投2只，記兩人所得分?jǐn)?shù)之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
其中，．
【易錯題目】第題、第題
【復(fù)盤要點】獨立性檢驗與其它知識的綜合應(yīng)用
【典例】（23-24高二下·江西吉安·階段練習(xí)）某校對學(xué)生餐廳的就餐環(huán)境 菜品種類與質(zhì)量等方面進(jìn)行了改造與提升，隨機(jī)抽取100名男生與100名女生對就餐滿意度進(jìn)行問卷評分（滿分100分）調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下表：男生：
評分分組 70分以下
人數(shù) 3 27 38 32
女生：
評分分組 70分以下
頻數(shù) 5 35 34 26
學(xué)校規(guī)定：評分大于或等于80分為滿意，小于80分為不滿意．
（1）由以上數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的就餐滿意度與性別有關(guān)聯(lián)？
滿意 不滿意 總計
男生
女生
總計
（2）從男生、女生中評分在70分以下的學(xué)生中任意選取3人座談?wù){(diào)研，記為3人中男生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）列聯(lián)表見詳解；沒有的把握認(rèn)為學(xué)生的就餐滿意度與性別有關(guān)聯(lián)
（2）
【分析】（1）先根據(jù)統(tǒng)計表完成列聯(lián)表，再根據(jù)獨立性檢驗公式算出卡法，判定是否獨立；
（2）根據(jù)題意可得男生的評分在70分以下的有3人，女生的評分在70分以下的有5人，則抽取的男生人數(shù)為服從超幾何分布，再根據(jù)公式算出分布列及期望即可．
【詳解】（1）依統(tǒng)計表可得列聯(lián)表如下：
滿意 不滿意 總計
男生 70 30 100
女生 60 40 100
總計 130 70 200
則，
故沒有的把握認(rèn)為學(xué)生的就餐滿意度與性別有關(guān)聯(lián)．
（2）男生的評分在70分以下的有3人，女生的評分在70分以下的有5人，則為0，1，2，3．
則，，，，
所以的分布列為
0 1 2 3
P
故
【易錯警示】
1．關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表
X Y 合計
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合計 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
記n＝a＋b＋c＋d，則隨機(jī)變量χ2＝．
2．超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：
①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布．
【復(fù)盤要點】
（23-24高三下·四川綿陽·階段練習(xí)）
14．乒乓球，被稱為中國的“國球”．某中學(xué)對學(xué)生參加乒乓球運動的情況進(jìn)行調(diào)查，將每周參加乒乓球運動超過2小時的學(xué)生稱為“乒乓球愛好者”，否則稱為“非乒乓球愛好者”，從調(diào)查結(jié)果中隨機(jī)抽取100份進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如表所示：
乒乓球愛好者 非乒乓球愛好者 總計
男 40 56
女 24
總計 100
(1)補(bǔ)全列聯(lián)表，并判斷我們能否有的把握認(rèn)為是否為“乒乓球愛好者”與性別有關(guān)？
(2)為了解學(xué)生的乒乓球運動水平，現(xiàn)從抽取的“乒乓球愛好者”學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法抽取3人，與體育老師進(jìn)行乒乓球比賽，其中男乒乓球愛好者獲勝的概率為，女乒乓球愛好者獲勝的概率為，每次比賽結(jié)果相互獨立，記這3人獲勝的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
0.05 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
參考公式：．
（2024·吉林·模擬預(yù)測）
15．短視頻已成為當(dāng)下宣傳的重要手段，東北某著名景點利用短視頻宣傳增加旅游熱度，為調(diào)查某天南北方游客來此景點旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點對當(dāng)天前來旅游的500名游客調(diào)查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來的280名游客中南方游客有200人.
(1)依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析南北方游客來此景點旅游是否與收看短視潁有關(guān)聯(lián)：單位：人
游客 短視頻 合計
收看 未看
南方游客
北方游客
合計
(2)為了增加游客的旅游樂趣，該景點設(shè)置一款5人傳球游戲，每個人得到球后都等可能地傳給其余4人之一，現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.
（i）求經(jīng)過次傳遞后球回到甲的概率；
（ii）記前次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，其中；
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（23-24高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）
16．時下流行的直播帶貨與主播的學(xué)歷層次有某些相關(guān)性，某調(diào)查小組就兩者的關(guān)系進(jìn)行調(diào)查，從網(wǎng)紅的直播中得到容量為200的樣本，將所得直播帶貨和主播的學(xué)歷層次的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：
主播的學(xué)歷層次 直播帶貨評級 合計
優(yōu)秀 良好
本科及以上 60 40 100
專科及以下 30 70 100
合計 90 110 200
(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析直播帶貨的評級與主播學(xué)歷層次是否有關(guān)？
(2)現(xiàn)從主播學(xué)歷層次為本科及以上的樣本中，按分層抽樣的方法選出5人組成一個小組，從抽取的5人中再抽取3人參加主播培訓(xùn)，求這3人中，主播帶貨優(yōu)秀的人數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望；
(3)統(tǒng)計學(xué)中常用表示在事件條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢，稱為似然比，當(dāng)時，我們認(rèn)為事件條件下發(fā)生有優(yōu)勢．現(xiàn)從這200人中任選1人，表示“選到的主播帶貨良好”，表示“選到的主播學(xué)歷層次為專科及以下”，請利用樣本數(shù)據(jù)，估計的值，并判斷事件條件下發(fā)生是否有優(yōu)勢．
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（2024·寧夏固原·一模）
17．2023年9月23日至10月8日，第19屆亞洲運動會在中國杭州舉行，這是我國繼北京、廣州亞運會后第三次舉辦亞運會，浙江某市一調(diào)研機(jī)構(gòu)為了解本市市民對“亞運會”相關(guān)知識的認(rèn)知程度，舉辦了一次“亞運會”網(wǎng)絡(luò)知識競賽，滿分100分，并規(guī)定成績不低于80分的市民獲得優(yōu)秀獎，成績不低于70分的市民則認(rèn)為成績達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從參加了競賽的男、女市民中各抽取了100名市民的競賽成績作為樣本進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，對男市民的競賽成績進(jìn)行統(tǒng)計后，得到如下圖所示的成績頻率分布直方圖．
(1)試分別估計男市民成績達(dá)標(biāo)以及獲得優(yōu)秀獎的概率；
(2)已知樣本中女市民獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)占比為5%，則是否有99.9%的把握認(rèn)為該市市民在這次知識競賽中獲得優(yōu)秀獎與性別有關(guān)？
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（23-24高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）
18．產(chǎn)品質(zhì)量是企業(yè)的生命線，為提高產(chǎn)品質(zhì)量.企業(yè)非常重視產(chǎn)品生產(chǎn)線的質(zhì)量，某企業(yè)引進(jìn)了生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的A，B兩條生產(chǎn)線，為比較兩條生產(chǎn)線的質(zhì)量，從A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各自隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，把產(chǎn)品等級結(jié)果和頻數(shù)制成了如圖的統(tǒng)計圖.
(1)請完成列聯(lián)表：并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析一級品率是否與生產(chǎn)線有關(guān)？
一級品 非一級品 合計
A生產(chǎn)線
B生產(chǎn)線
合計
(2)生產(chǎn)一件一級品可盈利100元，生產(chǎn)一件二級品可盈利50元，生產(chǎn)一件三級品則虧損20元，以頻率估計概率.
①分別估計A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤；
②你認(rèn)為哪條生產(chǎn)線的利潤較為穩(wěn)定？并說明理由.
附：①參考公式：，其中.
②臨界表值：
0.10 0.02 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.897 10.828
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】把列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)代入求的公式，建立不等式，代入驗證可知a的可能值.
【詳解】兩個分類變量A和B沒有任何關(guān)系，
，
代入選項驗證可知滿足條件.
故選：B
2．B
【分析】計算卡方，再根據(jù)獨立性檢驗的概念判斷即可.
【詳解】完善列聯(lián)表如下：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合計
注射疫苗 10 40 50
未注射疫苗 20 30 50
合計 30 70 100
假設(shè)：“給基因編輯小鼠注射該疫苗不能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.
因為：，而，
所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立.
即認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.
故選：B
3．B
【分析】由已知數(shù)據(jù)計算，根據(jù)獨立性檢驗的結(jié)論，列不等式求的m取值范圍得最小值.
【詳解】根據(jù)題意，寫出列聯(lián)表如下：
喜歡 不喜歡 合計
男 3m 3m 6m
女 4m 2m 6m
合計 7m 5m 12m
則．
因為有的把握認(rèn)為喜歡短視頻和性別相關(guān)聯(lián)，
所以，解得，所以的最小值為20
故選：B
4．B
【分析】設(shè)被調(diào)查的男生人數(shù)為x，根據(jù)題意可得列聯(lián)表，進(jìn)而可得，運算求解即可.
【詳解】設(shè)被調(diào)查的男生人數(shù)為x，被調(diào)查的女生人數(shù)為，則得到2×2列聯(lián)表如下：
喜歡吃水果情況 總計
喜歡 不喜歡
學(xué)生 性別 男生
女生
總計
則，解得，
又因為男、女人數(shù)為整數(shù)，所以被調(diào)查的男生至少有18人.
故選：B.
5．D
【分析】根據(jù)成績優(yōu)秀的概率求得，進(jìn)而求得，結(jié)合比例判斷出正確答案.
【詳解】依題意，解得，由解得.
補(bǔ)全列聯(lián)表如下：
優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計
甲班
乙班
總計 105
甲班的優(yōu)秀率為，乙班的優(yōu)秀率為，
，所以成績與班級有關(guān).所以D選項正確，ABC選項錯誤.
故選：D
6．C
【分析】根據(jù)公式分析判斷即可
【詳解】由公式中所有值變?yōu)樵瓉淼?倍，
得
故也變?yōu)樵瓉淼?倍．
故選：C．
7．CD
【分析】先求得的值，再根據(jù)有95%的把握認(rèn)為x，y有關(guān)建立不等式求解.
【詳解】解：由題意可知，
＝，
又因為a>5且15－a>5，a∈Z，
所以當(dāng)a＝8或9時滿足題意．
故選：CD
8．ABC
【分析】利用表格中提供數(shù)據(jù)可判斷A正確，代入計算可判斷B正確，結(jié)合附表參考數(shù)據(jù)可得C正確，D錯誤.
【詳解】根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得；
對于A，代入計算可得，正確；
對于B，經(jīng)計算可得，可得B正確；
對于CD，結(jié)合附表數(shù)值以及獨立性檢驗的實際意義，可認(rèn)為根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認(rèn)為是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)，即C正確，D錯誤；
故選：ABC
9．ACD
【分析】根據(jù)分層抽樣的定義及等高條形圖的特點即可得出的列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算觀測值，再跟臨界值進(jìn)行比較即可求解.
【詳解】由題可知，抽取男生人數(shù)為人，女生抽取的人數(shù)人，
由等高條形圖知，抽取男生感興趣的人數(shù)為人，抽取男生不感興趣的人數(shù)為人，
抽取女生感興趣的人數(shù)為人，抽取女生不感興趣的人數(shù)為人，
的列聯(lián)表如下
性別 數(shù)學(xué)興趣 合計
感興趣 不感興趣
女生
男生
合計 100
由此表可知，，故A正確；
女生不感興趣的人數(shù)約為人，男生不感興趣的人數(shù)約為人，
所以估計該校高一新生中對數(shù)學(xué)不感興趣的女生人數(shù)比男生少，故B 錯誤；
零假設(shè)為：性別與對數(shù)學(xué)的興趣沒有差異
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)為不成立，即可以認(rèn)為性別與對數(shù)學(xué)的興趣有差異；故C正確；
零假設(shè)為：性別與對數(shù)學(xué)的興趣沒有差異
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)為成立，即可以認(rèn)為性別與對數(shù)學(xué)的興趣沒有差異；故D正確．
故選：ACD.
10．720
【分析】根據(jù)題意可推出，解出即可得到.
【詳解】由題意知，兩個分類變量x和y沒有任何關(guān)系，則應(yīng)有，
即，即，解得.
故答案為：.
11．45，50，55，60，65
【分析】利用獨立性檢驗表達(dá)列聯(lián)表及觀測值可解得答案.
【詳解】設(shè)男生有x人，由題意可得列聯(lián)表如下，
喜歡 不喜歡 合計
男生 x
女生 x
合計
若認(rèn)為喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲和性別有關(guān)，且該推斷犯錯誤的概率超過0.01但不超過0.05，
則.
∵，
∴，解得，
又x為5的整數(shù)倍，∴被調(diào)查的學(xué)生中男生可能人數(shù)為45，50，55，60，65.
故答案為：45，50，55，60，65.
12．(1)列聯(lián)表見解析，
(2)分布列見解析，
【分析】（1）由題意可列出列聯(lián)表，計算出卡方后與比較即可得；
（2）的可能取值為、、、，借助超幾何分布的概率公式計算即可得其分布列，即可得其期望.
【詳解】（1）列聯(lián)表如下：
喜歡踢足球 不喜歡踢足球 合計
男 12 6 18
女 6 6 12
合計 18 12 30
零假設(shè)為：性別與喜歡踢足球無關(guān)，
，
故依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可得性別與喜歡踢足球無關(guān)；
（2）的可能取值為、、、，
則，，
，，
故其分布列為：
其期望為：.
13．(1)有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動的類別與性別有關(guān)，
(2)分布列見解析，期望為
【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算卡方，即可求解，
（2）根據(jù)獨立事件的概率乘法公式即可求解概率，進(jìn)而可求解分布列以及期望.
【詳解】（1）零假設(shè)沒有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動的類別與性別有關(guān)，
，
故有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動的類別與性別有關(guān)，
（2）的可能取值為，
,
，
，
，
，
故的分布列為：
0 1 2 3 4
數(shù)學(xué)期望
14．(1)列聯(lián)表見解析；有
(2)分布列見解析；期望為
【分析】（1）列出列聯(lián)表，求出并與比較即可；
（2）分別求抽取的3人中男生和女生的人數(shù)，寫出的可能取值，求出概率，求出期望.
【詳解】（1）依題意可得列聯(lián)表如下：
乒乓球愛好者 非乒乓球愛好者 總計
男 40 16 56
女 20 24 44
總計 60 40 100
，
我們有的把握認(rèn)為是否為“乒乓球愛好者”與性別有關(guān)；
（2）由（1）得抽取的3人中人為男生，人為女生，
則的可能取值為、、、，
所以，，
，，
所以的分布列為：
0 1 2 3
所以．
15．(1)列聯(lián)表見解析，無關(guān)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）利用已知條件，完成列聯(lián)表，利用獨立性檢驗公式求解判斷即可；
（2）（i）設(shè)經(jīng)過次傳遞后回到甲的概率為，求出關(guān)系式，得到通項公式；（ii）方法一：設(shè)第次傳遞時甲接到球的次數(shù)為，則服從兩點分布，，設(shè)前次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為，利用公式求期望即可.方法二：設(shè)第次傳遞時，乙接到球的概率和次數(shù)分別為與，則服從兩點分布，，利用公式求期望即可.
【詳解】（1）將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下列聯(lián)表：
游客 短視頻 合計
收看 未看
南方游客 200 100 300
北方游客 80 120 200
合計 280 220 500
零假設(shè)：南北方游客來此景點旅游與短視頻無關(guān)聯(lián)．
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即認(rèn)為南北方游客來此景點旅游與收看短視頻有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001
（2）（i）設(shè)經(jīng)過次傳遞后回到甲的概率為，
，，
又，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以.
（ii）（方法一）
設(shè)第次傳遞時甲接到球的次數(shù)為，則服從兩點分布，，
設(shè)前次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為，
，
因為，所以.
（方法二）
設(shè)第次傳遞時，乙接到球的概率和次數(shù)分別為與，則服從兩點分布，
，由題可知，，
又，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
，，
，
故.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第2問（ii）的解決關(guān)鍵是，根據(jù)題意得到的關(guān)系，利用構(gòu)造法分析出是首項為，公比為的等比數(shù)列，由此得解.
16．(1)有；
(2)分布列見解析，；
(3)，在事件條件下發(fā)生有優(yōu)勢
【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表計算卡方，與臨界值比較即可求解，
（2）根據(jù)分層抽樣得帶貨優(yōu)秀的有3人，直播帶貨良好的有2人，即可利用超幾何分布的概率公式求解概率，由期望公式求解即可，
（3）根據(jù)所給的公式，結(jié)合條件概率公式可得，結(jié)合表中數(shù)據(jù)即可求解.
【詳解】（1）由題意得，
由于，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，
可以認(rèn)為直播帶貨的評級與主播的學(xué)歷層次有關(guān)聯(lián)；
（2）按照分層抽樣，直播帶貨優(yōu)秀的有3人，直播帶貨良好的有2人，
隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，
，，
，
所以的分布列為：
1 2 3
所以數(shù)學(xué)期望；
（3），
因為，所以認(rèn)為在事件條件下發(fā)生有優(yōu)勢．
17．(1)
(2)有99.9%的把握認(rèn)為該市市民在這次知識競賽中獲得優(yōu)秀獎與性別有關(guān).
【分析】（1）由頻率分布直方圖計算頻率的公式分別計算即可得解；
（2）根據(jù)條件列出列聯(lián)表，由的計算公式計算可判斷結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)取得的成績?yōu)椋?br/>男市民成績打標(biāo)的概率為，
男市民獲得優(yōu)秀獎的概率為：.
（2）因為女市民獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)占比為5%，所以女市民優(yōu)秀人數(shù)為：人，男市民優(yōu)秀人數(shù)為人，
列聯(lián)表如圖：
分類 優(yōu)秀 不優(yōu)秀 總計
女市民 5 95 100
男市民 25 75 100
總計 30 170 200
，
所以有99.9%的把握認(rèn)為該市市民在這次知識競賽中獲得優(yōu)秀獎與性別有關(guān).
18．(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān)聯(lián)
(2)①46元、50元；②A生產(chǎn)線的利潤更為穩(wěn)定，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題中頻數(shù)圖完成列聯(lián)表，作出零假設(shè)，由卡方計算公式計算卡方并比較臨界值即可得出結(jié)論；
（2）①記A、B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為X，Y，根據(jù)頻數(shù)圖計算相應(yīng)的概率，從而分別得到相應(yīng)的分布列，由均值計算公式即可分別計算兩個隨機(jī)變量的均值，②由方差計算公式分別計算兩個隨機(jī)變量的方差，并比較大小即可說明其含義.
【詳解】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)可建立列聯(lián)表如下：
一級品 非一級品 合計
A生產(chǎn)線 20 80 100
B生產(chǎn)線 35 65 100
合計 55 145 200
零假設(shè)為：一級品率與生產(chǎn)線無關(guān)聯(lián).
計算得：，
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即認(rèn)為一級品率與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤概率不大于0.05.
（2）A生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品為一、二、三級品的概率分別為，，.
記A生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為X，則X的取值為100，50，，
其分布列為
X 100 50
P
B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品為一、二、三級品的概率分別為，，.
記B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為Y，則Y的取值為100，50，，
其分布列為
Y 100 50
P
①；
.
故A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤分別為46元、50元.
②；
.
因為，所以A生產(chǎn)線的利潤更為穩(wěn)定.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁8.3.1分類變量與列聯(lián)表+8.3.2獨立性檢驗
第三課 知識擴(kuò)展延伸
擴(kuò)展1：獨立性檢驗的綜合應(yīng)用
（2024·黑龍江吉林·二模）
例1．恰逢盛世，風(fēng)調(diào)雨順.某稻米產(chǎn)地今秋獲得大豐收，為促進(jìn)當(dāng)?shù)啬称放拼竺卒N售，甲、乙兩位駐村干部通過直播宣傳銷售所駐村生產(chǎn)的該品牌大米.通過在某時段100名顧客在觀看直播后選擇在甲、乙兩位駐村干部的直播間（下簡稱甲直播間、乙直播間）購買的情況進(jìn)行調(diào)查（假定每人只在一個直播間購買大米），得到以下數(shù)據(jù)：
網(wǎng)民類型 在直播間購買大米的情況 合計
在甲直播間購買 在乙直播間購買
本地區(qū)網(wǎng)民 50 5 55
外地區(qū)網(wǎng)民 30 15 45
合計 80 20 100
（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買大米與網(wǎng)民所處地區(qū)有關(guān)；
（2）用樣本分布的頻率分布估計總體分布的概率，若共有名網(wǎng)民在甲、乙直播間購買大米，且網(wǎng)民選擇在甲、乙兩個直播間購買大米互不影響，記其中在甲直播間購買大米的網(wǎng)民數(shù)為X，求使事件“”的概率取最大值時k的值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）能認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買大米與網(wǎng)民所處地區(qū)有關(guān)
（2）
【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表信息，計算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)二項分布求出在甲直播間購買大米的網(wǎng)民人數(shù)為的概率，利用作商法判斷概率的大小即可得解.
【詳解】（1）提出零假設(shè)：網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買大米與網(wǎng)民所處地區(qū)沒有關(guān)聯(lián)，
經(jīng)計算得，
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買大米與網(wǎng)民所處地區(qū)有關(guān)聯(lián).
（2）利用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，
可知網(wǎng)民選擇在甲直播間購買夏橙的概率為，
則，記，，
則，
則問題等價于求當(dāng)取何值時取最大值，
因為，，
又，
所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以，
，
所以當(dāng)時，取最大值，
即使事件“”的概率取最大值的的值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第2小問解決的關(guān)鍵是，借助參數(shù)，，簡化了計算，從而得解.
【方法總結(jié)】獨立性檢驗
基于小概率值α的檢驗規(guī)則是：
當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；
當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立 ，可以認(rèn)為X和Y獨立.
下表給出了χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【舉一反三1-1】
（2024·陜西咸陽·二模）
1．陜西省從2022年秋季啟動新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”為全國統(tǒng)一高考科目的語文、數(shù)學(xué)、外語，“1”為首選科目．要求從物理、歷史2門科目中確定1門，“2”為再選科目，要求從思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)4門科目中確定2門，共計產(chǎn)生12種組合．某班有學(xué)生50名，在選科時，首選科目選歷史和物理的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：
歷史 物理 合計
男生 1 24 25
女生 9 16 25
合計 10 40 50
附：，其中．
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)生選擇歷史與性別有關(guān)；
(2)從選擇物理類的40名學(xué)生中按照分層抽樣，任意抽取5名同學(xué)成立學(xué)習(xí)小組，該小組設(shè)正、副組長各一名，求正、副組長中至少有一名女同學(xué)的概率.
【舉一反三1-2】
（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）
2．環(huán)境監(jiān)測部門為調(diào)研汽車流量對空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測點統(tǒng)計每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：）． 調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于的散點圖，并用直線與將散點圖分成如圖所示的四個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對應(yīng)區(qū)域的樣本點的個數(shù)依次為6，20，16，8．
(1)完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認(rèn)為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關(guān)；
汽車日流量 汽車日流量 合計
的平均濃度
的平均濃度
合計
(2)經(jīng)計算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標(biāo)準(zhǔn)差，的平均濃度的標(biāo)準(zhǔn)差．
①求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價值；
②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到0.1）
參考公式：，其中．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
回歸方程，其中．
相關(guān)系數(shù)． 若，則認(rèn)為與有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．
（湖南·高考真題）
3．通過隨機(jī)詢問110名不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：
男 女 總計
愛好 40 20 60
不愛好 20 30 50
總計 60 50 110
由
附表：
0．050 0．010 0．001
3．841 6．635 10．828
參照附表，得到的正確結(jié)論是（ ）
A．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
C．在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
D．在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
（江西·高考真題）
4．某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查了52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是（　　）
表1
成績性別 不及格 及格 總計
男 6 14 20
女 10 22 32
總計 16 36 52
表2
視力性別 好 差 總計
男 4 16 20
女 12 20 32
總計 16 36 52
表3
智商性別 偏高 正常 總計
男 8 12 20
女 8 24 32
總計 16 36 52
表4
閱讀量性別 豐富 不豐富 總計
男 14 6 20
女 2 30 32
總計 16 36 52
A．成績 B．視力 C．智商 D．閱讀量
（2023·全國·高考真題）
5．一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗結(jié)果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)計算試驗組的樣本平均數(shù)；
(2)（ⅰ）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表
對照組
試驗組
（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？
附：，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
（2022·全國·高考真題）
6．甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：
準(zhǔn)點班次數(shù) 未準(zhǔn)點班次數(shù)
A 240 20
B 210 30
(1)根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點的概率；
(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與客車所屬公司有關(guān)？
附：，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
（2022·全國·高考真題）
7．一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：
不夠良好 良好
病例組 40 60
對照組 10 90
(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
（2021·全國·高考真題）
8．甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：
一級品 二級品 合計
甲機(jī)床 150 50 200
乙機(jī)床 120 80 200
合計 270 130 400
（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少
（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
（海南·高考真題）
9．為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：

32 18 4
6 8 12
3 7 10
（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（山東·高考真題）
10．為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：
（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：
（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？
附：，
（全國·高考真題）
11．某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：
鍛煉人次空氣質(zhì)量等級 [0，200] (200，400] (400，600]
1（優(yōu)） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（輕度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？
人次≤400 人次>400
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
附：，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
（全國·高考真題）
12．某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：
滿意 不滿意
男顧客 40 10
女顧客 30 20
（1）分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；
（2）能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？
附：．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)有
(2)
【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算的值，與比較可得結(jié)果；
（2）問題轉(zhuǎn)化成古典概型，利用古典概型的概率計算公式計算可得.
【詳解】（1）將表中的數(shù)據(jù)帶入，得到
．
所以有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)生選擇歷史與性別有關(guān)．
（2）由題意知，抽取的5名同學(xué)中，男生有3名，設(shè)為A，B，C，女生2名，設(shè)為D，E，
從這5名同學(xué)中選取2名同學(xué)擔(dān)任正副組長，所有的可能情況有：
，，，，，，，，，，共計10種基本情況，且每種情況的發(fā)生是等可能的，
其中至少有一名女生的情況有，，，，，，，共計有7種情況，
所以（至少有一名女生）．
2．(1)列聯(lián)表見解析，至少有的把握；
(2)① 0.84，有價值；②
【分析】（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表，再計算，結(jié)合表格即可求得結(jié)果.
（2）代入公式計算可判斷與的相關(guān)性強(qiáng)弱，由可得，結(jié)合回歸直線必過樣本中心可求得的值.
【詳解】（1）列聯(lián)表如下：
汽車日流量 汽車日流量 合計
的平均濃度 16 8 24
的平均濃度 6 20 26
合計 22 28 50
零假設(shè)：“PM2.5平均濃度不小于100μg/m3”與“汽車日流量不小于1500輛”無關(guān)，
因為，
所以至少有的把握（但還不能有的把握）認(rèn)為“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛有關(guān)”．
（2）①因為回歸方程為，所以，
又因為，，
所以．
與有較強(qiáng)的相關(guān)性，該回歸方程有價值．
②，解得
而樣本中心點位于回歸直線上，
因此可推算.
3．A
【詳解】由，而，故由獨立性檢驗的意義可知選A
4．D
【分析】根據(jù)公式分別計算得觀察值，比較大小即可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)公式分別計算得：A.;
;
;
選項D的值最大，所以與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大,故選D.
【點睛】本題主要考查獨立性檢驗的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的能力，屬于中檔題.
5．(1)
(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能
【分析】（1）直接根據(jù)均值定義求解；
（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；
（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進(jìn)行檢驗，即可得解.
【詳解】（1）試驗組樣本平均數(shù)為：
（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，
故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，
所以，
故列聯(lián)表為：
合計
對照組 6 14 20
試驗組 14 6 20
合計 20 20 40
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.
6．(1)A，B兩家公司長途客車準(zhǔn)點的概率分別為，
(2)有
【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計算，再利用臨界值表比較即可得結(jié)論.
【詳解】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點班次有240次，
設(shè)A家公司長途客車準(zhǔn)點事件為M，
則；
B共有班次240次，準(zhǔn)點班次有210次，
設(shè)B家公司長途客車準(zhǔn)點事件為N，
則.
A家公司長途客車準(zhǔn)點的概率為；
B家公司長途客車準(zhǔn)點的概率為.
（2）列聯(lián)表
準(zhǔn)點班次數(shù) 未準(zhǔn)點班次數(shù) 合計
A 240 20 260
B 210 30 240
合計 450 50 500
=，
根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與客車所屬公司有關(guān).
7．(1)答案見解析
(2)（i）證明見解析；(ii)；
【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i) 根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.
【詳解】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.
（2）(i)因為，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
8．（1）75%；60%；
（2）能.
【分析】根據(jù)給出公式計算即可
【詳解】（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為,
乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為.
（2）,
故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
9．（1）；（2）答案見解析；（3）有.
【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；
（3）計算出，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.
【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，
所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；
（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：
合計
64 16 80
10 10 20
合計 74 26 100
（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得
，
因為根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān).
【點睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨立性檢驗，屬于中檔題.
10．（1）；（2）答案見解析；（3）有.
【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；
（3）計算出，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.
【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，
所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；
（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：
合計
64 16 80
10 10 20
合計 74 26 100
（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得
，
因為根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān).
【點睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨立性檢驗，屬于中檔題.
11．（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為、、、的概率分別為、、、；（2）；（3）有，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可計算出該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為、、、的概率；
（2）利用每組的中點值乘以頻數(shù)，相加后除以可得結(jié)果；
（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.
【詳解】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為；
（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為
（3）列聯(lián)表如下：
人次 人次
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
，
因此，有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).
【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻率和平均數(shù)，同時也考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.
12．（1）；
（2）能有的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.
【分析】（1）從題中所給的列聯(lián)表中讀出相關(guān)的數(shù)據(jù)，利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù)，分別算出相應(yīng)的頻率，即估計得出的概率值；
（2）利用公式求得觀測值與臨界值比較，得到能有的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.
【詳解】（1）由題中表格可知，50名男顧客對商場服務(wù)滿意的有40人，
所以男顧客對商場服務(wù)滿意率估計為,
50名女顧客對商場滿意的有30人，
所以女顧客對商場服務(wù)滿意率估計為,
（2）由列聯(lián)表可知，
所以能有的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.
【點睛】該題考查的是有關(guān)概率與統(tǒng)計的知識，涉及到的知識點有利用頻率來估計概率，利用列聯(lián)表計算的值，獨立性檢驗，屬于簡單題目.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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