資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題24 圓錐和扇形問題
考點掃描☆聚焦中考
圓錐與扇形問題，在近幾年各地中考試題中考主要以選擇題、填空題的形式考查，個別地區有解答題出現，都比較容易，屬于簡單題；考查的知識點有弧長、扇形面積、圓柱與圓錐的側面展開圖等；考查的熱點主要有弧長的計算、扇形面積的計算、圓錐的有關計算。
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 張家界）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業生產中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊△ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊△ABC的邊長為3，則該“萊洛三角形”的周長等于（　　）
A．π B．3π C．2π D．2π﹣
例2（2023 鄂州）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，點O為BC的中點，以O為圓心，OB長為半徑作半圓，交AC于點D，則圖中陰影部分的面積是（　　）
A．5π B．5﹣4π C．5﹣2π D．10﹣2π
例3（2023 無錫）若一個圓錐的側面積是底面積的3倍，則這個圓錐側面展開圖的圓心角等于（　　）
A．60° B．120° C．135° D．150°
考點過關☆專項突破
類型一 弧長的計算
1．（2023 大連）在半徑為3的圓中，90°的圓心角所對的弧長是（　　）
A． B．9π C． D．
2．（2023 沈陽）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，⊙O的半徑為3，∠D＝120°，則的長是（　　）
A．π B．π C．2π D．4π
3．（2023 青島）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半徑為5，則的長為（　　）
A． B． C．π D．
4．（2023 蘭州）如圖1是一段彎管，彎管的部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧，圓弧的半徑OA＝20cm，圓心角∠AOB＝90°，則＝（　　）
A．20πcm B．10πcm C．5πcm D．2πcm
5．（2023 宜賓）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術”．如圖，是以點O為圓心、OA為半徑的圓弧，N是AB的中點．MN⊥AB．“會圓術”給出的弧長l的近似值計算公式：l＝AB+．當OA＝4，∠AOB＝60°時，則l的值為（　　）
A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
6．（2023 通遼）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于點D，點C是半徑OB上一動點，若OA＝1，則陰影部分周長的最小值為（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 哈爾濱）一個扇形的圓心角是150°，弧長是πcm，則扇形的半徑是 　　cm．
8．（2023 金華）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則弧DE的長為 　　cm．
9．（2023 吉林）如圖①，A，B表示某游樂場摩天輪上的兩個轎廂．圖②是其示意圖，點O是圓心，半徑r為15m，點A，B是圓上的兩點，圓心角∠AOB＝120°，則的長為 　　m．（結果保留π）
10．（2023 張家界）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標為（1，1），是以點B為圓心，BA為半徑的圓弧；是以點O為圓心，OA1為半徑的圓弧；是以點C為圓心，CA2為半徑的圓弧；是以點A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續以點B、O、C、A為圓心，按上述作法得到的曲線AA1A2A3A4A5…稱為正方形的“漸開線”，則點A2023的坐標是 　 　．
11．（2023 鎮江）如圖，扇形OAB的半徑為1，分別以點A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，∠BOP＝35°，則的長l＝　　（結果保留π）．
12．（2022 福建）如圖，△ABC內接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點D，DF∥AB交BC于點E，交⊙O于點F，連接AF，CF．
（1）求證：AC＝AF；
（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結果保留π）．
類型二 扇形面積的計算
1．（2023 錦州）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，連接OA，OC．若⊙O的半徑為3，則扇形AOC（陰影部分）的面積為（　　）
A．π B．π C．π D．2π
2．（2023 雅安）如圖，某小區要綠化一扇形OAB空地，準備在小扇形OCD內種花，在其余區域內（陰影部分）種草，測得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，則種草區域的面積為（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 連云港）如圖，矩形ABCD內接于⊙O，分別以AB、BC、CD、AD為直徑向外作半圓．若AB＝4，BC＝5，則陰影部分的面積是（　　）
A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20
4．（2023 廣元）如圖，半徑為5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一點，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，若CD＝CE，則圖中陰影部分面積為（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 濱州）如圖，某玩具品牌的標志由半徑為1cm的三個等圓構成，且三個等圓⊙O1，⊙O2，⊙O3相互經過彼此的圓心，則圖中三個陰影部分的面積之和為（　　）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2
6．（2023 永州）已知扇形的半徑為6，面積為6π，則扇形圓心角的度數為 　　度．
7．（2023 重慶）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E為BC的中點，連接AE．DE．以E為圓心，EB長為半徑畫弧，分別與AE，DE交于點M，N．則圖中陰影部分的面積為 　　（結果保留π）．
8．（2023 內蒙古）如圖，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC，BD相交于點O，以點B為圓心，對角線BD的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點E，則圖中陰影部分的面積為 　　．
9．（2022 益陽）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點，過點C的圓O的切線交AB的延長線于點P，連接CA，CO，CB．
（1）求證：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數；
（3）在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結果保留π和根號）．
類型三 圓錐的計算
1．（2023 牡丹江）用一個圓心角為90°，半徑為8的扇形作一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面直徑是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2023 東營）如果圓錐側面展開圖的面積是15π，母線長是5，則這個圓錐的底面半徑是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2022 赤峰）如圖所示，圓錐形煙囪帽的底面半徑為12cm，側面展開圖為半圓形，則它的母線長為（　　）
A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm
4．（2023 十堰）如圖，已知點C為圓錐母線SB的中點，AB為底面圓的直徑，SB＝6，AB＝4，一只螞蟻沿著圓錐的側面從A點爬到C點，則螞蟻爬行的最短路程為（　　）
A．5 B． C． D．
5．（2023 黑龍江）已知圓錐的母線長13cm，側面積65πcm2，則這個圓錐的高是 　　cm．
6．（2023 徐州）如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形．若母線長l為6cm，扇形的圓心角θ為120°，則圓錐的底面圓的半徑r為 　　cm．
7．（2023 寧波）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm，母線長為50cm，則煙囪帽的側面積
為 　　cm2．（結果保留π）
8．（2023 蘇州）如圖，在 ABCD中，AB＝+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足為H，AH＝．以點A為圓心，AH長為半徑畫弧，與AB，AC，AD分別交于點E，F，G．若用扇形AEF圍成一個圓錐的側面，記這個圓錐底面圓的半徑為r1；用扇形AHG圍成另一個圓錐的側面，記這個圓錐底面圓的半徑為r2，則r1﹣r2＝　　．（結果保留根號）
9．（2023 呼和浩特）圓錐的高為，母線長為3，沿一條母線將其側面展開，展開圖（扇形）的圓心角是 　　度，該圓錐的側面積是 　　（結果用含π的式子表示）．
10．（2023 婁底）如圖，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC邊上的高AD＝2，將△ABC繞著BC所在的直線旋轉一周得到的幾何體的表面積為 　　．
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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題24 圓錐和扇形問題
考點掃描☆聚焦中考
圓錐與扇形問題，在近幾年各地中考試題中考主要以選擇題、填空題的形式考查，個別地區有解答題出現，都比較容易，屬于簡單題；考查的知識點有弧長、扇形面積、圓柱與圓錐的側面展開圖等；考查的熱點主要有弧長的計算、扇形面積的計算、圓錐的有關計算。
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 張家界）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業生產中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊△ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊△ABC的邊長為3，則該“萊洛三角形”的周長等于（　　）
A．π B．3π C．2π D．2π﹣
【答案】B
【點撥】由等邊三角形的性質得到＝＝，由弧長公式求出的長＝π，即可求出“萊洛三角形”的周長．
【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴＝＝，
∵的長＝＝π，
∴該“萊洛三角形”的周長是3π．
故選：B．
【點睛】本題考查弧長的計算，等邊三角形的性質，關鍵是由弧長公式求出的長．
例2（2023 鄂州）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，點O為BC的中點，以O為圓心，OB長為半徑作半圓，交AC于點D，則圖中陰影部分的面積是（　　）
A．5π B．5﹣4π C．5﹣2π D．10﹣2π
【答案】C
【點撥】連接OD．解直角三角形求出∠DOB＝60°，BC＝4，再根據S陰＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB，求解即可．
【解析】解：連接OD．
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，
∴BC＝AB＝4，
∴OC＝OD＝OB＝2，
∴∠DOB＝2∠C＝60°，
∴S陰＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB＝×4×4﹣﹣
＝8﹣3﹣2π
＝5﹣2π．
故選：C．
【點睛】本題考查扇形的面積，解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用分割法求陰影部分的面積．
例3（2023 無錫）若一個圓錐的側面積是底面積的3倍，則這個圓錐側面展開圖的圓心角等于（　　）
A．60° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【點撥】設圓錐的母線長為R，底面圓的半徑為r，這個圓錐側面展開圖的圓心角為n°，先利用扇形的面積公式表示出圓錐的側面積，則×2πr×l＝3πr2，所以l＝3r，然后利用弧長公式得到2πr＝，然后解n的方程即可．
【解析】解：設圓錐的母線長為R，底面圓的半徑為r，這個圓錐側面展開圖的圓心角為n°，
∵圓錐的側面積是底面積的3倍，
∴×2πr×l＝3πr2，
∴l＝3r，
∵2πr＝，
即2πr＝
∴n＝120，
即這個圓錐側面展開圖的圓心角等于120°．
故選：B．
【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
考點過關☆專項突破
類型一 弧長的計算
1．（2023 大連）在半徑為3的圓中，90°的圓心角所對的弧長是（　　）
A． B．9π C． D．
【答案】C
【點撥】根據弧長的公式l＝，直接求值即可．
【解析】解：根據弧長的公式，該弧長為：＝．
故選：C．
【點睛】本題考查有關扇形弧長的計算．正確地記準公式l＝是解題的關鍵．
2．（2023 沈陽）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，⊙O的半徑為3，∠D＝120°，則的長是（　　）
A．π B．π C．2π D．4π
【答案】C
【點撥】根據圓內接四邊形的性質得到∠B＝60°，由圓周角定理得到∠AOC＝120°，根據弧長的公式即可得到結論．
【解析】解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
∴的長＝＝2π．
故選：C．
【點睛】本題考查的是弧長的計算，圓內接四邊形的性質和圓周角定理，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
3．（2023 青島）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半徑為5，則的長為（　　）
A． B． C．π D．
【答案】C
【點撥】根據圓周角的性質，計算出弧DC所對的圓心角度數，按照公式求出弧長即可．
【解析】解：連接OA、OD、OC，
∵∠B＝58°，∠ACD＝40°．
∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°，
∴∠DOC＝36°，
∴＝＝π．
故選：C．
【點睛】本題考查了弧長的計算和圓周角定理，同弧所對的圓周角是圓心角的一半．
4．（2023 蘭州）如圖1是一段彎管，彎管的部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧，圓弧的半徑OA＝20cm，圓心角∠AOB＝90°，則＝（　　）
A．20πcm B．10πcm C．5πcm D．2πcm
【答案】B
【點撥】由弧長公式：l＝（n是弧的圓心角的度數，r是弧的半徑長），即可計算．
【解析】解：∵圓弧的半徑OA＝20cm，圓心角∠AOB＝90°，
∴的長＝＝10π（cm）．
故選：B．
【點睛】本題考查弧長的計算，關鍵是掌握弧長公式．
5．（2023 宜賓）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術”．如圖，是以點O為圓心、OA為半徑的圓弧，N是AB的中點．MN⊥AB．“會圓術”給出的弧長l的近似值計算公式：l＝AB+．當OA＝4，∠AOB＝60°時，則l的值為（　　）
A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
【答案】B
【點撥】連接ON，根據是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，N是AB的中點，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共線，由OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等邊三角形，得ON＝OA sin60°＝2，即得MN＝OM﹣ON＝4﹣2，故l＝AB+＝4+＝11﹣4．
【解析】解：連接ON，如圖：
∵是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，N是AB的中點，MN⊥AB，
∴ON⊥AB，
∴M，N，O共線，
∵OA＝4，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，
∴ON＝OA sin60°＝2，
∴MN＝OM﹣ON＝4﹣2，
∴l＝AB+＝4+＝11﹣4；
故選：B．
【點睛】本題考查弧長的計算，解題的關鍵是讀懂題意，作出輔助線求ON的長度．
6．（2023 通遼）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于點D，點C是半徑OB上一動點，若OA＝1，則陰影部分周長的最小值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【點撥】作D點關于直線OB的對稱點E，連接AE，與OB的交點為C點，此時陰影部分周長最小，最小值為AE的長與弧AD的和．
【解析】解：作D點關于直線OB的對稱點E，連接AE，與OB的交點為C點，此時陰影部分周長最小，
在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于點D，
∴∠AOD＝∠BOD＝30°，
由軸對稱的性質，∠EOB＝∠BOD＝30°，OE＝OD，
∴∠AOE＝90°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∵OA＝1，
∴AE＝，的長＝＝，
∴陰影部分周長的最小值為，
故選：A．
【點睛】本題考查了弧長的計算，勾股定理，軸對稱﹣最短路線問題，證得△AOE為等腰直角三角形是解題的關鍵．
7．（2023 哈爾濱）一個扇形的圓心角是150°，弧長是πcm，則扇形的半徑是 　3　cm．
【答案】3．
【點撥】直接利用弧長公式計算得出答案．
【解析】解：設扇形的半徑是R cm，
則＝π，
解得：R＝3，
∴扇形的半徑是3cm．
故答案為：3．
【點睛】此題主要考查了弧長公式的應用，正確記憶弧長公式是解題關鍵．
8．（2023 金華）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則弧DE的長為 　π　cm．
【答案】π．
【點撥】連接OE，OD，由等腰三角形的性質推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧長公式即可求出的長．
【解析】解：連接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD＝AB＝×6＝3（cm），
∴的長＝＝π（cm）．
故答案為：π．
【點睛】本題考查弧長的計算，等腰三角形的性質，平行線的性質，關鍵是由等腰三角形的性質推出OD∥AC，從而求出∠EOD的度數．
9．（2023 吉林）如圖①，A，B表示某游樂場摩天輪上的兩個轎廂．圖②是其示意圖，點O是圓心，半徑r為15m，點A，B是圓上的兩點，圓心角∠AOB＝120°，則的長為 　10π　m．（結果保留π）
【答案】10π．
【點撥】由弧長公式：l＝（l是弧長，n是扇形圓心角的度數，r是扇形的半徑長），由此即可計算．
【解析】解：∵∠AOB＝120°，⊙O半徑r為15m，
∴的長＝＝10π（m）．
故答案為：10π．
【點睛】本題考查弧長的計算，關鍵是掌握弧長公式．
10．（2023 張家界）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標為（1，1），是以點B為圓心，BA為半徑的圓弧；是以點O為圓心，OA1為半徑的圓弧；是以點C為圓心，CA2為半徑的圓弧；是以點A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續以點B、O、C、A為圓心，按上述作法得到的曲線AA1A2A3A4A5…稱為正方形的“漸開線”，則點A2023的坐標是 　（﹣2023，1）　．
【答案】（﹣2023，1）．
【點撥】將四分之一圓弧對應的A點坐標看作順時針旋轉90°，再根據A、A1、A2、A3、A4的坐標找到規律即可．
【解析】解：∵A點坐標為（1，1），且A1為A點繞B點順時針旋轉90°所得，
∴A1點坐標為（2，0），
又∵A2為A1點繞O點順時針旋轉90°所得，
∴A2點坐標為（0，﹣2），
又∵A3為A2點繞C點順時針旋轉90°所得，
∴A3點坐標為（﹣3，1），
又∵A4為A3點繞A點順時針旋轉90°所得，
∴A4點坐標為（1，5），
由此可得出規律：An為繞B、O、C、A四點作為圓心依次循環順時針旋轉90°，且半徑為1、2、3、……、n，每次增加1．
∵2023÷4＝505……3，
故A2023為以點C為圓心，半徑為2022的A2022順時針旋轉90°所得，
故A2023點坐標為（﹣2023，1）．
故答案為：（﹣2023，1）．
【點睛】本題考查了點坐標規律探索，通過點的變化探索出坐標變化的規律是解題的關鍵．
11．（2023 鎮江）如圖，扇形OAB的半徑為1，分別以點A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，∠BOP＝35°，則的長l＝　π　（結果保留π）．
【答案】π．
【點撥】由等腰三角形的性質求出∠AOB的度數，由弧長公式即可計算．
【解析】解：由作圖知：OP垂直平分AB，
∵OA＝OB，
∴∠AOB＝2∠BOP＝2×35°＝70°，
∵扇形的半徑是1，
∴的長＝＝π．
故答案為：π．
【點睛】本題考查弧長的計算，關鍵是掌握弧長公式．
12．（2022 福建）如圖，△ABC內接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點D，DF∥AB交BC于點E，交⊙O于點F，連接AF，CF．
（1）求證：AC＝AF；
（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結果保留π）．
【答案】（1）證明過程見解析；
（2）．
【點撥】（1）根據已知條件可證明四邊形ABED是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得∠B＝∠D，等量代換可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案；
（2）連接AO，CO，由（1）中結論可計算出∠AFC的度數，根據圓周角定理可計算出∠AOC的度數，再根據弧長計算公式計算即可得出答案．
【解析】證明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四邊形ABED為平行四邊形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF．
（2）連接AO，CO，如圖，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC＝＝75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴的長l＝＝．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，圓的性質與弧長公式，考查化歸與轉化思想，推理能力，幾何直觀等數學素養．
類型二 扇形面積的計算
1．（2023 錦州）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，連接OA，OC．若⊙O的半徑為3，則扇形AOC（陰影部分）的面積為（　　）
A．π B．π C．π D．2π
【答案】D
【點撥】先由圓周角定理可得∠AOC的度數，再由扇形的面積公式求解即可．
【解析】解：∵∠ABC＝40°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，
∴扇形AOC的面積為，
故選：D．
【點睛】此題主要是考查了扇形的面積公式，圓周角定理，能夠求得∠AOC的度數是解答此題的關鍵．
2．（2023 雅安）如圖，某小區要綠化一扇形OAB空地，準備在小扇形OCD內種花，在其余區域內（陰影部分）種草，測得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，則種草區域的面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【點撥】大扇形面積減去小扇形面積得陰影部分的面積．
【解析】解：S陰影＝S扇形AOB﹣S扇形COD＝＝（m2）．
故選：B．
【點睛】本題考查了扇形面積公式，比較簡單．
3．（2023 連云港）如圖，矩形ABCD內接于⊙O，分別以AB、BC、CD、AD為直徑向外作半圓．若AB＝4，BC＝5，則陰影部分的面積是（　　）
A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20
【答案】D
【點撥】根據矩形的性質可求出BD，再根據圖形中各個部分面積之間的關系，即S陰影部分＝S以AD為直徑的圓+S以AB為直徑的圓+S矩形ABCD﹣S以BD為直徑的圓進行計算即可．
【解析】解：如圖，連接BD，則BD過點O，
在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，
∴BD2＝AB2+AD2＝41，
S陰影部分＝S以AD為直徑的圓+S以AB為直徑的圓+S矩形ABCD﹣S以BD為直徑的圓
＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2
＝+20﹣
＝20，
故選：D．
【點睛】本題考查勾股定理，矩形的性質以及扇形面積的計算，掌握矩形的性質、勾股定理以及扇形面積的計算方法是正確解答的前提．
4．（2023 廣元）如圖，半徑為5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一點，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，若CD＝CE，則圖中陰影部分面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【點撥】先連接OC，然后根據正方形的性質和圖形，可以得到陰影部分的面積等于扇形BOC的面積，然后代入數據計算即可．
【解析】解：連接OC，如圖所示，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴四邊形OECD是矩形，
∵CD＝CE，
∴四邊形OECD是正方形，
∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，
∴S陰影＝S△DCE+S半弓形BCE
＝S△OCE+S半弓形BCE
＝S扇形COB
＝
＝，
故選：B．
【點睛】本題考查扇形面積的計算、正方形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
5．（2023 濱州）如圖，某玩具品牌的標志由半徑為1cm的三個等圓構成，且三個等圓⊙O1，⊙O2，⊙O3相互經過彼此的圓心，則圖中三個陰影部分的面積之和為（　　）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2
【答案】C
【點撥】根據扇形面積的計算方法進行計算即可．
【解析】解：如圖，連接O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，則△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是邊長為1的正三角形，
所以，S陰影部分＝3
＝3×
＝（cm2），
故選：C．
【點睛】本題考查扇形面積的計算，掌握扇形面積的計算方法是正確解答的前提．
6．（2023 永州）已知扇形的半徑為6，面積為6π，則扇形圓心角的度數為 　60　度．
【答案】60
【點撥】設扇形圓心角的度數為n°，根據扇形面積公式列方程并解方程即可．
【解析】解：設扇形圓心角的度數為n°，
則＝6π，
解得：n＝60，
即扇形圓心角的度數為60°，
故答案為：60．
【點睛】本題考查扇形的面積公式，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
7．（2023 重慶）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E為BC的中點，連接AE．DE．以E為圓心，EB長為半徑畫弧，分別與AE，DE交于點M，N．則圖中陰影部分的面積為 　4﹣π　（結果保留π）．
【答案】4﹣π．
【點撥】用三角形ADE的面積減去2個扇形的面積即可．
【解析】解：∵AD＝2AB＝4，E為BC的中點，
∴BE＝CE＝2，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，
∴陰影部分的面積為﹣2×＝4﹣π．
故答案為：4﹣π．
【點睛】此題主要考查了扇形面積求法以及等腰直角三角形的性質，應用扇形面積的計算方法進行求解是解決本題的關鍵．
8．（2023 內蒙古）如圖，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC，BD相交于點O，以點B為圓心，對角線BD的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點E，則圖中陰影部分的面積為 　π　．
【答案】π．
【點撥】根據正方形的性質得出陰影部分的面積為扇形BED的面積，然后由勾股定理得出BD＝2，再由扇形面積公式求解即可．
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝CD，∠DBE＝45°，
∴△AOD≌△COB（SSS），
∵正方形ABCD的邊長為2，
∴BD＝＝2，
∴陰影部分的面積為扇形BED的面積，即，
故答案為：π．
【點睛】本題主要考查正方形的性質以及扇形的面積，能夠理解題意，將陰影部分的面積轉化為扇形BED的面積是解題的關鍵．
9．（2022 益陽）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點，過點C的圓O的切線交AB的延長線于點P，連接CA，CO，CB．
（1）求證：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數；
（3）在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結果保留π和根號）．
【答案】（1）證明見解析；
（2）∠P的度數是30°；
（3）陰影部分的面積是2π﹣2．
【點撥】（1）由AB是半圓O的直徑，CP是半圓O的切線，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，從而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度數是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，即得S△ABC＝BC AC＝2，故陰影部分的面積是π×（）2﹣2＝2π﹣2．
【解析】（1）證明：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圓O的切線，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度數是30°；
（3）解：由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝BC AC＝×2×2＝2，
∴陰影部分的面積是π×（）2﹣2＝2π﹣2，
答：陰影部分的面積是2π﹣2．
【點睛】本題考查圓的綜合應用，涉及圓的切線性質，直角三角形性質及應用等知識，題目難度不大．
類型三 圓錐的計算
1．（2023 牡丹江）用一個圓心角為90°，半徑為8的扇形作一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面直徑是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【點撥】根據弧長公式先計算出扇形的弧長，再利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長求解．
【解析】解：扇形的弧長＝＝4π，
設圓錐的底面直徑為d，則πd＝4π，
所以d＝4．
故選：C．
【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
2．（2023 東營）如果圓錐側面展開圖的面積是15π，母線長是5，則這個圓錐的底面半徑是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【點撥】根據圓錐的側面積＝底面周長×母線長÷2即可求出答案．
【解析】解：設底面半徑為R，則底面周長＝2πR，圓錐的側面展開圖的面積＝×2πR×5＝15π，
∴R＝3．
故選：A．
【點睛】本題考查了圓錐的計算，利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解，牢記公式是解答本題的關鍵．
3．（2022 赤峰）如圖所示，圓錐形煙囪帽的底面半徑為12cm，側面展開圖為半圓形，則它的母線長為（　　）
A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm
【答案】D
【點撥】根據弧長公式列方程求解即可．
【解析】解：設母線的長為R，
由題意得，πR＝2π×12，
解得R＝24，
∴母線的長為24cm，
故選：D．
【點睛】本題主要考查弧長的計算，根據展開后的半圓弧長等于圓錐形煙囪帽的底面周長列方程求解是解題的關鍵．
4．（2023 十堰）如圖，已知點C為圓錐母線SB的中點，AB為底面圓的直徑，SB＝6，AB＝4，一只螞蟻沿著圓錐的側面從A點爬到C點，則螞蟻爬行的最短路程為（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【點撥】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側面展開，進而根據“兩點之間線段最短”得出結果．
【解析】解：由題意知，底面圓的直徑AB＝4，
故底面周長等于4π，
設圓錐的側面展開后的扇形圓心角為n°，
根據底面周長等于展開后扇形的弧長得4π＝，
解得n＝120°，
所以展開圖中∠ASC＝120°÷2＝60°，
因為半徑SA＝SB，∠ASB＝60°，
故三角形SAB為等邊三角形，
又∵C為SB的中點，
所以AC⊥SB，在直角三角形SAC中，SA＝6，SC＝3，
根據勾股定理求得AC＝3，
所以螞蟻爬行的最短距離為3．
故選：B．
【點睛】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．
5．（2023 黑龍江）已知圓錐的母線長13cm，側面積65πcm2，則這個圓錐的高是 　12　cm．
【答案】12．
【點撥】設圓錐的底面圓的半徑為r cm，利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式得到 2π r 13＝65π，解得r＝5，然后利用勾股定理計算圓錐的高．
【解析】解：設圓錐的底面圓的半徑為r cm，
根據題意得 2π r 13＝65π，
解得r＝5，
所以圓錐的高＝＝12（cm）．
故答案為：12．
【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
6．（2023 徐州）如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形．若母線長l為6cm，扇形的圓心角θ為120°，則圓錐的底面圓的半徑r為 　2　cm．
【答案】2．
【點撥】首先求得展開之后扇形的弧長也就是圓錐的底面周長，進一步利用弧長計算公式求得圓錐的底面圓的半徑r．
【解析】解：由題意得：母線l＝6，θ＝120°，
2πr＝，
∴r＝2（cm）．
故答案為：2．
【點睛】本題考查了圓錐的計算及其應用問題，解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．
7．（2023 寧波）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm，母線長為50cm，則煙囪帽的側面積為 　1500π　cm2．（結果保留π）
【答案】1500π
【點撥】根據扇形面積公式計算即可．
【解析】解：煙囪帽的側面積為：×2π×30×50＝1500π（cm2），
故答案為：1500π．
【點睛】本題考查的是圓錐的計算，熟記圓錐的側面展開圖是扇形以及扇形面積公式是解題的關鍵．
8．（2023 蘇州）如圖，在 ABCD中，AB＝+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足為H，AH＝．以點A為圓心，AH長為半徑畫弧，與AB，AC，AD分別交于點E，F，G．若用扇形AEF圍成一個圓錐的側面，記這個圓錐底面圓的半徑為r1；用扇形AHG圍成另一個圓錐的側面，記這個圓錐底面圓的半徑為r2，則r1﹣r2＝　　．（結果保留根號）
【答案】．
【點撥】根據平行四邊形的性質以及正弦函數的定義求出∠D＝60°，∠BAC＝45°，利用弧長公式以及圓的周長公式求出r1，r2即可．
【解析】解：在 ABCD中，AB＝+1，BC＝2，
∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝+1，AB∥CD．
∵AH⊥CD，垂足為H，AH＝，
∴sinD＝＝，
∴∠D＝60°，
∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，
∴DH＝AD＝1，
∴CH＝CD﹣DH＝+1﹣1＝，
∴CH＝AH，
∵AH⊥CD，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴∠ACH＝∠CAH＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACH＝45°，
∴＝2πr1，解得r1＝，
＝2πr2，解得r2＝，
∴r1﹣r2＝﹣＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查了圓錐的計算，平行四邊形的性質，解直角三角形，弧長公式，求出∠D＝60°，∠BAC＝45°是解決本題的關鍵．
9．（2023 呼和浩特）圓錐的高為，母線長為3，沿一條母線將其側面展開，展開圖（扇形）的圓心角是 　120　度，該圓錐的側面積是 　3π　（結果用含π的式子表示）．
【答案】120，3π．
【點撥】首先求出圓錐底面半徑，進而求出圓錐底面圓的周長，然后根據扇形的弧長公式可求出展開圖（扇形）的圓心角，進而再求出扇形的面積即可．
【解析】解：∵圓錐的高為，母線長為3，
∴圓錐底面圓的半徑為：，
∴圓錐底面圓的周長為：2π．
設展開圖（扇形）的圓心角是n°，
依題意得：，
解得：n＝120°，
圓錐的側面積是：．
故答案為：120，3π．
【點睛】此題主要考查了圓錐的側面展開圖，熟練掌握圓錐的高、母線長，底面圓半徑之間的關系，扇形的面積公式，弧長公式是解答此題的關鍵．
10．（2023 婁底）如圖，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC邊上的高AD＝2，將△ABC繞著BC所在的直線旋轉一周得到的幾何體的表面積為 　14π　．
【答案】14π．
【點撥】所得幾何體為圓錐的組合圖形，表面積為底面半徑為2，母線長為3和4的兩個圓錐的側面積之和．
【解析】解：所得到的幾何體的表面積為π×2×3+π×2×4＝14π．
故答案為：14π．
【點睛】本題考查圓錐的計算；得到幾何體的形狀是解決本題的突破點；需掌握圓錐側面積的計算公式．
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