資源簡介

勾股定理
知識點一：勾股定理的概念
要點一、勾股定理
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.
要點詮釋：理解勾股定理的一些變式：
，， .
要點二、勾股定理的作用
已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；
用于解決帶有平方關系的證明問題；
利用勾股定理，作出長為的線段.
題型一：勾股定理的概念
1.在Rt△ABC中，分別為∠A，∠B，∠C的對邊的長，若∠C=90°，=1，=，則的值為（ ）
A. B. C. D.
2.一個直角三角形的兩邊長分別為3，4，則該直角三角形的第三邊的長為（ ）
A.5 B. C.25 D.5或
3.如圖，求圖中各直角三角形中未知邊的長.
圖①中，= ；
圖②中，= ；
圖③中，= .
4.在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是 cm.
5.如圖，在△ABC中，∠C=30°，∠BAC=105°.若AC=2cm，求BC的長.
6.（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，則AB +BC +AC = ；
（2）在平面直角坐標系中，點P（—2，3）到原點的距離是 ；
（3）點M在平面直角坐標系的第二象限內，=2.5，且點到軸的距離為1.5，則點的坐標為 .
7.如圖，根據圖中的數據進行計算，AB= .
8.已知直角三角形的兩條直角邊長的和為6cm，面積為cm ,則這個直角三角形的斜邊長為 .
9.如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，M為BC的中點，MN⊥AC于點N，則MN的值為 .
（第9題） （第10題）
10.如圖，在銳角三角形ABC中，高AD=12，邊AC=13，BC=14，求AB的長.
題型二：勾股定理在實際生活中的運用
1.如圖是修鐵路需鑿通的隧道AC，測得∠B=16°，∠A=74°，AB≈500m，BC≈480m.若每天鑿隧道10m，則把隧道鑿通約需（ ）
A.10天 B.12天 C.14天 D.16天
2.《九章算術》是我國古代最重要的數學著作之一.在”勾股“章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折著高幾何？”翻譯成數學問題：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的長.如果設AC=，那么可列方程為 .
（第2題） （第3題）
3.如圖，某人要橫渡一條寬480m的河，由于受水流影響，實際上岸地點C偏離欲要到達的地點B 200m，則他在河中實際游了 m.
4.如圖，在一次課外實踐活動中，同學們要測量某公園人工湖兩側A，B兩個涼亭之間的距離.已測得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，求A，B兩個涼亭之間的距離.
5.如圖是兩棵樹，一棵高12m，另一棵高6m，兩樹相距8m.一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，小鳥至少需要飛行 m.
（第5題） （第6題）
6.如圖，學校內有一塊長方形花圃，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內走出了一條“路”.他們僅僅少走了 步路（假設2步為1m），卻踩傷了花草.
7.某小區內有一塊如圖所示的三角形空地ABC，現計劃將這塊空地建成一個花園，以美化小區環境.預計花園每平方米造價25元，小區修建這個花園大概需要多少元？
題型三：勾股定理作圖與計算
1.如圖，長方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在數軸上，若以點A為圓心，對角線AC的長為半徑畫弧，交數軸的正半軸于點M，，則點M在數軸上所對應的數為（ ）
2.如圖，在數軸上找出表示和的點（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.
3.如圖，O為數軸原點，A，B兩點分別對應—3，3，作腰長為4的等腰三角形ABC，連接OC，以點O為圓心，OC的長為半徑畫弧，交數軸的正半軸于點M，則點M對應的實數為 .
知識點二：勾股定理逆定理
要點一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.
要點詮釋：勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.
要點二、如何判定一個三角形是否是直角三角形
首先確定最大邊（如）.
驗證與是否具有相等關系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.
要點詮釋：當時，此三角形為鈍角三角形；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.
要點三、勾股數
滿足不定方程的三個正整數，稱為勾股數（又稱為高數或畢達哥拉斯數），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股數，對解題會很有幫助：　
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
題型一：勾股定理的逆定理及應用
下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（ ）
A.1，2，3 B.4，5，6 C.9，12，15 D.1，，
已知三角形的兩邊長分別為6和8，當第三邊的長為 時，此三角形是直角三角形.
如圖，點A，B，C在格點上，若小正方形的邊長均為1，試判斷△ABC的形狀，并說明理由.
如圖，在△ABC中，D是BC上的一點，AB=15，AD=12，AC=13，BD=9.求△ABC的面積.
已知一個三角形的三邊長分別為，和2，則這個三角形的面積為 .
一個三角形的三邊長分別為15cm，20cm，25cm，則這個三角形最長邊上的高是 cm.
如圖，在四邊形ABCD中，AB=5，BC=3，CD=6，AD=，若AC⊥BC，求證;AD∥BC.
題型二：勾股定理及其逆定理的綜合應用
張大伯家的三角形菜地的三邊長分別為7m，24m，25m，則這塊菜地的面積為（ ）
A.87.5 m B.300m C.168m D.84m
木工師傅測量了一塊等腰三角形木板的腰、底邊和底邊上的高，但他把這三個數據與其他數據弄混了，請你幫助他找出來，這組數據是（ ）
A.13，12，12 B.12，12，8 C.13，10，12 D.5，8，4
現有四根鐵管，它們的長度依次是m，m，4m，m，從中選取三根，焊接成一個直角三角形，則舍棄的鐵管的長度是 .
如圖，A，B，C三個村莊之間的距離分別為AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米，要從村莊B修一條公路BD直達AC，且公路的造價為26000元/千米.求修這條公路的最低造價.
把一根長為112cm的鐵絲，從一端起順次截下長為14cm，48cm的兩根鐵絲，用這兩根鐵絲和剩下的鐵絲圍成的三角形的面積是 cm .
如圖，小娟的爸爸在一塊四邊形土地上種了一些蔬菜，爸爸讓小娟計算一下土地的面積，以便計算產量，小娟找了一卷米尺，測得AB=4m，BC=3m，CD=13m，DA=12m.已知∠B=90°，則這塊土地的面積為 m .
如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=，CD=3，BC=5.求∠ADC的度數.

展開更多......

收起↑