資源簡介

排列與組合
【考綱解讀】
理解排列的定義，理解并掌握排列計數公式；
理解組合的定義，理解并掌握組合計數公式；
能夠運用排列和組合的知識，解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、排列的基本問題：
【問題】解答下列問題：
1、從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加某一天的活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的參加方法？
從a、b、c、d這四個字母中，每次取出3個按順序排成一列，共有多少種不同的排法？
『思考問題』
【問題】中的兩個問題的共同特征是：①從n個元素中取出m個元素；②把取出的m個元素按一定的要求排成一列。
1排列的定義：
（1）排列的定義：從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；
（2）兩個排列完全相同的條件是：①元素的個數相同；②排列的順序一樣；
（3）全排列的定義：n個元素全部取出的排列，稱為n個元素的一個全排列。
2、排列數計算的基本方法：
（1）排列數的定義：從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數，叫做從從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的排列數，用表示；
（2）正整數n階乘的定義：從正整數n到1的連續數的乘積，稱為正整數n的階乘，用表示，規定0！=1。
（3）排列數的計算公式：
①從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的排列數：==n（n-1）（n-2）-----（n-m+1）；
②全排列的排列的排列數：===n（n-1）（n-2）-----21。
3、排列的基本問題：
（1）排列的基本問題：排列的基本問題主要包括三種：①相鄰問題；②不相鄰問題； ③某些元素有特定限制的排列問題；
（2）相鄰問題處理的基本方法：對相鄰問題采用捆綁法，即把要求相鄰的元素捆綁在一起看著一個整體（注意捆綁的元素之間還有一個捆綁元素的全排列問題）；
（3）不相鄰問題處理的基本方法：對不相鄰問題采用插空法，即先把沒有要求的元素排列后，再把要求不相鄰的元素插到它們的空隙位置上去；
（4）某些元素特定限制的排列問題處理的基本方法：對有特定限制的元素優先法，即把有特定限制的元素優先進行排列之后，再排列剩余元素。
二、組合的基本問題：
【問題】解答下列問題：
1、從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法？
2、從a、b、c、d四個元素中，選出二個元素組成一組，共有多少個不同的組合？
『思考問題』
【問題】中的兩個問題的共同特征是：①從n個元素中取出m個元素；②把取出的m個元素組成一組；
1、組合的定義：
（1）組合的定義：從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素的一個組合；
（2）分辨一個問題是排列還是組合的基本方法：分辨一個問題是組合，還是排列的基本方法是看問題本身是否與順序有關。
2、組合數的計算：
（1）組合數的定義：從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素的組合數，用表示；
（2）組合數的計算公式：==。
（3）組合數的性質：
①= ；
②=+。
3、組合的基本問題：
（1）組合的基本問題：組合的基本問題主要包括：① 指定元素必須當選問題；②指定元素必不當選問題；③指定元素不全當選問題；④ 某類元素至少m（m是一個確定的正整數）個當選的問題；
（2）指定元素必須當選的基本方法是：①先把指定的元素取出；②在余下的元素中取出剩下的個數；
（3）指定元素必不當選的基本方法是：①把指定的元素除去；②在余下的元素中取出需要的個數；
（4）指定元素不全當選的基本方法是：①在指定的元素中取出需要的個數；②在余下的元素中取出剩下的個數；
（5）某類元素至少m(m是一個確定的正整數)個當選的基本方法是：①在某類元素中取出需要的個數；②在其他類別的元素中取出剩下的個數。
4、排列與組合的關系：
排列與組合的關系是：①聯系，排列與組合都涉及到從n個不同元素中取出m個元素的問題；②區別，排列從n個不同元素中取出m個元素后，還需要按一定順序排成一列，不同的順序排列也不一樣；組合只需要從n個不同元素中取出m個元素就完成了；
三、分組與分配問題：
1、分組與分配問題包括：①無序不均勻分組問題；②有序不均勻分組問題；③無序均勻分組問題；④有序均勻分組問題；⑤無序部分均勻分組問題；⑥有序部分均勻分組問題；⑦直接分配問題；
2、解答這類問題的基本方法：（1）先分清問題所屬的類型；（2）運用處理該類型問題的基本方法解答問題。
四、排列組合的綜合問題：
1、排列組合綜合問題的定義：是指一個問題中既有排列問題又有組合問題。
2、排列組合綜合問題的處理方法：
（1）處理排列組合綜合問題的基本思想：是先組合后排列；
（2）處理排列組合綜合問題的基本方法是：①分析問題，分辨清楚問題中哪些是排列，哪些是組合；②分析問題，分辨清楚問題中哪些是分類，哪些是分步；③分析問題，分辨清楚問題中涉及到幾個基本問題，對于每一個基本問題進行逐步解決。
【探導考點】
考點1排列的基本問題：熱點①排列定義及運用；熱點②排列數計算公式及運用；熱點③排列的應用問題；
考點2組合的基本問題：熱點①組合定義及運用；熱點②組合數計算公式及運用；熱點③組合的應用問題；
考點3排列組合的綜合問題：熱點①排列組合的分辨；熱點②排列數組合數計算公式的綜合運用；熱點③排列組合的綜合應用問題。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、計算下列各題：
① ② ③
2、n∈，且n＜10,則（10-n）(11-n)--------(100-n)=( )
A B C D
3、解不等式＞6
『思考問題1』
（1）【典例1】是排列定義和排列數相關的問題，解決這類問題需要理解排列的定義，理解并掌握排列數的計算公式；
（2）排列數的計算公式是==n（n-1）（n-2）-----（n-m+1），特別地當m=n時，稱為n個元素的全排列，它的計算公式為==n（n-1）（n-2）-----21；
（3）在處理【典例1】中的3小題時，應該注意的m的取值范圍是0＜mn這個隱含條件。
〔練習1〕解答下列問題：
1、計算下列各題：
① ② ③
2、下列各式中不等于n！的是（ ）
A B C D n
【典例2】按要求解答下列問題：
1、有5個同學排成一排照相，分別求符合下列條件的排法各有多少種？
（1）甲、乙兩同學必須站在一起；
（2）甲、乙、丙三同學互不相鄰；
（3）乙不站在甲前面，丙不站在乙前面；
（4）甲不站在中間位置，乙不站在兩端位置。
（5）甲、乙必須分開站；
（6）甲、乙之間間隔2人；
（7）甲、乙站兩端位置；
（8）甲不站左端，乙不站右端。
2、有5名男生，4名女生全體排成一行，下列情形各有多少種不同的排法？
（1）甲不站在中間也不站在兩端；
（2）甲、乙兩人必須排在兩端；
（3）男女相間且女生不站兩端。
『思考問題2』
【典例2】是排列的應用問題，解決這類問題需要掌握排列的三個基本問題，注意每個基本問題處理的基本方法；
解答排列應用問題的基本方法是：①分辨清楚問題屬于哪一種基本問題，②選用解決該類基本問題的基本方法解答問題。
〔練習2〕解答下列問題：
7位同學站成一排，求符合下列條件的排列方法分別有多少種？
（1）甲不站右端，乙不站左端；
（2）甲、乙兩同學必須站在一起；
（3）甲、乙、丙三同學必須分開站；
（4）甲不站中間，乙不站兩端。
【典例3】解答下列問題：
1、計算：① ②
2、已知20=4（n+4）+15，求n；
3、計算+++
『思考問題3』
（1）【典例3】是組合定義和組合數相關的問題，解決這類問題需要理解組合的定義，理解并掌握組合數的計算公式；
（2）組合數的計算公式是==；
（3）組合數具有如下的性質：①= ；②=+。
〔練習3〕解答下列問題：
1、計算① ②3-2
2、+=（ ）
A B C D
(3)求證：①++= ②+++++=
【典例4】按要求解答下列問題：
1、從7名男同學和5名女同學中，選出5個，分別求符合下列條件的選法各有多少種？
（1）甲、乙兩同學必須當選；
（2）甲、乙兩同學必不當選；
（3）甲、乙兩同學不全當選；
（4）至少有兩名女同學當選。
2、在100件產品中，有98件合格品，2件次品，從這100件產品中任意抽出3件。
求：
（1）一共有多少種不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少種？
（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少種？
3、男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1人，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種不同的選派方法？
（1）男運動員3名，女運動員2名；
（2）至少有一名女運動員；
（3）隊長中至少有一人參加；
（4）既要有隊長，又要有女運動員（2013北京海淀月考）
『思考問題4』
【典例4】是組合的應用問題，解決這類問題需要掌握組合的基本問題，注意各個基本問題的結構特征和處理的基本方法；
解答組合的應用問題的基本方法是：①分辨清楚問題屬于哪一種基本問題，②選用解決該類基本問題的基本方法解答問題。
〔練習4〕解答下列問題：
從8名男同學，4名女同學中選出5人組成青年自愿隊，按下列要求各有多少種不同的選法？
（1）至少有一名女同學參加；
（2）甲、乙兩同學必須參加；
（3）甲、乙兩同學必不參加；
（4）甲、乙兩同學不全參加。
【典例5】解答下列問題：
1、把6本不同的書分成三份，1份1本，1份2本，1份,3本，有多少種不同的分配方式？
2、把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，1人得1本，1人得2本，1人得,3本，有多少種不同的分配？
3、把6本不同的書平均分成三份，每份2本，有多少種不同的分配方式？
4、把6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，每人2本，有多少種不同的分配方式？
5、把6本不同的書分成三份，1份4本，另外兩份每份,1本，有多少種不同的分配方式？
6、把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，1人得4本，另外兩人每人得1本，有多少種不同的分配方式？
7、把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得1本，丙得4本，有多少種不同的分配方式？
『思考問題5』
（1）【典例5】是分組和分配相關的問題，解答這類問題時，應先分清它所屬的問題類型，再根據處理該類型問題的基本方法解答問題；
（2）分組與分配問題從分組來看有：①無序不均勻分組問題；②有序不均勻分組問題；③無序均勻分組問題；④有序均勻分組問題；⑤無序部分均勻分組問題；⑥有序部分均勻分組問題；⑦直接分配問題；
（3）解答問題時，需要正確分辨問題是均勻分組還是不均勻分組；是有序分組還是無序分組。
〔練習5〕解答下列問題：
1、某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有（ ）
A 4種 B 10種 C 18種 D 20種
2、有6本不同的書按下列方式進行分配，問共有多少種不同的分配方式？
（1）分成1本，2本，3本三組；
（2）分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
（3）分成每組都是2本的三個組；
（4）分給甲、乙、丙三人，每人2本。
【典例6】解答下列問題：
1、從0,1,2,3,4五個數字這取出不同的三個數字組成一個三位數，所有這些三位數的個位數字之和是多少？
從1,3,5,7,9五個數字這選2個，0,2,4,6,8五個數字這選3個，能組成多少個無重復數字的五位數？
3、用0,1,2,3,4,5六個數字：
（1）能組成多少個無重復數字的4位偶數；
（2）能組成多少個無重復數字且是5的倍數的5位數；
（3）能組成多少個比1325大的4位數？
4、從1,2,3，-------30這前30個自然數中，每次取不同的三個數，使這三個數的和是3的倍數的取法有多少種？
5、從數字0,1,3,5,7中取出三個不同的數字作系數可以組成多少個不同的一元二次方程？其中有實數解的有幾個？
6、已知平面∥，在內有四個點，在內有6個點。
（1）過這10個點的三個點作一平面，最多可以作多少個不同的平面？
（2）以這些點為頂點，最多可以作多少個三棱錐？
（3）上述三棱錐中，最多可以有多少個不同的體積？
7、已知10件不同的產品中，共有4件次品，現對它們進行一一測試，直到找到所有4件次品為止。
（1）若恰在第五次測試才測到第一件次品，第十次才測到最后一件次品的不同測試方法有多少種？
（2）若恰在第五次測試后就找到了所有4件次品，則這樣的不同測試方法數又是多少？
8、從6名短跑運動員中選4人參加4x100米接力賽，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，問有多少種不同的參賽方法？
9、在一張節目表上原有6個節目，如果保持這些節目的相對順序不變，再添加進去3個節目，求共有多少種不同的安排方法？
10、在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟種植A、B兩種作物，每種作物種一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物間隔不少于6壟，則不同的種植方法共有多少種？
11、有10個優秀名額分到高三年級一、二、三班，分到各班的名額數不少于它們班級的序號數，問有多少種不同的分配方案？
12、某天要上政治、語文、數學、物理、體育、生物六節課，但第一節不排體育，第二節不上物理，第六節不上數學，這天的課表有幾種排法？
13、全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數為多少？
14、4位同學參加某種形式的競賽，競賽的規則規定：每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得-100分，選乙題答對得90分，答錯得-90分，若4位同學的總分為0分，則這4位同學不同得分情況的種數是多少？
15、從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這六人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有多少種？
16、某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成。如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產生，則不同的傳遞方法共有 （用數字作答）
17、有4張分別標有數字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標有數字1,2,3,4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行，如果取出的4張卡片所標有的數字之和等于10，則不同的排法共有 種（用數字作答）
『思考問題6』
（1）【典例6】是排列組合的綜合問題，解決這類問題的基本方法是從“分析”，“分辨”，“分類”，“分步”的角度入手；這里的“分析”就是找出問題中的條件和結論，弄清楚哪些是元素，哪些是位置；“分辨”是辨別問題中哪些是排列，哪些是組合，對哪些元素的位置有特別的限制；“分類”是對復雜問題中的元素分成互相排斥的幾類，再逐類解答；“分步”是把問題化成幾個互相聯系的步驟，每一步都是簡單的排列或組合問題，再逐步加以解答；
（2）處理排列組合綜合問題的基本步驟是：①分析問題，分辨清楚問題中哪些是排列，哪些是組合；②分析問題，分辨清楚問題中哪些是分類，哪些是分步；③分析問題，分辨清楚問題中涉及到幾個基本問題，對于每一個基本問題進行逐步解決；
（3）排列的主要特征是元素與元素之間與順序有關；
（4）組合的主要特征是元素與元素之間與順序無關；
（5）面對一個實際問題分辨它是排列還是組合的簡便方法是看元素與元素之間是與順序有關；
（6）在實際問題中，排列與組合往往同時出現，解決既有排列又有組合的問題的基本方法是先組合 后排列。
〔練習6〕解答下列問題：
1、用數字0,1,2,3,4組成無重復數字的五位數，若個位數字小于百位上的數字，則這樣的五位數有多少個？
2、馬路上有編號為1,2，-------12的十二盞路燈，為了節約用電又不影響照明，可以關掉其中三盞，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關掉，則滿足條件不同的關燈方法有多少種？
某人練習打靶，一共打了8發，中了3發，其中恰有兩發連中，問不同的中靶方式共有多少種？
4、將4名教師分配到3所中學任教，每所中學至少一名教師則不同的分配方案共有多少種？
5、體育老師把9個相同的足球放入編號為1、2、3的三個箱子中，要求每個箱子放球的個數不少于其編號，則不同的放法有多少種？
6、從6人中選出4人參加數學、物理、化學、英語比賽，每人只能參加其中一項，其中甲、乙兩人都不能參加英語比賽，則不同的參賽方案的種數共有多少種？
【雷區警示】
【典例7】解答下列問題：
已知=12，求x的值。
從0，2中選一個數字，從1，3，5選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為（ ）
A 24 B 18 C 12 D 6
從五雙不同顏色的鞋中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有（ ）
A 480種 B 255種 C 240種 D 120種
『思考問題7』
【典例7】是解答排列與組合時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括：①忽視，中n，m的取值范圍，導致解答問題出現錯誤；②忽視問題中的隱含條件，導致解答問題出現錯誤；③忽視平均分組的無序性，導致解答問題出現錯誤；
解答排列與組合時，為避免忽視，中n，m的取值范圍的雷區，需要認真理解排列數和組合數計數公式，注意公式中n，m的取值范圍；
解答排列與組合時，為避免忽視問題中的隱含條件的雷區，需要認真挖掘問題中的隱含條件；
解答排列與組合時，為避免忽視平均分組的無序性的雷區，問題涉及平均分組時，分組后需要排除分組過程中順序產生的影響。
〔練習7〕解答下列問題：
1、解不等式＞6。
2、從1,3,5,7,9五個數字這選2個，0,2,4,6,8五個數字這選3個，能組成多少個無重復數字的五位數？
3、把6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，每人2本，有多少種不同的分配方式？
【追蹤考試】
【典例8】解答下列問題：
1、有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六，星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為（ ）(2023全國高考甲卷理）
A 120 B 60 C 40 D 30
2、甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀兩種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有一種相
同的選法共有（ ）（2023全國高考乙卷理）
A 30種 B 60種 C 120種 D 240鐘
3、某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課程中選修2門或3門課，且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）（2023全國高考新高考I）
4、某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層抽樣方法作抽樣調查，擬從
初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）（2013全國高考新高考II）
A B C D
5、甲乙丙丁戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有（ ）（2022全國高考新高考II卷）
A 12種 B 24種 C 36種 D 48種
『思考問題8』
（1）【典例8】是近幾年高考（或高三診斷考試）試卷中有關分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理及運用的問題，歸結起來注意包括：①分類計數（或稱加法）原理及運用；②分步計數（或稱乘法）原理及運用；③分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的綜合運用；
解答二項式定理及運用的問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，判斷問題的所屬類型；②按照解答該類型問題的基本思路和方法對問題實施解答；③得出問題解答的最終結果。
〔練習8〕解答下列問題：
1、將5名北京東奧會志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑，冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）（2021全國高考乙卷）
A 60種 B 120種 C 240種 D 480種
2、6名同學到甲，乙，丙三個場館做志愿者，每名同學只去一個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）（2020全國高考新高考I）
A 120種 B 90種 C 60種 D 30種
3、安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由一人完成，則不同的安排方式共有（ ）（2020全國高考新高考II）
A 12種 B 18種 C 24種 D 36種
排列與組合
【考綱解讀】
理解排列的定義，理解并掌握排列計數公式；
理解組合的定義，理解并掌握組合計數公式；
能夠運用排列和組合的知識，解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、排列的基本問題：
【問題】解答下列問題：
1、從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加某一天的活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的參加方法？
從a、b、c、d這四個字母中，每次取出3個按順序排成一列，共有多少種不同的排法？
『思考問題』
【問題】中的兩個問題的共同特征是：①從n個元素中取出m個元素；②把取出的m個元素按一定的要求排成一列。
1排列的定義：
（1）排列的定義：從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；
（2）兩個排列完全相同的條件是：①元素的個數相同；②排列的順序一樣；
（3）全排列的定義：n個元素全部取出的排列，稱為n個元素的一個全排列。
2、排列數計算的基本方法：
（1）排列數的定義：從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數，叫做從從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的排列數，用表示；
（2）正整數n階乘的定義：從正整數n到1的連續數的乘積，稱為正整數n的階乘，用表示，規定0！=1。
（3）排列數的計算公式：
①從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的排列數：==n（n-1）（n-2）-----（n-m+1）；
②全排列的排列的排列數：===n（n-1）（n-2）-----21。
3、排列的基本問題：
（1）排列的基本問題：排列的基本問題主要包括三種：①相鄰問題；②不相鄰問題； ③某些元素有特定限制的排列問題；
（2）相鄰問題處理的基本方法：對相鄰問題采用捆綁法，即把要求相鄰的元素捆綁在一起看著一個整體（注意捆綁的元素之間還有一個捆綁元素的全排列問題）；
（3）不相鄰問題處理的基本方法：對不相鄰問題采用插空法，即先把沒有要求的元素排列后，再把要求不相鄰的元素插到它們的空隙位置上去；
（4）某些元素特定限制的排列問題處理的基本方法：對有特定限制的元素優先法，即把有特定限制的元素優先進行排列之后，再排列剩余元素。
二、組合的基本問題：
【問題】解答下列問題：
1、從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法？
2、從a、b、c、d四個元素中，選出二個元素組成一組，共有多少個不同的組合？
『思考問題』
【問題】中的兩個問題的共同特征是：①從n個元素中取出m個元素；②把取出的m個元素組成一組；
1、組合的定義：
（1）組合的定義：從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素的一個組合；
（2）分辨一個問題是排列還是組合的基本方法：分辨一個問題是組合，還是排列的基本方法是看問題本身是否與順序有關。
2、組合數的計算：
（1）組合數的定義：從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素的組合數，用表示；
（2）組合數的計算公式：==。
（3）組合數的性質：
①= ；
②=+。
3、組合的基本問題：
（1）組合的基本問題：組合的基本問題主要包括：① 指定元素必須當選問題；②指定元素必不當選問題；③指定元素不全當選問題；④ 某類元素至少m（m是一個確定的正整數）個當選的問題；
（2）指定元素必須當選的基本方法是：①先把指定的元素取出；②在余下的元素中取出剩下的個數；
（3）指定元素必不當選的基本方法是：①把指定的元素除去；②在余下的元素中取出需要的個數；
（4）指定元素不全當選的基本方法是：①在指定的元素中取出需要的個數；②在余下的元素中取出剩下的個數；
（5）某類元素至少m(m是一個確定的正整數)個當選的基本方法是：①在某類元素中取出需要的個數；②在其他類別的元素中取出剩下的個數。
4、排列與組合的關系：
排列與組合的關系是：①聯系，排列與組合都涉及到從n個不同元素中取出m個元素的問題；②區別，排列從n個不同元素中取出m個元素后，還需要按一定順序排成一列，不同的順序排列也不一樣；組合只需要從n個不同元素中取出m個元素就完成了；
三、分組與分配問題：
1、分組與分配問題包括：①無序不均勻分組問題；②有序不均勻分組問題；③無序均勻分組問題；④有序均勻分組問題；⑤無序部分均勻分組問題；⑥有序部分均勻分組問題；⑦直接分配問題；
2、解答這類問題的基本方法：（1）先分清問題所屬的類型；（2）運用處理該類型問題的基本方法解答問題。
四、排列組合的綜合問題：
1、排列組合綜合問題的定義：是指一個問題中既有排列問題又有組合問題。
2、排列組合綜合問題的處理方法：
（1）處理排列組合綜合問題的基本思想：是先組合后排列；
（2）處理排列組合綜合問題的基本方法是：①分析問題，分辨清楚問題中哪些是排列，哪些是組合；②分析問題，分辨清楚問題中哪些是分類，哪些是分步；③分析問題，分辨清楚問題中涉及到幾個基本問題，對于每一個基本問題進行逐步解決。
【探導考點】
考點1排列的基本問題：熱點①排列定義及運用；熱點②排列數計算公式及運用；熱點③排列的應用問題；
考點2組合的基本問題：熱點①組合定義及運用；熱點②組合數計算公式及運用；熱點③組合的應用問題；
考點3排列組合的綜合問題：熱點①排列組合的分辨；熱點②排列數組合數計算公式的綜合運用；熱點③排列組合的綜合應用問題。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、計算下列各題：
（1） （2） （3）
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②排列數計算公式及運用。
【解題思路】（1）根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件就可求出的值；（2）根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件就可求出的值；（3）根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件就可求出的值。
【詳細解答】（1）=161514=3360；（2）=654321=720；（3）=65
43=360。
2、n∈，且n＜10,則（10-n）(11-n)--------(100-n)=( )
A B C D
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②排列數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件求出（10-n）(11-n)--------(100-n)關于n的排列數表示式就可得出選項。
【詳細解答】（10-n）(11-n)--------(100-n)=(100-n)(100-n-1)------(100-n-89)
(100-n-91+1)=， ,C正確，選C。
3、解不等式＞6
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②排列數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件得到關于x的不等式組，求解不等式組就可求出不等式＞6的解集。
【詳細解答】不等式＞6，84>9-x①，0≤x≤9②，0≤x-2≤6③，聯立①②③解得：2≤x≤8，且x，不等式＞6的解集為{2，3，4，5，6，7，8}。
『思考問題1』
（1）【典例1】是排列定義和排列數相關的問題，解決這類問題需要理解排列的定義，理解并掌握排列數的計算公式；
（2）排列數的計算公式是==n（n-1）（n-2）-----（n-m+1），特別地當m=n時，稱為n個元素的全排列，它的計算公式為==n（n-1）（n-2）-----21；
（3）在處理【典例1】中的3小題時，應該注意的m的取值范圍是0＜mn這個隱含條件。
〔練習1〕解答下列問題：
1、計算下列各題：
（1） （2） （3）
（答案：（1）=32760；（2） =5040；（3）=360。）
2、下列各式中不等于n！的是（ ）（答案：C）
A B C D n
【典例2】按要求解答下列問題：
1、有5個同學排成一排照相，分別求符合下列條件的排法各有多少種？
（1）甲，乙兩同學必須站在一起；
（2）甲、乙、丙三同學互不相鄰；
（3）乙不站在甲前面，丙不站在乙前面；
（4）甲不站在中間位置，乙不站在兩端位置。
（5）甲、乙必須分開站；
（6）甲、乙之間間隔2人；
（7）甲、乙站兩端位置；
（8）甲不站左端，乙不站右端。
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②排列數計算公式及運用。
【解題思路】（1）根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件就可求出甲，乙兩同學必須站在一起不同的排法的種數；（2）根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件就可求出甲，乙，丙三同學互不相鄰不同的排法的種數；（3）根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件就可求出乙不站在甲前面，丙不站在乙前面不同的排法的種數；（4）根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件就可求出甲不站中間位置，乙不站兩端位置不同的排法的種數；（5）根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件就可求出甲，乙必須分開站不同的排法的種數；（6）根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件就可求出甲，乙之間間隔2人不同的排法的種數；（7）根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件就可求出甲，乙站兩端位置不同的排法的種數；（8）根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件就可求出甲不站左端，乙不站右端不同的排法的種數。
【詳細解答】（1）5個同學排成一排，甲，乙兩同學必須站在一起，不同的排法有=224=48（種）；（2）5個同學排成一排，甲、乙、丙三同學互不相鄰，不同的排法有=26=12（種）；（3）5個同學排成一排，乙不站在甲前面，丙不站在乙前面，不同的排法有=112=12（種）；（4）5個同學排成一排，甲不站在中間位置，乙不站在兩端位置，不同的排法有+=236+226=60（種）；（5）5個同學排成一排，甲、乙必須分開站，不同的排法有=612=72（種）；（6）5個同學排成一排，甲、乙之間間隔2人，不同的排法有=622=24（種）；（7）5個同學排成一排，甲、乙站兩端位置，不同的排法有=26=12（種）；（8）5個同學排成一排，甲不站左端，乙不站右端，不同的排法有+=24+33
6=78（種）。
2、有5名男生，4名女生全體排成一行，下列情形各有多少種不同的排法？
（1）甲不站在中間也不站在兩端；
（2）甲、乙兩人必須排在兩端；
（3）男女相間且女生不站兩端。
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②排列數計算公式及運用。
【解題思路】（1）根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件就可求出甲不站在中間也不站在兩端不同的排法的種數；（2）根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件就可求出甲、乙兩人必須排在兩端不同的排法的種數；（3）根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件就可求出男女相間且女生不站兩端不同的排法的種數。
【詳細解答】（1）5名男生，4名女生全體排成一行，甲不站在中間也不站在兩端，不同的排法有=640320=241920（種）；（2）5名男生，4名女生全體排成一行，甲、乙兩人必須排在兩端，不同的排法有=25040=10080（種）；（2）5名男生，4名女生全體排成一行，男女相間且女生不站兩端，不同的排法有=600120=72000（種）。
『思考問題2』
【典例2】是排列的應用問題，解決這類問題需要掌握排列的三個基本問題，注意每個基本問題處理的基本方法；
解答排列應用問題的基本方法是：①分辨清楚問題屬于哪一種基本問題，②選用解決該類基本問題的基本方法解答問題。
〔練習2〕解答下列問題：
7位同學站成一排，求符合下列條件的排列方法分別有多少種？
（1）甲不站右端，乙不站左端；
（2）甲、乙兩同學必須站在一起；
（3）甲、乙、丙三同學必須分開站；
（4）甲不站中間，乙不站兩端。（答案：甲不站右端，乙不站左端的不同排列方法有1320種；（2）甲、乙兩同學必須站在一起的不同排列方法有1440種；（3）甲，乙，丙三同學必須分開站的不同排列方法有720種；（4）甲不站中間，乙不站兩端的不同排列方法有1920種。）
【典例3】解答下列問題：
計算：（1） （2）
【解析】
【知識點】①組合定義與性質；②組合數計算公式及運用。
【解題思路】（1）根據組合的性質，運用組合數計算公式，結合問題條件就可求出的值；（2）根據組合的性質，運用組合數計算公式，結合問題條件就可求出的值。
【詳細解答】（1）==35；（2）==120。
2、已知20=4（n+4）+15，求n。
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件得到關于n的方程，求解方程就可求出n的值。
【詳細解答】=，=，
=（n+3）（n+2），20=4（n+4）+15，
=+15，（n+4）（n+1）=18，（n+7）（n-2）=0，解之得：n=-7或n=2，
n，n=2。
3、計算+++
【解析】
【知識點】①組合定義與性質；②組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用組合數計算公式，結合問題條件就可求出++
+的值。
【詳細解答】=1，=3，=6，=10，+++=1+3+6+10=20。
『思考問題3』
（1）【典例3】是組合定義和組合數相關的問題，解決這類問題需要理解組合的定義，理解并掌握組合數的計算公式；
（2）組合數的計算公式是==；
（3）組合數具有如下的性質：①= ；②=+。
〔練習3〕解答下列問題：
1、計算（1） （2）3-2（答案：（1）=56；（2）3-2=148、）
2、+=（ ）（答案：B）
A B C D
3、求證：（1）++= （2）+++++=（提示：運用組合數計數公式通過計算就可證明結論）
【典例4】按要求解答下列問題：
1、從7名男同學和5名女同學中，選出5個，分別求符合下列條件的選法各有多少種？
（1）甲、乙兩同學必須當選；
（2）甲、乙兩同學必不當選；
（3）甲、乙兩同學不全當選；
（4）至少有兩名女同學當選。
2、在100件產品中，有98件合格品，2件次品，從這100件產品中任意抽出3件。
求：
（1）一共有多少種不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少種？
（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少種？
3、男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1人，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種不同的選派方法？
（1）男運動員3名，女運動員2名；
（2）至少有一名女運動員；
（3）隊長中至少有一人參加；
（4）既要有隊長，又要有女運動員。
【解析】
【知識點】①組合定義與性質；②組合數計算公式及運用。
【解題思路】（1）根據組合的性質，運用組合數計算公式，結合問題條件就可求出男運動員3名，女運動員2名不同選派方法的種數；（2）根據組合的性質，運用組合數計算公式，結合問題條件就可求出至少有一名女運動員不同選派方法的種數；（3）根據組合的性質，運用組合數計算公式，結合問題條件就可求出隊長中至少有一人參加不同選派方法的種數；（4）根據組合的性質，運用組合數計算公式，結合問題條件就可求出既要有隊長，又要有女運動員參加不同選派方法的種數。
【詳細解答】（1）選出的運動員有男運動員3名，女運動員2名，不同的選派方法有
=206=120（種）；（2）選出的運動員至少有一名女運動員，不同的選派方法有
-=252-6=246（種）；（3）選出的運動員至少有一名隊長，不同的選派方法有
+=140+56=196（種）；（4）選出的運動員既要有隊長，又要有女運動員，不同的選派方法有-=252-1=251（種）。
『思考問題4』
【典例4】是組合的應用問題，解決這類問題需要掌握組合的基本問題，注意各個基本問題的結構特征和處理的基本方法；
解答組合的應用問題的基本方法是：①分辨清楚問題屬于哪一種基本問題，②選用解決該類基本問題的基本方法解答問題。
〔練習4〕解答下列問題：
從8名男同學，4名女同學中選出5人組成青年自愿隊，按下列要求各有多少種不同的選法？
（1）至少有一名女同學參加；
（2）甲、乙兩同學必須參加；
（3）甲、乙兩同學必不參加；
（4）甲、乙兩同學不全參加。（答案：（1）至少有一名女同學參加的不同的選法有736種；（2）甲、乙兩同學必須參加的不同的選法有120種；（3）甲、乙兩同學必不參加的不同的選法有252種；（4）甲、乙兩同學不全參加的不同的選法有372種）
【典例5】解答下列問題：
把6本不同的書分成三份，1份1本，1份2本，1份,3本，有多少種不同的分配方式？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用；⑤處理不均勻有序分組問題的基本方法。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式，組合數計算公式和處理部分均勻分組問題的基本方法，結合問題條件就可求出不同分配方式的種數。
【詳細解答】把6本不同的書平均分成三份，1份1本，1份2本，1份,3本屬于不均勻有序分組的問題，若把6本不同的書平均分成三份，1份1本，1份2本，1份,3本，則有=6101=60（種）不同的分配方式。
2、把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，1人得1本，1人得2本，1人得,3本，有多少種不同的分配方式？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用；⑤處理不均勻有序分組分配問題的基本方法。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式，組合數計算公式和處理不均勻有序分組問題分配的基本方法，結合問題條件就可求出不同分配方式的種數。
【詳細解答】把6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，1人得1本，1人得2本，1人得,3本可以分兩步進行：第一步，把6本不同的書分成1組1本，1組2本，1組,3本三組，有種不同的分法；第二步，將分成的三組分配給甲、乙、丙三人，有種不同的分配方式，若把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，1人得1本，1人得2本，1人得,3本，則有=61016=360（種）不同的分配方式。
3、把6本不同的書平均分成三份，每份2本，有多少種不同的分配方式？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用；⑤處理均勻無序分組問題的基本方法。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式，組合數計算公式和處理部分均勻分組問題的基本方法，結合問題條件就可求出不同分配方式的種數。
【詳細解答】把6本不同的書平均分成三份，每份2本屬于均勻無序分組的問題，若把6本不同的書平均分成三份，每份2本，則有=15（種）不同的分配方式。
4、把6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，每人2本，有多少種不同的分配方式？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用；⑤處理均勻無序分組分配問題的基本方法。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式，組合數計算公式和處理部分均勻分組問題分配的基本方法，結合問題條件就可求出不同分配方式的種數。
【詳細解答】把6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，每人2本可以分兩步進行：第一步，把6本不同的書平均分成三組，有種不同的分法；第二步，將分成的三組分配給甲、乙、丙三人，有種不同的分配方式，若把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本，則有=156=90（種）不同的分配方式。
5、把6本不同的書分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，有多少種不同的分配方式？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用；⑤處理部分均勻無序分組分配問題的基本方法。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式，組合數計算公式和處理部分均勻分組問題的基本方法，結合問題條件就可求出不同的分配方式的種數。
【詳細解答】把6本不同的書分成三份，1份4本，另外兩份每份1本可以分兩步進行：第一步，從6本不同的書中抽取4本，有種不同的分配方式；第二步，把余下的2本書平均分成兩組，有種不同的分配方式，若把6本不同的書分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，則有=151=15（種）不同的分配方式。
6、把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，1人得4本，另外兩人每人得1本，有多少種不同的分配方式？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用；⑤處理部分均勻有序分組分配問題的基本方法。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式，組合數計算公式和處理部分均勻有序分組分配問題的基本方法，結合問題條件就可求出不同的分配方式的種數。
【詳細解答】把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，1人得4本，另外兩人每人得1本可以分兩步進行：第一步，把6本書分成三組，其中一組4本，剩下兩組個1本有種不同分法；第二步，將分成的三組分配給甲，乙，丙三人有種不同的分配方式，若把6本不同的書分給甲，乙，丙三人，1人得4本，另外兩人每人得1本，則有
=156=90（種）不同的分配方式。
7、把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得1本，丙得4本，有多少種不同的分配方式？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用；⑤處理部分均勻無序分組分配問題的基本方法。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式，組合數計算公式和處理部分均勻分組問題的基本方法，結合問題條件就可求出不同的分配方式的種數。
【詳細解答】把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得1本，丙得4本可以分兩步進行：第一步，從6本不同的書中抽取4本分給丙，有種不同的分配方式；第二步，把余下的2本書平均分成兩組，再分給甲，乙個一本，有種不同的分配方式，若把6本不同的書分給甲，乙，丙三人，甲得1本，乙得1本，丙得4本，則有
=152=30（種）不同的分配方式。
『思考問題5』
（1）【典例5】是分組和分配相關的問題，解答這類問題時，應先分清所屬問題的類型，再根據處理該類型問題的基本方法解答問題；
（2）分組與分配問題從分組來看有：①無序不均勻分組問題；②有序不均勻分組問題；③無序均勻分組問題；④有序均勻分組問題；⑤無序部分均勻分組問題；⑥有序部分均勻分組問題；⑦直接分配問題；
（3）解答問題時，正確分辨問題是均勻分組還是不均勻分組；是有序分組還是無序分組的解答問題的關鍵。
〔練習5〕解答下列問題：
1、某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有（ ）（答案：B）
A 4種 B 10種 C 18種 D 20種
2、有6本不同的書按下列方式進行分配，問共有多少種不同的分配方式？
（1）分成1本，2本，3本三組；
（2）分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
（3）分成每組都是2本的三個組；
（4）分給甲、乙、丙三人，每人2本。（答案：（1）分成1本，2本，3本三組，共有60種不同的分配方式；（2）分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，共有360種不同的分配方式；（3）分成每組都是2本的三個組，共有15種不同的分配方式；分給甲、乙、丙三人，每人2本，共有90種不同的分配方式.）
【典例6】解答下列問題：
從0,1,2,3,4五個數字任取出不同的三個數字組成一個三位數，所有這些三位數的個位數字之和是多少？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出所有這些三位數的個位數字之和。
【詳細解答】從0,1,2,3,4五個數字這取出不同的三個數字組成一個三位數有兩種可能的情況：第一種，個位數字是0，這種情況下無重復數字的五位數的個數有=62=12（個）；第二種，個位數字是1,2,3,4中的一個數字，這種情況下無重復數字的三位數的個數有=433=36（個），從0,1,2,3,4五個數字選出不同的三個數字組成一個三位數，所有這些三位數的個位數字之和是012+（1+2+3+4）9=0+90=90。
2、從1,3,5,7,9五個數字這選2個，0,2,4,6,8五個數字這選3個，能組成多少個無重復數字的五位數？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出組成無重復數字的五位數的個數。
【詳細解答】從1,3,5,7,9五個數字這選2個，0,2,4,6,8五個數字這選3個，組成無重復數字的五位數有兩種可能的情況：第一種，0,2,4,6,8五個數字這選出3個數字包含數字0，這種情況下無重復數字的五位數的個數有=106424=5760（個）；第二種，0,2,4,6,8五個數字這選出3個數字不包含數字0，這種情況下無重復數字的五位數的個數有=104120=4800（個），從1,3,5,7,9五個數字這選2個，0,2,4,6,8五個數字這選3個，能組成5760+4800=10560（個）無重復數字的五位數。
3、用0,1,2,3,4,5六個數字：
（1）能組成多少個無重復數字的4位偶數；
（2）能組成多少個無重復數字且是5的倍數的5位數；
（3）能組成多少個比1325大的4位數？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】（1）根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出組成無重復數字的4位偶數的個數；（2）根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出組成無重復數字且是5的倍數的5位數的個數；（3）根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出能組成比1325大的4位數的個數。
【詳細解答】（1）組成無重復數字的4位偶數有兩種可能的情況：第一種，個位數是0，這樣的偶數有=106=60（個）；第二種，個位數是2或4，這樣的偶數有
=2462=96（個），用0,1,2,3,4,5六個數字，能組成60+96=156（個）無重復數字的4位偶數；（2）組成無重復數字且是5的倍數的5位數有兩種可能的情況：第一種，個位數是0，這樣的偶數有=524=120（個）；第二種，個位數是5，這樣的偶數有=446=96（個），用0,1,2,3,4,5六個數字，能組成120+96=216（個）無重復數字且是5的倍數的5位數；（3）組成比1325大的4位數有兩種可能的情況：第一種，最高數位數字是1，這樣比1325大的四位數有+=23+262=30（個）；第二種，最高數位數字是,2,3,4,5中的任意一個數字，這樣比1325大的四位數有=4106=240（個），用0,1,2,3,4,5六個數字，能組成30+240=270（個）比1325大的四位數。
4、從1,2,3，-------30這前30個自然數中，每次取不同的三個數，使這三個數的和是3的倍數的取法有多少種？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出每次取不同的三個數，使這三個數的和是3的倍數的取法的種數。
【詳細解答】每次取不同的三個數，使這三個數的和是3的倍數有四種可能情況，第一種，從1，4，7，10，13，16，19，22，25，28這10個自然數中任意取出3個，不同的取法有種；第二種，從2，5，8，11，14，17，20，23，26，29這10個自然數中任意取出3個，不同的取法有種；第三種，從3，6，9，12，15，18，21，24，27，30這10個自然數中任意取出3個，不同的取法有種；第四種，分別從1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，3，6，9，12，15，18，21，24，27，30這三組10個自然數中各取出1個，不同的取法有種，從1,2,3，-------30這前30個自然數中，每次取不同的三個數，使這三個數的和是3的倍數的取法有+++=120+120+120+1000=1360（種）。
5、從數字0,1,3,5,7中取出三個不同的數字作系數可以組成多少個不同的一元二次方程？其中有實數解的有幾個？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出取出三個不同的數字作系數可以組成方程的個數，并求出方程中有實數解的方程的個數。
【詳細解答】取出三個不同的數字作系數可以組成一元二次方程有兩種可能的情況：第一種，取出的三個數字中含有0，分兩步進行：第一步取出三個數，有種取法；第二步，把取出的三個數字作為系數組成一元二次方程，有個不同的方程，這種情況下組成不同的一元二次方程有=622=24（個）；第二種，取出的三個數字中不含有0，分兩步進行：第一步取出三個數，有種取法；第二步，把取出的三個數字作為系數組成一元二次方程，有個不同的方程，這種情況下組成不同的一元二次方程有=46=24（個），從數字0,1,3,5,7中取出三個不同的數字作系數可以組成24+24=48（個）不同的一元二次方程；一元二次方程有實數解的充分必要條件是判別式≥0，對第一種情況只需常數項為0，一元二次方程就有實數解，這樣的方程有=62=12（個）；對第二種情況有兩種可能，第一，一次項系數為5，二次項系數與常數項只能是數字1，3，這樣的方程有2個；第二，一次項系數為7，二次項系數與常數項的數字1，3，5三個數字任取兩個，這樣的方程有=32=6（個），這些一元二次方程中有實數解的不同方程有12+2+6
=20（個）。
6、已知平面∥，在內有四個點，在內有6個點。
（1）過這10個點的三個點作一平面，最多可以作多少個不同的平面？
（2）以這些點為頂點，最多可以作多少個三棱錐？
（3）上述三棱錐中，最多可以有多少個不同的體積？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】（1）根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出最多可以作不同的平面個數；（2）根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出最多可以作三棱錐的個數；（3）根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出最多可以有不同的體積三棱錐的個數。
【詳細解答】（1）過這10個點的三個點作一平面有3種可能的情況：第一種，在平面內取一點，在平面內取兩點，這樣的平面最多有=415=60（個）；第二種，在平面內取兩點，在平面內取一點，這樣的平面最多有=66=36（個）；第三種，分別在平面內取三點，在平面內取三點，這樣的平面最多有1+1=2（個），過這10個點的三個點作一平面，最多可以作60+36+2=98（個）不同的平面；（2）過這10個點作三棱錐有3種可能的情況：第一種，在平面內取一點，在平面內取三點，這樣的三棱錐最多有=420=80（個）；第二種，在平面內取兩點，在平面內取兩點，這樣的三棱錐最多有=615=90（個）；第三種，分別在平面內取三點，在平面內取一點，這樣的三棱錐最多有=46=24（個），過這10個點的三個點作三棱錐，最多可以作80+90+24=194（個）不同的平面；（3）平面∥，平面內任取一點，到平面的距離都相等，平面內任取一點，到平面的距離都相等，（2）中的三棱錐最多可以有
++=4+20+90=114（個）不同的體積.
7、已知10件不同的產品中，共有4件次品，現對它們進行一一測試，直到找到所有4件次品為止。
（1）若恰在第五次測試才測到第一件次品，第十次才測到最后一件次品的不同測試方法有多少種？
（2）若恰在第五次測試后就找到了所有4件次品，則這樣的不同測試方法數又是多少？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】（1）根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出第十次才測到最后一件次品的不同測試方法的種數；（2）根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出恰在第五次測試后就找到了所有4件次品方法的種數。
【詳細解答】（1）若恰在第五次測試才測到第一件次品，第十次才測到最后一件次品可以按三步進行：第一步，從6件正品中取出4件排在前4個位置，有種方法；第二步，從4件次品中取出2件排在第五和第十個位置，有種方法；第三步，把余下的2件次品和2件正品排在剩下的4個位置，有種方法，若恰在第五次測試才測到第一件次品，第十次才測到最后一件次品，則不同測試方法有==15246224
=103620（種）；（2）若恰在第五次測試后找到了所有4件次品可以按二步進行：第一步，從4件次品中取出1件排在第五個位置，有種方法；第二步，從6件正品中取出1件與余下的3件次品，排在前4個位置，有種方法，,恰在第五次測試后就找到了所有4件次品，則這樣的不同測試方法有=4624=576（種）。
8、從6名短跑運動員中選4人參加4x100米接力賽，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，問有多少種不同的參賽方法？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出不同的安排方法的種數。
【詳細解答】從6名短跑運動員中選4人參加4x100米接力賽，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒有3種可能的情況：第一種，甲，乙兩人都選上，第一步從6人中選出4人，有種選法；第二步，把選出的4人安排參加比賽，有+種，這種情況下，不同的參賽方法有（+）=6（32+222）=84（種）；
第二種，甲選上乙沒有選上或甲沒有選上乙選上，第一步從6人中選出4人，有種選法；第二步，把選出的4人安排參加比賽，有種，這種情況下，不同的參賽方法有=2436=144（種）；第三種，甲乙都沒有選上，第一步從6人中選出4人，有種選法；第二步，把選出的4人安排參加比賽，有種，這種情況下，不同的參賽方法有=124=24（種），若從6名短跑運動員中選4人參加4x100米接力賽，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，則有84+144+24=252（種）不同的參賽方法。
9、在一張節目表上原有6個節目，如果保持這些節目的相對順序不變，再添加進去3個節目，求共有多少種不同的安排方法？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出不同的安排方法的種數。
【詳細解答】在一張節目表上原有6個節目，如果保持這些節目的相對順序不變，再添加進去3個節目有3種可能的情況：第一種，添加進去3個節目安排在一起，這種情況下，不同的安排方法的有=67=42（種）；第二種，添加進去3個節目其中2個節目安排在一起，這種情況下，不同的安排方法的有=32212=252（種）；第三種，添加進去3個節目都不安排在一起，這種情況下，不同的安排方法的有=356=210（種），若在一張節目表上原有6個節目，如果保持這些節目的相對順序不變，再添加進去3個節目，則共有42+252+210=504（種）不同的安排方法。
10、在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟種植A、B兩種作物，每種作物種一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物間隔不少于6壟，則不同的種植方法共有多少種？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件就可求出不同的種植方法共有的種數。
【詳細解答】在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟種植A、B兩種作物，每種作物種一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物間隔不少于6壟有三種可能的情況：第一種，A、B兩種作物間隔為6壟，第一步可在第1壟與第8壟或第2壟與第9壟或第3壟與第10壟之間選出2壟有種選法；第二步，在選出的2壟地上種植A、B兩種作物有種方法，這種情況下，不同的種植方法有=32=6（種）；第二種，A、B兩種作物間隔為7壟，第一步可在第1壟與第9壟或第2壟與第10壟之間選出2壟有種選法；第二步，在選出的2壟地上種植A、B兩種作物有種方法，這種情況下，不同的種植方法有=22=4（種）；第三種，A、B兩種作物間隔為8壟，第一步可在第1壟與第10壟之間選出2壟，只有1種選法；第二步，在選出的2壟地上種植A、B兩種作物有種方法，這種情況下，不同的種植方法有=12=2（種），若在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟種植A、B兩種作物，每種作物種一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物間隔不少于6壟，則不同的種植方法共有6+4+2=12（種）。
11、有10個優秀名額分到高三年級一，二，三班，分到各班的名額數不少于它們班級的序號數，問有多少種不同的分配方案？
【解析】
【知識點】①組合定義與性質；②組合數計算公式及運用③不平均無序分組的基本方法。
【解題思路】根據組合的性質，運用組合數計算公式和不平均無序分組的基本方法，結合問題條件就可求出不同的分配方案的種數。
【詳細解答】把10個優秀名額分到高三年級一，二，三班，分到各班的名額數不少于它們班級的序號數可以分兩步進行：第一步，給二班1個名額，三班2個名額只有一種方法；第二步，把余下的7個名額不均勻地分成三個部分，可以視為在6個空位任選2個放入兩個插板，這樣的方法有種，若有10個優秀名額分到高三年級一，二，三班，分到各班的名額數不少于它們班級的序號數，則有=35=15（種）不同的分配方案。
12、某天要上政治、語文、數學、物理、體育、生物六節課，但第一節不排體育，第二節不上物理，第六節不上數學，這天的課表有幾種排法？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②排列數計算公式及運用；③排列基本問題處理的基本方法。
【解題思路】根據排列的性質，運用排列數計算公式和排列基本問題處理的基本方法，結合問題條件就可求出這天的課表有排法的種數。
【詳細解答】某天要上政治、語文、數學、物理、體育、生物六節課，但第一節不排體育，第二節不上物理，第六節不上數學，排這天的課表有三種可能情況：第一種，：第一步，體育課排第二節課；第二步，在余下的4節課中排數學課，有種排法；第三步，在余下的4節課中排物理課，有種排法；第四步，在余下的3節課中排剩下3學科，有種排法，這種情況下，排這天的課的方法有=446=96（種）；第二種，：第一步，體育課排第六節課；第二步，在余下的4節課中排物理課，有種排法；第三步，在余下的4節課中排數學課，有種排法；第四步，在余下的3節課中排剩下3學科，有種排法，這種情況下，排這天的課的方法有=446=96（種）；第三種，：第一步，排體育課，在第三節，第四節，第五節的3節課中排一節，有種排法；第二步，在余下的5節課中排數學課，若數學課排第二節，則余下的四個學科可在剩下的四節課隨意排有種排法，這種情況下，排這天的課的方法有=324=72（種）；若在第一節，第三節，第四節，第五節余下的3節課中排一節，有種排法；第三步，在余下的3節課中排物理課，有種排法；第四步，在余下的3節課中排剩下3學科，有種排法，這種情況下，排這天的課的方法有=3336=162（種），若某天要上政治、語文、數學、物理、體育、生物六節課，但第一節不排體育，第二節不上物理，第六節不上數學，則排這天的課的方法有96+96+72+162=426（種）。
13、全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作，若每天早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數為多少？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用；⑤平均無序分組的基本方法。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式，組合數計算公式和平均無序分組的基本方法，結合問題條件就可求出開幕式當天不同排班的種數。
【詳細解答】從14名志愿者中抽取12名志愿者參加接待工作，安排每天早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班可以分三步進行：第一步，從14名志愿者中抽取12名志愿者有種；第二步，把選出的12名志愿者平均分成三組有種；第三步，將分成的三組志愿者安排到早，中，晚三班，有種，若從14名志愿者中抽取12名志愿者參加接待工作，安排每天早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數為=9157756=3153150（種）。
14、4位同學參加某種形式的競賽，競賽的規則規定：每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得-100分，選乙題答對得90分，答錯得-90分，若4位同學的總分為0分，則這4位同學不同得分情況的種數是多少？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用；⑤平均無序分組的基本方法。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式，組合數計算公式和平均無序分組的基本方法，結合問題條件就可求出這4位同學不同得分情況的種數。
【詳細解答】4位同學參加某種形式的競賽，競賽的規則規定：每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得-100分，選乙題答對得90分，答錯得-90分，4位同學的總分為0分有三種可能的情況：第一種，4位同學都選作甲題，其中兩人答對，兩人答錯，這樣的不同得分情況種數有=62=12（種）；第二種，4位同學都選作乙題，其中兩人答對，兩人答錯，這樣的不同得分情況種數有=62=12（種）；
第三種，4位同學中，二人選作甲題，其中1人答對，1人答錯，二人選作乙題，其中1人答對，1人答錯，這樣的不同得分情況種數有=3222=24（種），若
4位同學參加某種形式的競賽，競賽的規則規定：每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得-100分，選乙題答對得90分，答錯得-90分，4位同學的總分為0分，則這4位同學不同得分情況的種數為12+12+24=48（種）。
15、從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這六人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有多少種？
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式，組合數計算公式和平均無序分組的基本方法，結合問題條件就可求出不同的傳遞方法共有的種數。
【詳細解答】從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這六人中甲、乙兩人不去巴黎游覽的可能情況有三種：第一種，甲，乙二人都沒有選中，這樣的選擇方案有=124=24（種）；第二種，甲，乙兩人選中一人，這樣的選擇方案有=2436=144（種）；第三種，甲，乙兩人都選中，這樣的選擇方案有=1662=72（種），若從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這六人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有24+144+72=240（種）。
16、某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成。如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產生，則不同的傳遞方法共有 （用數字作答）
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式，組合數計算公式和平均無序分組的基本方法，結合問題條件就可求出不同的傳遞方法共有的種數。
【詳細解答】奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成。第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產生，傳遞方法可以分三步進行：第一步，先從甲，乙二人中選一人傳遞最后一棒；第二步，從甲，乙，丙余下的二人中選一人傳遞第一棒；第三步，剩下的四人在剩下的四棒中可以隨意安排，不同的傳遞方法共有=2224=96（種）。
17、有4張分別標有數字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標有數字1，2，3，4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行，如果取出的4張卡片所標有的數字之和等于10，則不同的排法共有 種（用數字作答）
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式，組合數計算公式和平均無序分組的基本方法，結合問題條件就可求出取出的4張卡片所標有的數字之和等于10，不同的排法種數。
【詳細解答】取出的4張卡片所標有的數字之和等于10，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行有三種可能的情況：第一種，取出卡號數字是1，2，3，4，不同的取法和排法有（++++）=（4+6+4+1）24=384（種）；第二種，取出卡號數字是1，1，4，4，不同的取法和排法有=1124=24（種）；第三種，取出卡號數字是2，2，3，3，不同的取法和排法有=1124=24（種），從這8張卡片中取出4張卡片排成一行，如果取出的4張卡片所標有的數字之和等于10，則不同的排法共有384+24+24=432（種）。
『思考問題6』
（1）【典例6】是排列組合的綜合問題，解決這類問題的基本方法是從“分析”，“分辨”，“分類”，“分步”的角度入手；這里的“分析”就是找出問題中的條件和結論，弄清楚哪些是元素，哪些是位置；“分辨”是辨別問題中哪些是排列，哪些是組合，對哪些元素的位置有特別的限制；“分類”是對復雜問題中的元素分成互相排斥的幾類，再逐類解答；“分步”是把問題化成幾個互相聯系的步驟，每一步都是簡單的排列或組合問題，再逐步加以解答；
（2）處理排列組合綜合問題的基本步驟是：①分析問題，分辨清楚問題中哪些是排列，哪些是組合；②分析問題，分辨清楚問題中哪些是分類，哪些是分步；③分析問題，分辨清楚問題中涉及到幾個基本問題，對于每一個基本問題進行逐步解決；
（3）排列的主要特征是元素與元素之間與順序有關；
（4）組合的主要特征是元素與元素之間與順序無關；
（5）面對一個實際問題分辨它是排列還是組合的簡便方法是看元素與元素之間是與順序有關；
（6）在實際問題中，排列與組合往往同時出現，解決既有排列又有組合的問題的基本方法是先組合 后排列。
〔練習6〕解答下列問題：
1、用數字0，1，2，3，4組成無重復數字的五位數，若個位數字小于百位上的數字，則這樣的五位數有多少個？（答案：這樣的五位數有48個。）
2、馬路上有編號為1，2，-------12的十二盞路燈，為了節約用電又不影響照明，可以關掉其中三盞，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關掉，則滿足條件不同的關燈方法有多少種？（答案：不同的關燈方法有56種。）
3、某人練習打靶，一共打了8發，中了3發，其中恰有兩發連中，問不同的中靶方式共有
多少種？（答案：問不同的中靶方式共有30種。）
4、將4名教師分配到3所中學任教，每所中學至少一名教師則不同的分配方案共有多少種？（答案：不同的分配方案共有36種。）
5、體育老師把9個相同的足球放入編號為1，2，3的三個箱子中，要求每個箱子放球的個數不少于其編號，則不同的放法有多少種？（答案：不同的放法有10種。）
6、從6人中選出4人參加數學、物理、化學、英語比賽，每人只能參加其中一項，其中甲、乙兩人都不能參加英語比賽，則不同的參賽方案的種數共有多少種？（答案：不同的參賽方案的種數共有240種。）
【雷區警示】
【典例7】解答下列問題：
已知=12，求x的值。
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②排列數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件得到關于x方程（或不等式），求解方程（或不等式）就可求出x的值。
【詳細解答】=12，x（x-1）=12①，x≥2②，聯立①②解得：x=4，若=12，則x的值為4。
2、從0，2中選一個數字，從1，3，5選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為（ ）
A 24 B 18 C 12 D 6
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式和組合數計算公式，結合問題條件求出組成無重復數字的三位奇數的個數就可得出選項。
【詳細解答】從0，2中選一個數字，從1，3，5選兩個數字，組成無重復數字的三位奇數有兩種不同的情況：第一種，從0，2中選取數字0，從1，3，5選兩個數字，組成無重復數字的三位奇數個數為=32=6（個）；第二種，從0，2中選取數字2，從1，3，5選兩個數字，組成無重復數字的三位奇數個數為=322=12（個），從0，2中選一個數字，從1，3，5選兩個數字，組成無重復數字的三位奇數的個數為6+12=18（個），
B正確，選B。
3、從6雙不同顏色的鞋中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有（ ）
A 480種 B 255種 C 240種 D 120種
【解析】
【知識點】①排列定義與性質；②組合定義與性質；③排列數計算公式及運用；④組合數計算公式及運用；⑤平均無序分組的基本方法。
【解題思路】根據排列和組合的性質，運用排列數計算公式，組合數計算公式和平均無序分組的基本方法，結合問題條件求出從6雙不同顏色的鞋中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法種數就可得出選項。
【詳細解答】從6雙不同顏色的鞋中任取1雙的取法有種，從剩下的10只鞋取不同顏色的兩只的取法有種，從6雙不同顏色的鞋中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有=640=240（種）， C正確，選C。
『思考問題7』
（1）【典例7】是解答排列與組合時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括：①忽視，中n，m的取值范圍，導致解答問題出現錯誤；②忽視問題中的隱含條件，導致解答問題出現錯誤；③忽視平均分組的無序性，導致解答問題出現錯誤；
（2）解答排列與組合時，為避免忽視，中n，m的取值范圍的雷區，需要認真理解排列數和組合數計數公式，注意公式中n，m的取值范圍；
（3）解答排列與組合時，為避免忽視問題中的隱含條件的雷區，需要認真挖掘問題中的隱含條件；
（4）解答排列與組合時，為避免忽視平均分組的無序性的雷區，問題涉及平均分組時，分組后需要排除分組過程中順序產生的影響。
〔練習7〕解答下列問題：
1、解不等式＞6。
2、從1,3,5,7,9五個數字這選2個，0,2,4,6,8五個數字這選3個，能組成多少個無重復數字的五位數？
3、把6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，每人2本，有多少種不同的分配方式？
【追蹤考試】
【典例8】解答下列問題：
1、有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六，星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為（ ）(2023全國高考甲卷理）
A 120 B 60 C 40 D 30
【解析】
【考點】①分步計算原理及運用；②組合定義與性質；③組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用分步計算原理和組合數計算公式，求出則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數就可得出選項。
【詳細解答】第一天從五人任選兩人參加星期六服務的選擇種數為==10（種），
第二天參加星期天服務的選擇種數為=6（種），恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為106=60（種）， B正確，選B。
2、甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀兩種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有一種相
同的選法共有（ ）（2023全國高考乙卷理）
A 30種 B 60種 C 120種 D 240鐘
【解析】
【考點】①組合定義與性質；②乘法原理及運用；③組合數計算公式記運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用乘法原理和組合數計算公式，結合問題條件求出這
兩人選讀的課外讀物中恰有一種相同的選法總數就可得出選項。
【詳細解答】兩人選讀同一種課外讀物的選法為種，甲從剩余的五種讀物選一種
的選法為種，乙從剩余的四種讀物選一種的選法為種，這兩人選讀的課外讀物中恰有一種相同的選法共有=654=120（種）， C正確，選C。
3、某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課程中選修2門或3門課，且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）（2023全國高考新高考I）
【解析】
【考點】①組合定義與性質；②乘法原理及運用；③加法原理及運用；④組合數計算公式記運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用加法原理，乘法原理和組合數計算公式，結合問題條件就可求出不同的選課方案總數。
【詳細解答】若選修2門，從4門不同體育選修1門的選法為種，從4門不同的藝術選修1門的選法為種，從8門不同的課程中選修2門，且每類選修課至少選修1門的不同選法為=44=16（種）；若選修3門，有兩種可能，其一選修2門體育課，1門藝術課，其二選修1門體育課，2門藝術課，從4門不同的體育選修2門的選法為種，從4門不同的藝術選修1門的選法為種，從4門不同的體育選修1門的選法為種，從4門不同的藝術課選修2門的選法為種，從8門不同的課程中選修3門，且每類選修課至少選修1門的不同選法為+=64+46=48（種），從8門不同的課程中選修2門或3門課，且每類選修課至少選修1門的不同的選課方案共有16+48=64（種），
4、某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層抽樣方法作抽樣調查，擬從
初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）（2013全國高考新高考II）
A B C D
【解析】
【考點】①分層抽樣定義與性質；②分層抽樣的基本方法；③組合定義與性質； ④乘法原理及運用；⑤組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據分層抽樣和組合的性質，運用分層抽樣的基本方法，乘法原理和組合數計算公式，結合問題條件求出不同的抽樣結果的總數就可得出選項。
【詳細解答】抽取60名學生中，初中部人數為60400/400+200=40（人），高中部人數為60200/400+200=20（人），不同的抽樣結果總數為 ， D正確，選D。
5、甲乙丙丁戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有（ ）（2022全國高考新高考II卷）
A 12種 B 24種 C 36種 D 48種
【解析】
【考點】①排列定義與性質；②排列數計算公式及運用。
【解答思路】根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件求出甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式的種數，就可得出選項。
【詳細解答】甲乙丙丁戊5名同學站成一排，且甲不站在兩端，丙和丁相鄰，不同排列方式有=226=24（種），B正確，選B。
『思考問題8』
（1）【典例8】是近幾年高考（或高三診斷考試）試卷中有關分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理及運用的問題，歸結起來注意包括：①分類計數（或稱加法）原理及運用；②分步計數（或稱乘法）原理及運用；③分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的綜合運用；
（2）解答二項式定理及運用的問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，判斷問題的所屬類型；②按照解答該類型問題的基本思路和方法對問題實施解答；③得出問題解答的最終結果。
〔練習8〕解答下列問題：
1、將5名北京東奧會志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑，冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）（2021全國高考乙卷）（答案：C）
A 60種 B 120種 C 240種 D 480種
2、6名同學到甲，乙，丙三個場館做志愿者，每名同學只去一個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）（2020全國高考新高考I理）（答案：C）
A 120種 B 90種 C 60種 D 30種
3、安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由一人完成，則不同的安排方式共有（ ）（2020全國高考新高考II理）（答案：D）
A 12種 B 18種 C 24種 D 36種
C 42種 D 48種

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