資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
備考2024中考二輪數(shù)學(xué)《高頻考點(diǎn)沖刺》（全國(guó)通用）
專題22 圓的性質(zhì)問題
考點(diǎn)掃描☆聚焦中考
圓的性質(zhì)問題在近幾年各地中考試題中，填空題、選擇題、解答題三種形式都有所考查，多數(shù)題目較難，屬于中、高檔題；考查的內(nèi)容主要涉及的有：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理及推論；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；三角形外接圓與外心的性質(zhì)等；從考查的熱點(diǎn)主要涉及的有：垂徑定理、圓周角定理及推論、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形外接圓與外心的性質(zhì)。
考點(diǎn)剖析☆典型例題
例1（2023 涼山州）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，則OC＝（　　）
A．1 B．2 C．2 D．4
例2（2023 武漢）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求證：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，，求⊙O的半徑．
例3（2023 赤峰）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝105°，連接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．則∠CBD的度數(shù)是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
例4（2023 淄博）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E．若AD＝2，DE＝3，則⊙O的半徑為（　　）
A． B． C． D．
考點(diǎn)過關(guān)☆專項(xiàng)突破
類型一 垂徑定理及其應(yīng)用
1．（2023 宜昌）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，AC，OB交于點(diǎn)D．若AD＝CD＝8，OD＝6，則BD的長(zhǎng)為（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2022 云南）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若AB＝26，CD＝24，則∠OCE的余弦值為（　　）
A． B． C． D．
3．（2021 麗水）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥OA于點(diǎn)E，連結(jié)OC，OD．若⊙O的半徑為m，∠AOD＝∠α，則下列結(jié)論一定成立的是（　　）
A．OE＝m tanα B．CD＝2m sinα C．AE＝m cosα D．S△COD＝m2 sinα
4．（2023 廣西）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（　　）
A．20m B．28m C．35m D．40m
5．（2021 淄博）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語言表達(dá)即：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長(zhǎng)度是（　　）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
6．（2023 湖州）如圖，OA是⊙O的半徑，弦BC⊥OA于點(diǎn)D，連結(jié)OB．若⊙O的半徑為5cm，BC的長(zhǎng)為8cm，則OD的長(zhǎng)是 　　cm．
7．（2019 嘉興）如圖，在⊙O中，弦AB＝1，點(diǎn)C在AB上移動(dòng)，連接OC，過點(diǎn)C作CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，則CD的最大值為　　．
8．（2023 成都）為傳承非遺文化，講好中國(guó)故事，某地準(zhǔn)備在一個(gè)場(chǎng)館進(jìn)行川劇演出．該場(chǎng)館底面為一個(gè)圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿AB的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納 　　名觀眾同時(shí)觀看演出．（π取3.14，取1.73）
9．（2023 貴州）如圖，已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接EA，EB．
（1）寫出圖中一個(gè)度數(shù)為30°的角：　　，圖中與△ACD全等的三角形是 　　；
（2）求證：△AED∽△CEB；
（3）連接OA，OB，判斷四邊形OAEB的形狀，并說明理由．
10．（2023 上海）如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8，點(diǎn)C在BO延長(zhǎng)線上，且cos∠ABC＝，OC＝OB．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求∠BAC的正切值．
類型二 圓周角定理
1．（2023 棗莊）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的度數(shù)為（　　）
A．32° B．42° C．48° D．52°
2．（2023 山西）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC，BD為對(duì)角線，BD經(jīng)過圓心O．若∠BAC＝40°，則∠DBC的度數(shù)為（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．（2023 湖北）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，連接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，則∠ADC＝（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．（2023 阜新）如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，若∠AOC＝90°，∠ACB＝25°，則∠BOC的度數(shù)是（　　）
A．20° B．25° C．40° D．50°
5．（2023 溫州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，則∠CAO的度數(shù)與BC的長(zhǎng)分別為（　　）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
6．（2023 青海）如圖，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為D．若∠A＝20°，則∠ABC＝（　　）
A．20° B．30° C．35° D．55°
7．（2023 長(zhǎng)沙）如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，則OE的長(zhǎng)度為 　　．
8．（2023 衡陽）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是一條弦，D是弧AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)H，DB交AC于點(diǎn)G．
（1）求證：AF＝DF．
（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半徑．
9．（2023 無錫）如圖，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)D為⊙O的切線，CD與AB相交于點(diǎn)E．DF∥AB，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，CF＝CD．
（1）求∠F 的度數(shù)；
（2）若 DE DC＝8，求⊙O的半徑．
10．（2023 內(nèi)蒙古）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是上一點(diǎn)，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AD，DC，CP．
（1）求證：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（請(qǐng)用兩種證法解答）
（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半徑為3，CP＝4，求AP的長(zhǎng)．
類型三 圓內(nèi)接四邊形
1．（2023 紹興）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，若∠D＝100°，則∠B的度數(shù)是 　　．
2．（2023 西藏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)是（　　）
A．65° B．115° C．130° D．140°
3．（2023 襄陽）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上．若∠ADE＝70°，則∠AOC＝　　度．
4．（2023 淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC是⊙O的直徑，BC＝2CD，則∠BAD的度數(shù)是 　　°．
5．（2023 寧夏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝　　°．
6．（2023 北京）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）過點(diǎn)C作CF∥AD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AC＝AD，BF＝2，求此圓半徑的長(zhǎng)．
類型四 三角形的外接圓與外心
1．（2023 陜西）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝72°．過點(diǎn)O作BC的垂線交于點(diǎn)D，連接BD，則∠D的度數(shù)為（　　）
A．64° B．54° C．46° D．36°
2．（2023 自貢）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，連接BD，∠DCA＝41°，則∠ABC的度數(shù)是（　　）
A．41° B．45° C．49° D．59°
3．（2023 巴中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠C＝25°，則∠BAO＝（　　）
A．25° B．50° C．60° D．65°
4．（2023 內(nèi)蒙古）如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分別為D，E，F(xiàn)，連接DE，EF，F(xiàn)D．若DE+DF＝6.5，△ABC的周長(zhǎng)為21，則EF的長(zhǎng)為（　　）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
5．（2023 湖北）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn)△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長(zhǎng)為1，圖中陰影部分的面積為（　　）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
6．（2023 十堰）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點(diǎn)E，AE＝DE，BC＝CE，過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FO交BE于點(diǎn)G，若DE＝3，EG＝2，則AB的長(zhǎng)為（　　）
A．4 B．7 C．8 D．
7．（2023 金昌）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，∠CDB＝55°，則∠ABC＝　　°．
8．（2023 呼和浩特）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，連接AD，BD．若AB＝5，AC＝4，則BD＝　　，CD＝　　．
9．（2023 南京）如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點(diǎn)O作AC的垂線，垂足為D，分別交直線BC，于點(diǎn)E，F(xiàn)，射線AF交直線BC于點(diǎn)G．
（1）求證AC＝CG．
（2）若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，且EB＝CG，求∠BAC的度數(shù)．
（3）當(dāng)BC＝6時(shí)，隨著CG的長(zhǎng)度的增大，EB的長(zhǎng)度如何變化？請(qǐng)描述變化過程，并說明理由．
10．（2023 陜西）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝45°，過點(diǎn)B作BC的垂線，交⊙O于點(diǎn)D，并與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，作BF⊥AC，垂足為M，交⊙O于點(diǎn)F．
（1）求證：BD＝BC；
（2）若⊙O的半徑r＝3，BE＝6，求線段BF的長(zhǎng)．
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專題22 圓的性質(zhì)問題
考點(diǎn)掃描☆聚焦中考
圓的性質(zhì)問題在近幾年各地中考試題中，填空題、選擇題、解答題三種形式都有所考查，多數(shù)題目較難，屬于中、高檔題；考查的內(nèi)容主要涉及的有：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理及推論；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；三角形外接圓與外心的性質(zhì)等；從考查的熱點(diǎn)主要涉及的有：垂徑定理、圓周角定理及推論、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形外接圓與外心的性質(zhì)。
考點(diǎn)剖析☆典型例題
例1（2023 涼山州）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，則OC＝（　　）
A．1 B．2 C．2 D．4
【答案】B
【點(diǎn)撥】連接OB，設(shè)OA交BC于E，由∠ADB＝30°，得∠AOB＝60°，根據(jù)OA⊥BC，BC＝2，得BE＝BC＝，故sin60°＝，從而OB＝2＝OC＝2．
【解析】解：連接OB，設(shè)OA交BC于E，如圖：
∵∠ADB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA⊥BC，BC＝2，
∴BE＝BC＝，
在Rt△BOE中，sin∠AOB＝，
∴sin60°＝，
∴OB＝2，
∴OC＝2；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握含30°角的直角三角形三邊關(guān)系．
例2（2023 武漢）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求證：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，，求⊙O的半徑．
【答案】見解析
【點(diǎn)撥】（1）利用圓周角定理可得，，結(jié)合∠ACB＝2∠BAC可證明結(jié)論；
（2）過點(diǎn)O作半徑OD⊥AB于點(diǎn)E，可得AE＝BE，根據(jù)圓周角、弦、弧的關(guān)系可證得BD＝BC，即可求得BE＝2，，利用勾股定理可求解DE＝1，再利用勾股定理可求解圓的半徑．
【解析】（1）證明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC；
（2）解：過點(diǎn)O作半徑OD⊥AB于點(diǎn)E，連接DB，
∴AE＝BE，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC．
∴BD＝BC．
∵AB＝4，，
∴BE＝2，，
在 Rt△BDE 中，∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，
OB2＝（OB﹣1）2+22，
解得，
即⊙O的半徑是 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，圓心角、弦、弧的關(guān)系，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
例3（2023 赤峰）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝105°，連接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．則∠CBD的度數(shù)是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】A
【點(diǎn)撥】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理求得∠BOD的度數(shù)，再結(jié)合已知條件求得∠COD的度數(shù)，然后利用圓周角定理求得∠CBD的度數(shù)．
【解析】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝105°，
∴∠A＝75°，
∴∠BOD＝2∠A＝150°，
∵∠BOC＝2∠COD，
∴∠BOD＝3∠COD＝150°，
∴∠COD＝50°，
∴∠CBD＝∠COD＝25°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)及圓周角定理，結(jié)合已知條件求得∠BOD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
例4（2023 淄博）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E．若AD＝2，DE＝3，則⊙O的半徑為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【點(diǎn)撥】連接OA，OC，CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠ACB＝30°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝OA，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】解：連接OA，OC，CE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴AC＝OA，
∵∠AEC＝∠ACB＝30°，∠CAD＝∠EAC，
∴△ACD∽△AEC，
∴，
∴AC2＝AD AE，
∵AD＝2，DE＝3，
∴AC＝＝＝，
∴OA＝AC＝，
即⊙O的半徑為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓和外心，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形 的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)過關(guān)☆專項(xiàng)突破
類型一 垂徑定理及其應(yīng)用
1．（2023 宜昌）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，AC，OB交于點(diǎn)D．若AD＝CD＝8，OD＝6，則BD的長(zhǎng)為（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)垂徑定理的推論得OB⊥AC，再根據(jù)勾股定理得OA＝＝＝10，即可求出答案．
【解析】解：∵AD＝CD＝8，
∴OB⊥AC，
在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，
∴OB＝10，
∴BD＝10﹣6＝4．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，由垂徑定理得OB⊥AC是解題的關(guān)鍵．
2．（2022 云南）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若AB＝26，CD＝24，則∠OCE的余弦值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【點(diǎn)撥】利用垂徑定理求得CE，利用余弦的定義在Rt△OCE中解答即可．
【解析】解：∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝12，
∵AB＝26，
∴OC＝13．
∴cos∠OCE＝．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2021 麗水）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥OA于點(diǎn)E，連結(jié)OC，OD．若⊙O的半徑為m，∠AOD＝∠α，則下列結(jié)論一定成立的是（　　）
A．OE＝m tanα B．CD＝2m sinα C．AE＝m cosα D．S△COD＝m2 sinα
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)垂徑定理和銳角三角函數(shù)計(jì)算則可進(jìn)行判斷．
【解析】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥OA于點(diǎn)E，∴DE＝CD，
在Rt△EDO中，OD＝m，∠AOD＝∠α，
∴tanα＝，
∴OE＝＝，
故選項(xiàng)A不符合題意；
∵AB是⊙O的直徑，CD⊥OA，
∴CD＝2DE，
∵⊙O的半徑為m，∠AOD＝∠α，
∴DE＝OD sinα＝m sinα，
∴CD＝2DE＝2m sinα，
故選項(xiàng)B正確，符合題意；
∵cosα＝，
∴OE＝OD cosα＝m cosα，
∵AO＝DO＝m，
∴AE＝AO﹣OE＝m﹣m cosα，
故選項(xiàng)C不符合題意；
∵CD＝2m sinα，OE＝m cosα，
∴S△COD＝CD×OE＝×2m sinα×m cosα＝m2sinα cosα，
故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，勾股定理，垂徑定理，解直角三角形等知識(shí)．
4．（2023 廣西）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（　　）
A．20m B．28m C．35m D．40m
【答案】B
【點(diǎn)撥】設(shè)主橋拱半徑R，根據(jù)垂徑定理得到AD＝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【解析】解：由題意可知，AB＝37m，CD＝7m，
設(shè)主橋拱半徑為R m，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半徑，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝（m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R＝≈28．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用，涉及勾股定理，解題的關(guān)鍵是用勾股定理列出關(guān)于R的方程解決問題．
5．（2021 淄博）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語言表達(dá)即：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長(zhǎng)度是（　　）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
【答案】D
【點(diǎn)撥】連接OA構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由DE垂直AB得到點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，由AB＝6可求出AE的長(zhǎng)，再設(shè)出圓的半徑OA為x，表示出OE，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程直接可得2x的值，即為圓的直徑．
【解析】解：連接OA，
∵AB⊥CD，且AB＝10寸，
∴AE＝BE＝5寸，
設(shè)圓O的半徑OA的長(zhǎng)為x，則OC＝OD＝x，
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化簡(jiǎn)得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
∴CD＝26（寸）．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵．
6．（2023 湖州）如圖，OA是⊙O的半徑，弦BC⊥OA于點(diǎn)D，連結(jié)OB．若⊙O的半徑為5cm，BC的長(zhǎng)為8cm，則OD的長(zhǎng)是 　3　cm．
【答案】3．
【點(diǎn)撥】根據(jù)垂徑定理和勾股定理列方程即可．
【解析】解：∵BC⊥OA，BC＝8cm，
∴BD＝CD＝BC＝4cm，BD2+OD2＝OB2，
∵OB＝5cm，
∴42+OD2＝52，
∴OD＝3或OD＝﹣3（舍去），
∴OD的長(zhǎng)是3cm，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題關(guān)鍵是連接半徑，構(gòu)建直角三角形，列方程解決問題．
7．（2019 嘉興）如圖，在⊙O中，弦AB＝1，點(diǎn)C在AB上移動(dòng)，連接OC，過點(diǎn)C作CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，則CD的最大值為　　．
【答案】．
【點(diǎn)撥】連接OD，如圖，利用勾股定理得到CD，利用垂線段最短得到當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC最小，再求出即可．
【解析】解：連接OD，如圖，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
當(dāng)OC的值最小時(shí)，CD的值最大，
而OC⊥AB時(shí)，OC最小，此時(shí)D、B兩點(diǎn)重合，
∴CD＝CB＝AB＝×1＝，
即CD的最大值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出點(diǎn)C的位置是解此題的關(guān)鍵．
8．（2023 成都）為傳承非遺文化，講好中國(guó)故事，某地準(zhǔn)備在一個(gè)場(chǎng)館進(jìn)行川劇演出．該場(chǎng)館底面為一個(gè)圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿AB的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納 　184　名觀眾同時(shí)觀看演出．（π取3.14，取1.73）
【答案】184．
【點(diǎn)撥】過O作OD⊥AB，D為垂足，可得到∠AOD＝60°，所以∠AOB＝120°，再求出S陰影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣×10×5＝π﹣25≈61.4（m2），然后乘以3即可得到觀看馬戲的觀眾人數(shù)約為184人．
【解析】解：過O作OD⊥AB，D為垂足，如圖，
∴AD＝BD，OD＝5m，
∵cos∠AOD＝＝＝，
∴∠AOD＝60°，AD＝OD＝5m，
∴∠AOB＝120°，AB＝10m，
∴S陰影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣×10×5＝π﹣25≈61.4（m2），
∴61.4×3≈184（人）．
∴觀看馬戲的觀眾人數(shù)約為184人．
故答案為：184人．
【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵，也考查了三角函數(shù)的概念和特殊角的三角函數(shù)值．
9．（2023 貴州）如圖，已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接EA，EB．
（1）寫出圖中一個(gè)度數(shù)為30°的角：　∠1　，圖中與△ACD全等的三角形是 　△BCD　；
（2）求證：△AED∽△CEB；
（3）連接OA，OB，判斷四邊形OAEB的形狀，并說明理由．
【答案】（1）∠1（答案不唯一），△BCD；（2）證明見解析；（3）菱形，理由見解析．
【點(diǎn)撥】（1）⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，可知點(diǎn)O為外心，故CD為AB的中線、垂線、∠ACB平分線（三線合一），并利用HL定理證明△ACD≌△BCD；
（2）利用兩三角形兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，可證明兩三角形相似；
（3）根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，可證得四邊形OAEB四條邊相等，從而證明它為菱形．
【解析】（1）解：∵已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，
∴點(diǎn)O是等邊三角形ABC的外心，
∴CE⊥AB，∠1＝∠2＝30°．
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
又∵AC＝BC，CD＝CD，
∴Rt△ACD≌Rt△BCD（HL定理）．
故答案為：∠1（答案不唯一），△BCD．
（2）證明：∵∠ADE＝∠CBE＝90°，∠3＝∠CAE﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°＝∠2，
∴△AED∽△CEB．
（3）四邊形OAEB為菱形．
證明：∵∠CAE＝90°，∠1＝30°，
∴AE＝CE．
同理可證，BE＝CE．
∴OA＝OB＝AE＝BE，
∴四邊形OAEB為菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理與菱形的判定，知識(shí)點(diǎn)比較多，但難度不大，一定要牢牢掌握，并能運(yùn)用自如．
10．（2023 上海）如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8，點(diǎn)C在BO延長(zhǎng)線上，且cos∠ABC＝，OC＝OB．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求∠BAC的正切值．
【答案】（1）⊙O的半徑為5；
（2）∠BAC的正切值為．
【點(diǎn)撥】（1）過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，根據(jù)垂徑定理可得AD＝BD＝4，然后在Rt△OBD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OB的長(zhǎng)，即可解答；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，根據(jù)已知可得BC＝OB＝7.5，再利用平行線分線段成比例可得＝，從而求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)，再在Rt△ACE中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解析】解：（1）過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，
∵AB＝8，
∴AD＝BD＝AB＝4，
在Rt△OBD中，cos∠ABC＝，
∴OB＝＝＝5，
∴⊙O的半徑為5；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，
∵OC＝OB，OB＝5，
∴BC＝OB＝7.5，
∵OD⊥AB，
∴OD∥CE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝4.5，
在Rt△ACE中，tan∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC的正切值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，平行線分線段成比例，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
類型二 圓周角定理
1．（2023 棗莊）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的度數(shù)為（　　）
A．32° B．42° C．48° D．52°
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)外角∠APD，求出∠C，由同弧所對(duì)圓周角相等即可求出∠B．
【解析】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°﹣48°＝32°，
∵，
∴∠B＝∠C＝32°．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)的應(yīng)用，三角形外角的性質(zhì)應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
2．（2023 山西）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC，BD為對(duì)角線，BD經(jīng)過圓心O．若∠BAC＝40°，則∠DBC的度數(shù)為（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【點(diǎn)撥】由圓周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝40°，再利用直角三角形的性質(zhì)可求解．
【解析】解：∵BD經(jīng)過圓心O，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC＝40°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2023 湖北）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，連接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，則∠ADC＝（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【點(diǎn)撥】先根據(jù)外角性質(zhì)得∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，再由AB是⊙O的直徑得∠ADB＝90°即可求得∠ADC．
【解析】解：∵∠C＝20°，∠BPC＝70°，
∴∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDC＝40°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)以及直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
4．（2023 阜新）如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，若∠AOC＝90°，∠ACB＝25°，則∠BOC的度數(shù)是（　　）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】C
【點(diǎn)撥】先利用圓周角定理求出∠AOB＝50°，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解析】解：∵∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝40°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
5．（2023 溫州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，則∠CAO的度數(shù)與BC的長(zhǎng)分別為（　　）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
【答案】C
【點(diǎn)撥】由平行線的性質(zhì)，圓周角定理，垂直的定義，推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，求出∠BOC＝60°，得到△BOC是等邊三角形，得到BC＝OB，由等腰三角形的性質(zhì)求出圓的半徑長(zhǎng)，求出∠OAD的度數(shù)，即可得到BC的長(zhǎng)，∠CAO的度數(shù)．
【解析】解：連接OB，OC，
∵BC∥AD，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴＝，
∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，
∵DB⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠CAD＝∠BDA＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC＝OB，
∵OA＝OD，∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴AD＝OA＝，
∴OA＝1，
∴BC＝1，
∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由圓周角定理推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，證明△OBC是等邊三角形．
6．（2023 青海）如圖，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為D．若∠A＝20°，則∠ABC＝（　　）
A．20° B．30° C．35° D．55°
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)垂直定義可得∠ADO＝90°，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠AOD＝70°，然后利用圓周角定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解析】解：∵OC⊥AB，
∴∠ADO＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠AOD＝90°﹣∠A＝70°，
∴∠ABC＝∠AOD＝35°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
7．（2023 長(zhǎng)沙）如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，則OE的長(zhǎng)度為 　1　．
【答案】1．
【點(diǎn)撥】連接OB，利用圓周角定理及垂徑定理易得∠AOD＝60°，則∠OAE＝30°，結(jié)合已知條件，利用直角三角形中30°角對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求得答案．
【解析】解：如圖，連接OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OD⊥AB，
∴＝，∠OEA＝90°，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，
∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°，
∴OE＝OA＝×2＝1，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查圓與直角三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合已知條件求得∠AOD＝60°是解題的關(guān)鍵．
8．（2023 衡陽）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是一條弦，D是弧AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)H，DB交AC于點(diǎn)G．
（1）求證：AF＝DF．
（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半徑．
【答案】（1）見解析；（2）5．
【點(diǎn)撥】（1）由D是弧AC的中點(diǎn)，得出，再由垂徑定理得出，根據(jù)等弧所對(duì)圓周角相等得出∠ADH＝∠CAD，即可證明出結(jié)論．
（2）證明出∠ADE＝∠B，得出tan∠ADE＝，設(shè)AE＝x，根據(jù)勾股定理求出x，再求出直徑即可．
【解析】（1）證明：∵D是弧AC的中點(diǎn)，
∴，
∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直徑，
∴，
∴，
∴∠ADH＝∠CAD，
∴AF＝DF．
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠B＝90°，
∵∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
∴sin∠ADE＝，
∴tan∠ADE＝，
設(shè)AE＝x，則DE＝2x，
∵DF＝AF＝，
∴EF＝2x﹣，
∵AE2+EF2＝AF2，
∴x＝2，
∴AD＝＝2，
∴AB＝，
∴AB＝10，
∴⊙O的半徑為5．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，解直角三角形、勾股定理的計(jì)算是解題關(guān)鍵．
9．（2023 無錫）如圖，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)D為⊙O的切線，CD與AB相交于點(diǎn)E．DF∥AB，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，CF＝CD．
（1）求∠F 的度數(shù)；
（2）若 DE DC＝8，求⊙O的半徑．
【答案】（1）67.5°；
（2）2．
【點(diǎn)撥】（1）連接OD，利用切線性質(zhì)和平行線性質(zhì)求得∠AOD＝90°，再利用圓周角定理求得∠ACD的度數(shù)，最后利用等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理即可求得答案；
（2）結(jié)合（1）中所求易證得△DAE∽△DCA，再利用相似三角形性質(zhì)及勾股定理即可求得答案．
【解析】解：（1）如圖，連接OD，
∵FD為⊙O的切線，
∴∠ODF＝90°，
∵DF∥AB，
∴∠AOD＝180°﹣∠ODF＝90°，
∴∠ACD＝∠AOD＝45°，
∵CF＝CD，
∴∠F＝∠CDF＝＝67.5°；
（2）∵OA＝OD，∠AOD＝90°，
∴∠EAD＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠EAD，
∵∠ADE＝∠CDA，
∴△DAE∽△DCA，
∴＝，
∴DA2＝DE DC＝8，
∵DA＞0，
∴DA＝2，
∵OA2+OD2＝2OA2＝DA2＝8，OA＞0，
∴OA＝2，
即⊙O的半徑為2．
【點(diǎn)睛】本題考查圓與相似三角形的綜合應(yīng)用，（2）中利用相似三角形的判定及性質(zhì)求得DA2＝DE DC＝8是解題的關(guān)鍵．
10．（2023 內(nèi)蒙古）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是上一點(diǎn)，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AD，DC，CP．
（1）求證：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（請(qǐng)用兩種證法解答）
（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半徑為3，CP＝4，求AP的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析；
（2）8．
【點(diǎn)撥】（1）方法一：連接BD，利用圓周角定理及角的和差即可證得結(jié)論；
方法二：連接BC，利用圓周角定理求得∠ACB＝90°，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)方法二中的圖形易證得△PBC∽△PCA，結(jié)合已知條件，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得PB的長(zhǎng)，繼而求得AP的長(zhǎng)．
【解析】（1）證明：方法一：如圖，連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC﹣∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC，
∴∠ADC﹣∠BAC＝90°；
方法二：如圖，連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠PBC＝∠BAC+∠ACB，
∴∠PBC﹣∠BAC＝90°，
∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠PBC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠PBC，
∴∠ADC﹣∠BAC＝90°；
（2）解：由圖可得∠ADC＝∠PBC，
∵ACP＝∠ADC，
∴∠PBC＝∠ACP，即∠PBC＝∠PCA，
∵∠BPC＝∠CPA，
∴△PBC∽△PCA，
∴＝，
∴PC2＝PA PB，
∵⊙O的半徑為3，
∴AB＝6，
∴PA＝PB+6，
∵CP＝4，
∴42＝（PB+6） PB，
解得：PB＝2或PB＝﹣8（舍去），
則AP＝2+6＝8．
【點(diǎn)睛】本題考查圓與相似三角形的綜合應(yīng)用，（2）中結(jié)合已知條件證得△PBC∽△PCA是解題的關(guān)鍵．
類型三 圓內(nèi)接四邊形
1．（2023 紹興）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，若∠D＝100°，則∠B的度數(shù)是 　80°　．
【答案】80°．
【點(diǎn)撥】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，即可得到答案．
【解析】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠B＝80°．
故答案為：80°．
【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．
2．（2023 西藏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)是（　　）
A．65° B．115° C．130° D．140°
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出∠DCB的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求出∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理即可求出∠BOD的度數(shù)．
【解析】解：∵∠DCE＝65°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握這些定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023 襄陽）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上．若∠ADE＝70°，則∠AOC＝　140　度．
【答案】140
【點(diǎn)撥】首先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠B＝∠ADE＝70°，再根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系即可得出∠AOC的度數(shù)．
【解析】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADE＝70°，
∴∠B＝∠ADE＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°．
故答案為：140．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓心角與圓周角之間的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，理解圓心角與圓周角之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
4．（2023 淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC是⊙O的直徑，BC＝2CD，則∠BAD的度數(shù)是 　120　°．
【答案】120．
【點(diǎn)撥】連接OD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠C＝60°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【解析】解：如圖，連接OD，
∵BC是⊙O的直徑，BC＝2CD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△COD為等邊三角形，
∴∠C＝60°，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∴∠BAD＝120°，
故答案為：120．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023 寧夏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝　70　°．
【答案】70．
【點(diǎn)撥】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到∠B+∠ADC＝180°，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到∠CDE+∠ADC＝180°，因此∠CDE＝∠B，由圓周角定理求出∠B＝70°，得到∠CDE＝70°．
【解析】解：∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠AOC＝×140°＝70°，
∴∠CDE＝70°．
故答案為：70．
【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，關(guān)鍵是由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)推出∠CDE＝∠B．
6．（2023 北京）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）過點(diǎn)C作CF∥AD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AC＝AD，BF＝2，求此圓半徑的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析；（2）4．
【點(diǎn)撥】（1）由圓周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°；
（2）由垂徑定理推出△ACD是等邊三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC＝∠ADC＝30°，由平行線的性質(zhì)求出∠F＝90°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠FBC＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性質(zhì)得到BC＝BD，因?yàn)锽D是圓的直徑，即可得到圓半徑的長(zhǎng)是4．
【解析】（1）證明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是圓的直徑，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ADC＝60°
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADC＝30°，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°，
∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠FBC+∠ABC＝180°，
∴∠FBC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝2BF＝4，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴BC＝BD，
∵BD是圓的直徑，
∴圓的半徑長(zhǎng)是4．
【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABD+∠ADB＝90°，由垂徑定理推出△ACD是等邊三角形．
類型四 三角形的外接圓與外心
1．（2023 陜西）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝72°．過點(diǎn)O作BC的垂線交于點(diǎn)D，連接BD，則∠D的度數(shù)為（　　）
A．64° B．54° C．46° D．36°
【答案】B
【點(diǎn)撥】連接CD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BDC＝180°﹣∠A＝108°，根據(jù)垂徑定理得到E是邊BC的中點(diǎn)，得到BD＝CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODB＝∠ODC＝∠BDC，即可求出∠ODB的度數(shù)．
【解析】解：連接CD，
∵四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，∠A＝72°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣∠A＝108°，
∵OD⊥BC，
∴E是邊BC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝54°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)垂徑定理證得E是邊BC的中點(diǎn)，圓周角定理求出∠BDC的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．
2．（2023 自貢）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，連接BD，∠DCA＝41°，則∠ABC的度數(shù)是（　　）
A．41° B．45° C．49° D．59°
【答案】C
【點(diǎn)撥】由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠DBA＝∠DCA，進(jìn)而可計(jì)算∠ABC．
【解析】解：∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DBC＝90°，
∵∠DBA＝∠DCA＝41°，
∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝49°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角、同弧所對(duì)的圓周角相等，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，難度不大．
3．（2023 巴中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠C＝25°，則∠BAO＝（　　）
A．25° B．50° C．60° D．65°
【答案】D
【點(diǎn)撥】由圓周角定理求得∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等和三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論．
【解析】解：連接OB，
∵∠C＝25°，
∴∠AOB＝2∠C＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝＝65°．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半．解題時(shí)，借用了等腰三角形的兩個(gè)底角相等和三角形的內(nèi)角和定理．
4．（2023 內(nèi)蒙古）如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分別為D，E，F(xiàn)，連接DE，EF，F(xiàn)D．若DE+DF＝6.5，△ABC的周長(zhǎng)為21，則EF的長(zhǎng)為（　　）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)垂徑定理得到AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，根據(jù)三角形的中位線定理得到DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝＝10.5，于是得到結(jié)論．
【解析】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，
∴DE，DF，EF是△ABC的中位線，
∴DE＝，
∴DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝＝10.5，
∵DE+DF＝6.5，
∴EF＝10.5﹣6.5＝4，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓與外心，三角形中位線定理，垂徑定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
5．（2023 湖北）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn)△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長(zhǎng)為1，圖中陰影部分的面積為（　　）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
【答案】D
【點(diǎn)撥】作AB的垂直平分線MN，作BC的垂直平分線PQ，設(shè)MN與PQ相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，則點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，先根據(jù)勾股定理的逆定理證明△AOC是直角三角形，從而可得∠AOC＝90°，然后根據(jù)圖中陰影部分的面積＝扇形AOC的面積﹣△AOC的面積﹣△ABC的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解析】解：如圖：作AB的垂直平分線MN，作BC的垂直平分線PQ，設(shè)MN與PQ相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，則點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，
由題意得：OA2＝12+22＝5，
OC2＝12+22＝5，
AC2＝12+32＝10，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC＝90°，
∵AO＝OC＝，
∴圖中陰影部分的面積＝扇形AOC的面積﹣△AOC的面積﹣△ABC的面積
＝﹣OA OC﹣AB 1
＝﹣××﹣×2×1
＝﹣﹣1
＝﹣，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，扇形面積的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
6．（2023 十堰）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點(diǎn)E，AE＝DE，BC＝CE，過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FO交BE于點(diǎn)G，若DE＝3，EG＝2，則AB的長(zhǎng)為（　　）
A．4 B．7 C．8 D．
【答案】B
【點(diǎn)撥】首先得出△AEB≌△DEC，進(jìn)而得出△EBC為等邊三角形，由已知得出EF，BC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出CM，BM的長(zhǎng)，再求出AM的長(zhǎng)，再由勾股定理求出AB的長(zhǎng)．
【解析】解：如圖，連接CD，在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB＝EC，
∵BC＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴△EBC為等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，
如圖，作BM⊥AC于點(diǎn)M，
∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
∵△EBC為等邊三角形，
∴∠GEF＝60°，
∴∠EGF＝30°，
∵EG＝2，
∴EF＝1，
∵AE＝ED＝3，
∴CF＝AF＝4，
∴AC＝8，EC＝5，
∴BC＝5，
∵∠BCM＝60°，
∴∠MBC＝30°，
∴CM＝，BM＝CM＝，
∴AM＝AC﹣CM＝，
∴AB＝＝7．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形，垂徑定理等知識(shí)，得出CM，BM的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
7．（2023 金昌）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，∠CDB＝55°，則∠ABC＝　35　°．
【答案】35．
【點(diǎn)撥】根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．
【解析】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D＝55°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，
故答案為：35．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：熟練掌握三角形的外心的定義與性質(zhì)．也考查了圓周角定理．
8．（2023 呼和浩特）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，連接AD，BD．若AB＝5，AC＝4，則BD＝　　，CD＝　　．
【答案】，．
【點(diǎn)撥】首先利用已知條件得到AB為直徑，然后可以證明△ADB為等腰直角三角形，由此求出BD，接著把△ACD繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBE，證明△DCE為等腰直角三角形即可解決問題．
【解析】解：∵△ABC內(nèi)接于⊙O且∠ACB＝90°，
∴AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∵弦CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝5，AC＝4，
∴CB＝3，AD＝BD＝，
∴如圖把△ACD繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBE，
∴∠DBE＝∠DAC，BE＝AC，
∴∠DBC+∠DBE＝180°，
∴C、B、E三點(diǎn)共線，
∴△DCE為等腰直角三角形，
∴CE＝AC+BC＝7，
∴CD＝DE＝．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】此題分別考查了三角形的外接圓、圓周角定理及其推論、角平分線的性質(zhì)及勾股定理，有一定的綜合性．
9．（2023 南京）如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點(diǎn)O作AC的垂線，垂足為D，分別交直線BC，于點(diǎn)E，F(xiàn)，射線AF交直線BC于點(diǎn)G．
（1）求證AC＝CG．
（2）若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，且EB＝CG，求∠BAC的度數(shù)．
（3）當(dāng)BC＝6時(shí)，隨著CG的長(zhǎng)度的增大，EB的長(zhǎng)度如何變化？請(qǐng)描述變化過程，并說明理由．
【答案】（1）見解析；
（2）36°；
（3）見解析．
【點(diǎn)撥】（1）作直徑作AM，根據(jù)垂徑定理得AC⊥EF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角即可得到結(jié)論；
（2）連接AE，過A作AH⊥BC于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；
（3）分三種情況討論：當(dāng)CG＝6，當(dāng)CG≥6，當(dāng)3＜CG＜6，再根據(jù)相似證明即可．
【解析】（1）證明：過A作直徑AM，
∵AB＝AC，
∴AM⊥BC，
∴∠E+∠EOM＝90°，
∵AC⊥EF，
∴∠OAD+∠AOD＝90°，
∴∠E＝∠OAD，
∵OA＝OF，
∴∠OAD+∠DAF＝∠AFO＝∠E+∠G，
∴∠DAF＝∠G，
AC＝CG；
（2）解：BAG＝∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴∠BAM＝∠CAM，
設(shè)∠BAM＝∠CAM＝2α，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣2α，
∵AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA＝45°﹣α，
∴∠BAG＝2α+2α+45°﹣α＝45°+3α，
如圖：連AE，
∵EF⊥AC，又EF過圓心，
∴EF垂直平分AC，
∴EC＝AE，
∵BH＝HC，又EB＝CG，
∴HE＝HG，
∴AM垂直平分EG，
∴AE＝AG，
∴EC＝AG，
∵EB＝CG，
∴EB+BC＝BC+CG，
∴EC＝BG，
∴AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∴45°+3α＝90°﹣2α，
∴α＝9°，
∴∠BAC＝4α＝36°；
（3）答：當(dāng)CG＝6，BE＝0；
當(dāng)CG≥6時(shí)，BE隨CG的增大而增大；
當(dāng)3＜CG＜6時(shí)，BE隨CG的增大而減小．
說明：①當(dāng)BE＝0時(shí)，即點(diǎn)E與B重合，
在△BOH和△AOD中，
，
∴△BOH≌△AOD（AAS），
∴AD＝BH＝3，
∴AC＝2AD＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CAG＝30°，∠CAG+∠G＝60°，
∴∠G＝30°＝∠CAG，
∴CA＝CG＝6；
②當(dāng)CG≥6時(shí)，如圖：
∵∠E＝∠CAH，∠EDC＝∠AHC＝90°，
∴△ACH～△ECD，
∴，
∴，
∴＝，
∴BE＝CG2﹣6，
∴BE隨CG的增大而增大．
③當(dāng)3＜CG＜6時(shí)，如圖，
∵∠ACM＝∠DCE，∠EDC＝∠AMC＝90°，
∴△AMC～△EDC，
∴，
∴，
∴，
∴BE＝﹣CG2+6，
∴BE隨CG的增大而減小．
綜上所述：
當(dāng)CG≥6時(shí)，BE隨CG的增大而增大；
當(dāng)3＜CG＜6時(shí)，BE隨CG的增大而減小．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，三角形的外接圓，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
10．（2023 陜西）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝45°，過點(diǎn)B作BC的垂線，交⊙O于點(diǎn)D，并與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，作BF⊥AC，垂足為M，交⊙O于點(diǎn)F．
（1）求證：BD＝BC；
（2）若⊙O的半徑r＝3，BE＝6，求線段BF的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析；
（2）2+．
【點(diǎn)撥】（1）如圖，連接DC，根據(jù)圓周角定理得到∠BDC＝∠BAC＝45°，求得∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）如圖，根據(jù)圓周角定理得到CD為⊙O的直徑，求得CD＝2r＝6．根據(jù)勾股定理得到EC＝＝＝3，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【解析】（1）證明：如圖，連接DC，
則∠BDC＝∠BAC＝45°，
∵BD⊥BC，
∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，
∴∠BCD＝∠BDC．
∴BD＝BC；
（2）解：如圖，∵∠DBC＝90°，
∴CD為⊙O的直徑，
∴CD＝2r＝6．
∴BC＝CD sin＝3，
∴EC＝＝＝3，
∵BF⊥AC，
∴∠BMC＝∠EBC＝90°，∠BCM＝∠BCM，
∴△BCM∽△ECB．
∴，
∴BM＝＝＝2，CM＝，
連接CF，則∠F＝∠BDC＝45°，∠MCF＝45°，
∴MF＝MC＝，
∴BF＝BM+MF＝2+．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
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