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二次根式單元復習
知識點一：二次根式的概念
二次根式的定義：一般地，形如的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號。
二次根式有意義的條件：被開方數（式）為非負數。
在二次根式中，
二次根式有意義的條件應用類型：
題型一：二次根式的概念
1.在式子，，，，，，，和中，是二次根式的有（ ）。
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
2.判斷下列各式中哪些是二次根式？
題型二：二次根式有意義的條件
1.當是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？
（1）；（2）；（3）；（4）
2.若在實數范圍內有意義，則滿足的條件是（ ）
3.代數式中的取值范圍在數軸上表示為（ ）
4.式子在實數范圍內有意義，則實數的取值范圍是 .
5.若二次根式在實數范圍內有意義，則的取值范圍在數軸上表示正確的是（ ）
6.使得式子有意義的的取值范圍是（ ）
A.≥4 B.＞4 C.≤4 D.＜4
題型三：二次根式的雙重非負性
1.已知與互為相反數，求的值。
若實數滿足等式，且恰好是等腰三角形的兩條邊的長，則的周長是（ ）
A.12 B.10 C.8 D.6
若，則的值為（ ）
如果有意義，求代數式的值.
已知是實數，且，求.
已知實數滿足，求的值.
知識點二：二次根式的性質
1.二次根式的性質
，即一個非負數的算術平方根是非負數。
，即一個非負數的算術平方根的平方等于它本身。
，即任意一個數的平方的算術平方根等于這個數的絕對值。
與的區別與聯系：
拓展公式：當時，有，例如.總之，
2.代數式的概念：用基本運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數或表示數的字母連接起來的式子叫做代數式。如6，,,,,,d都是代數式。
題型一：二次根式性質的運用
計算
（2） （3） （4） （5）
二次根式化簡
= = = =
= = =
= = = ==
如圖，數軸上點表示的數為，化簡：
下列各式正確的是（ ）
計算：
（2）
（3）
題型二：代數式
1.下列式子：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）-2.其中是代數式的有（ ）
A.4個 B.5個 C.6個 D.7個
題型三：分解因式
1.在實數范圍內分解因式
（1） （2）
2.在實數范圍內分解因式
（1） （2）
知識點三：二次根式的乘除
二次根式的乘法法則：
積的算術平方根的性質
積的算術平方根的性質：積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積。
用字母表示：
利用積的算術平方根的性質化簡的步驟：
被開方數進行因數分解或因式分解；
利用和，將能開得盡方的因數或因式開到根號外。
二次根式的除法
二次根式的除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變。
用字母表示：
拓展：
商的算術平方根的性質
商的算術平方根：等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根。
用字母表示：
最簡二次根式：
被開方數不含分母；（2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式。
把一個二次根式化成最簡二次根式的一般方法：
題型一：最簡二次根式
1.化成最簡二次根式
（1）；（2）；（3）；（4）
2.在下列根式中，不是最簡二次根式的是（ ）
3.若，把化成最簡二次根式為（ ）
4.把二次根式根號外的因式移入根號內為（ ）
5.將下列各式分母中的根號或根號內的分母去掉。
題型二：二次根式乘法
計算：
； （2）； （3）.
； （5）； （6）；
（7）； （8）.
題型三：二次根式除法
計算：
； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）.
題型四：二次根式乘除混合運算
1.計算：
； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）
（9）； （10）
； （12）.
2.下面計算正確的是（ ）
3.計算的結果是（ ）
4.使等式成立的的取值范圍在數軸上可表示為（ ）
5.下列各式計算正確的是（ ）
6.比較下列各組數的大小。
7.計算：
知識點四：二次根式的加減
可以合并的二次根式：
被開方數相同的二次根式：將幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，則這樣的二次根式可以合并，一般也稱這些二次根式為同類二次根式。
合并的方法：與合并同類項類似，把根號外的因數（式）相加減，根指數與被開方數不變。依據：分配律（，其中）
二次根式的加減
化成最簡二次根式；
找出被開方數相同的二次根式；
合并被開方數相同的二次根式——將系數相加減仍作為系數，根指數與被開方數保持不變.
二次根式的混合運算
二次根式的混合運算：實質上就是有理數與無理數的混合運算，是二次根式加、減、乘、除、乘方、開方運算法則的綜合運用。
二次根式的混合運算順序：先乘方、再乘除、最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號），與整時的混合運算順序相同。
二次根式的混合運算律：實數運算中的運算律（交換律、結合律、分配律）和整式乘法中的乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的運算中仍然適用。
題型一：同類二次根式
1.下列各式中，能與合并的是（ ）
B. C. D.
與最簡二次根式能合并，則= .
3.若兩個最簡二次根式可以合并，求和的值。
4.已知最簡二次根式能夠合并，求（1）的值；（2）的值。
題型二：二次根式加減
1.計算：
（4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
2.下列四個運算中，只有一個是正確的，這個正確的序號是（ ）
3.計算的結果是（ ）
題型三：二次根式混合運算
計算
（5） （6）
（7） （8）
（10）
計算：
估計的運算結果應在（ ）
計算：
（2）
（4）
乘法公式在二次根式運算中的應用
題型四：二次根式化簡求值
1.先化簡，再求值：，其中
2.先化簡，再求值：
3.已知求的值。
4.已知,,求的值；
5.已知，求的值.
鞏固提高——計算專練
1、． 2、
3、÷ 4、
5、 6、
7、 8、．
9、（2﹣1）（2+1）﹣（1﹣2）2． 10、
11、 12、
13、 14、
15、 16、
17、 18、；
19、； 20、；
21、 22、
23、＋ 24、
25、 26、+
28、
29、 30、+．

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