資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題23 直線與圓的位置關系問題
考點掃描☆聚焦中考
直線與圓的位置關系問題在近幾年中考考查的題型填空題、選擇題、解答題三種形式都有所考查，多數題目較難，屬于中、高檔題；考查的內容主要涉及的有：直線與圓的位置關系，切線長定理，切線的性質與判定定理，三角形的內切圓和內心 ；考查的熱點主要涉及的有：直線與圓的位置關系，切線的性質與判定定理，三角形的內切圓和內心。
考點剖析☆典型例題
例1（2021 浙江）已知平面內有⊙O和點A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關系為（　?。?br/>A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切
例2（2023 湖州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在邊AC上，以點O為圓心，OC為半徑的半圓與斜邊AB相切于點D，交OA于點E，連結OB．
（1）求證：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的長．
例3（2023 張家界）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若AD＝10，cosB＝，求FD的長．
例4（2022 德陽）如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，與BC相交于點G，則下列結論：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，則∠BEC＝120°；③若點G為BC的中點，則∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正確的個數是（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
考點過關☆專項突破
類型一 直線與圓的位置關系
1．（2022 六盤水）如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關系是（　?。?br/>A．相切 B．相交 C．相離 D．平行
2．（2023 宿遷）在同一平面內，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是（　?。?br/>A．2 B．5 C．6 D．8
3．（2023 鎮江）已知一次函數y＝kx+2的圖象經過第一、二、四象限，以坐標原點O為圓心，r為半徑作⊙O．若對于符合條件的任意實數k，一次函數y＝kx+2的圖象與⊙O總有兩個公共點，則r的最小值為 　　．
4．（2022 上海）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當等弦圓最大時，這個圓的半徑為 　?。?br/>5．（2023 揚州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB上一點，且∠BCD＝∠A，點O在BC上，以點O為圓心的圓經過C、D兩點．
（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若sinB＝，⊙O的半徑為3，求AC的長．
8．（2023 鹽城）如圖，在△ABC中，O是AC上（異于點A，C）的一點，⊙O恰好經過點A，B，AD⊥CB于點D，且AB平分∠CAD．
（1）判斷BC與⊙O的位置關系，并說明理由．
（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半徑長．
類型二 切線的性質
1．（2023 眉山）如圖，AB切⊙O于點B，連結OA交⊙O于點C，BD∥OA交⊙O于點D，連結CD，若∠OCD＝25°，則∠A的度數為（　　）
A．25° B．35° C．40° D．45°
2．（2023 重慶）如圖，AC是⊙O的切線，B為切點，連接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，則OC的長度是（　　）
A．3 B． C． D．6
3．（2023 無錫）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，OA與BC交于點D，AB＝AD，若∠C＝20°，則∠OAB等于（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．（2023 哈爾濱）如圖，AB是⊙O的切線，A為切點，連接OA，點C在⊙O上，OC⊥OA，連接BC并延長，交⊙O于點D，連接OD，若∠B＝65°，則∠DOC的度數為（　　）
A．45° B．50° C．65° D．75°
5．（2023 湘西州）如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D．若AB＝10，PC＝12，則sin∠CAD等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 瀘州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在斜邊AB上，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點E，與AC相交于點F，連接DE．若AC＝8，BC＝6，則DE的長是（　?。?br/>A． B． C． D．
7．（2023 濱州）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，且∠APB＝56°，若點C是⊙O上異于點A，B的一點，則∠ACB的大小為 　　．
8．（2023 黑龍江）如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于點C，連接BC，若∠P＝28°，則∠B＝　　°．
9．（2023 北京）如圖，OA是⊙O的半徑，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于點D，AE是⊙O的切線，AE交OC的延長線于點E．若∠AOC＝45°，BC＝2，則線段AE的長為 　?。?br/>10．（2023 福建）如圖，已知△ABC內接于⊙O，CO的延長線交AB于點D，交⊙O于點E，交⊙O的切線AF于點F，且AF∥BC．
（1）求證：AO∥BE；
（2）求證：AO平分∠BAC．
11．（2023 甘孜州）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC為直徑的⊙O交AC邊于點D，過點C作⊙O的切線，交BD的延長線于點E．
（1）求證：∠DCE＝∠DBC；
（2）若AB＝2，CE＝3，求⊙O的半徑．
12．（2023 寧夏）如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線DC是⊙O的切線，切點為C，AE⊥DC，垂足為E．連接AC．
（1）求證：AC平分∠BAE；
（2）若AC＝5，tan∠ACE＝，求⊙O的半徑．
類型三 切線的性質與判定綜合
1．（2023 廣西）如圖，PO平分∠APD，PA與⊙O相切于點A，延長AO交PD于點C，過點O作OB⊥PD，垂足為B．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為4，OC＝5，求PA的長．
2．（2023 內蒙古）如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點，點C是的中點，連接BC，過點C的直線垂直于BE的延長線于點D，交BA的延長線于點P．
（1）求證：PC為⊙O的切線；
（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的長．
3．（2023 宜賓）如圖，以AB為直徑的⊙O上有兩點E、F，＝，過點E作直線CD⊥AF交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C，過C作CM平分∠ACD交AE于點M，交BE于點N．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：EM＝EN；
（3）如果N是CM的中點，且AB＝9，求EN的長．
4．（2023 樂山）如圖，已知⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB＝90°，D是圓上一點，E是DC延長線上一點，連接AD、AE，且AD＝AE，CA＝CE．
（1）求證：直線AE是⊙O的切線；
（2）若sinE＝，⊙O的半徑為3，求AD的長．
5．（2023 常德）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB是直徑，C是的中點，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的長．
類型四 三角形的內切圓和內心
1．（2023 聊城）如圖，點O是△ABC外接圓的圓心，點I是△ABC的內心，連接OB，IA．若∠CAI＝35°，則∠OBC的度數為（　?。?br/>A．15° B．17.5° C．20° D．25°
2．（2023 廣州）如圖，△ABC的內切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，若⊙I的半徑為r，∠A＝α，則（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分別為（　?。?br/>A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
3．（2023 威海）在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列說法錯誤的是（　?。?br/>A．1＜AB＜7 B．S△ABC≤6
C．△ABC內切圓的半徑r＜1 D．當AB＝時，△ABC是直角三角形
4．（2023 攀枝花）已知△ABC的周長為l，其內切圓的面積為πr2，則△ABC的面積為（　?。?br/>A．rl B．πrl C．rl D．πrl
5．（2022 婁底）如圖，等邊△ABC內切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內切圓中的黑色部分和白色部分關于等邊△ABC的內心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 鎮江）《九章算術》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形內切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據勾、股，求得弦長．用勾、股、弦相加作為除數，用勾乘以股，再乘以2作為被除數，商即為該直角三角形內切圓的直徑，求得該直徑等于 　　步（注：“步”為長度單位）．
7．（2023 湖北）如圖，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的內切圓⊙O與AB，BC分別相切于點D，E，連接DE，AO的延長線交DE于點F，則∠AFD＝　　．
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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題23 直線與圓的位置關系問題
考點掃描☆聚焦中考
直線與圓的位置關系問題在近幾年中考考查的題型填空題、選擇題、解答題三種形式都有所考查，多數題目較難，屬于中、高檔題；考查的內容主要涉及的有：直線與圓的位置關系，切線長定理，切線的性質與判定定理，三角形的內切圓和內心 ；考查的熱點主要涉及的有：直線與圓的位置關系，切線的性質與判定定理，三角形的內切圓和內心。
考點剖析☆典型例題
例1（2021 浙江）已知平面內有⊙O和點A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關系為（　　）
A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【點撥】根據直線上點與圓的位置關系的判定得出直線與圓的位置關系．
【解析】解：⊙O的半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，
即點A到圓心O的距離大于圓的半徑，點B到圓心O的距離等于圓的半徑，
∴點A在⊙O外，點B在⊙O上，
∴直線AB與⊙O的位置關系為相交或相切，
故選：D．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，正確的理解題意是解題的關鍵．
例2（2023 湖州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在邊AC上，以點O為圓心，OC為半徑的半圓與斜邊AB相切于點D，交OA于點E，連結OB．
（1）求證：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的長．
【答案】（1）見解答；
（2）．
【點撥】（1）根據切線性質得到∠ODB＝∠OCB＝90°，再根據HL證明Rt△ODB≌Rt△OCB，從而得到結論；
（2）分別在Rt△OBC中，利用三角函數求出BC的長，和在Rt△ABC中，利用三角函數求出即可求出AB的長．
【解析】（1）證明 如圖，連結OD，
∵半圓O與AB相切于點D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODB＝∠OCB＝90°，
在Rt△ODB和Rt△OCB中，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），
∴BD＝BC；
（2）解 如圖，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴，
在Rt△OBC中，
∵OC＝1，
∴，
在Rt△ABC中，
．
【點睛】本題考查圓的切線性質，全等三角形判定和性質，解直角三角形，熟悉相關圖形的性質是解題的關鍵．
例3（2023 張家界）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若AD＝10，cosB＝，求FD的長．
【答案】（1）見解答；
（2）．
【點撥】（1）根據切線的判定，連接OC，證明出OC⊥FC即可，利用直徑所得的圓周角為直角，三角形的內角和以及等腰三角形的性質可得答案；
（2）由cosB＝，根據銳角三角函數的意義和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根據相似三角形的性質可求出答案．
【解析】（1）證明：連接OC，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切線；
（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝＝，AD＝10，
∴CD＝AD cos∠ADC＝10×＝6，
∴AC＝＝8，
∴＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
設FD＝3x，則FC＝4x，AF＝3x+10，
又∵FC2＝FD FA，
即（4x）2＝3x（3x+10），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．
【點睛】本題考查切線的判定和性質，圓周角定理，直角三角形的邊角關系以及相似三角形，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關系以及相似三角形的性質是正確解答的前提．
例4（2022 德陽）如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，與BC相交于點G，則下列結論：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，則∠BEC＝120°；③若點G為BC的中點，則∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正確的個數是（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【點撥】利用三角形內心的性質得到∠BAD＝∠CAD，則可對①進行判斷；直接利用三角形內心的性質對②進行判斷；根據垂徑定理則可對③進行判斷；通過證明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，則可對④進行判斷．
【解析】解：∵E是△ABC的內心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正確；
如圖，連接BE，CE，
∵E是△ABC的內心，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正確；
∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵點G為BC的中點，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，故③正確；
如圖，連接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正確．
∴一定正確的①②③④，共4個．
故選：D．
【點睛】本題考查了三角形的內切圓與內心，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解決本題的關鍵是掌握三角形的內心與外心．
考點過關☆專項突破
類型一 直線與圓的位置關系
1．（2022 六盤水）如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關系是（　?。?br/>A．相切 B．相交 C．相離 D．平行
【答案】B
【點撥】直接利用直線與圓的位置關系的定義進行判斷．
【解析】解：根據直線與圓的位置關系可得，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關系相交，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，根據交點個數直接判斷是解題的關鍵．
2．（2023 宿遷）在同一平面內，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是（　?。?br/>A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【點撥】根據圓心到直線l的距離為3，而圓的半徑為2，此時直線與圓相離，當點P在⊙O上運動時，當點P在BO的延長線與⊙O的交點時，點P到直線l的距離最大，根據題意畫出圖形進行解答即可．
【解析】解：如圖，由題意得，OA＝2，OB＝3，
當點P在BO的延長線與⊙O的交點時，點P到直線l的距離最大，
此時，點P到直線l的最大距離是3+2＝5，
故選：B．
【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，掌握直線與圓的位置與圓心到直線的距離之間的關系是解決問題的關鍵．
3．（2023 鎮江）已知一次函數y＝kx+2的圖象經過第一、二、四象限，以坐標原點O為圓心，r為半徑作⊙O．若對于符合條件的任意實數k，一次函數y＝kx+2的圖象與⊙O總有兩個公共點，則r的最小值為 　2?。?br/>【答案】2．
【點撥】在y＝kx+2中，令x＝0，則y＝2，于是得到一次函數y＝kx+2的圖象與y軸交于（0，2），求得一次函數過定點（0，2），當⊙O過（0，2）時，兩者至少有一個交點，根據一次函數經過一、二、四象限，得到直線與圓必有兩個交點，而當⊙O半徑小于2時，圓與直線存在相離可能，于是得到結論．
【解析】解：在y＝kx+2中，令x＝0，則y＝2，
∴一次函數y＝kx+2的圖象與y軸交于（0，2），
∴一次函數過定點（0，2），
當⊙O過（0，2）時，兩者至少有一個交點，
∵一次函數經過一、二、四象限，
∴直線與圓必有兩個交點，
而當⊙O半徑小于2時，圓與直線存在相離可能，
∴半徑至少為2，
故r的最小值為2，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，一次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握直線與圓的位置關系是解題的關鍵．
4．（2022 上海）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當等弦圓最大時，這個圓的半徑為 　2﹣?。?br/>【答案】2﹣．
【點撥】根據題意畫出相應的圖形，利用圓周角定理、直角三角形的邊角關系以及三角形的面積公式進行計算即可．
【解析】解：如圖，∵圓與三角形的三條邊都有兩個交點，截得的三條弦相等，
∴圓心O就是三角形的內心，
∴當⊙O過點C時，且在等腰直角三角形ABC的三邊上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此時⊙O最大，
過點O分別作弦CG、CF、DE的垂線，垂足分別為P、N、M，連接OC、OA、OB，
∵CG＝CF＝DE，
∴OP＝OM＝ON，
∵∠C＝90°，AB＝2，AC＝BC，
∴AC＝BC＝×2＝，
由S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC，
∴AC OP+BC ON+AB OM＝S△ABC＝AC BC，
設OM＝x，則OP＝ON＝x，
∴x+x+2x＝×，
解得x＝﹣1，
即OP＝ON＝﹣1，
在Rt△CON中，OC＝ON＝2﹣，
故答案為：2﹣．
【點睛】本題考查直角三角形的邊角關系以及三角形面積的計算，掌握直角三角形的邊角關系以及三角形面積的計算方法是正確解答的前提，畫出符合題意的圖形是正確解答的關鍵．
5．（2023 揚州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB上一點，且∠BCD＝∠A，點O在BC上，以點O為圓心的圓經過C、D兩點．
（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若sinB＝，⊙O的半徑為3，求AC的長．
【答案】（1）直線AB與⊙O相切，理由見解析；（2）6．
【點撥】（1）連接OD，根據等腰三角形的性質得到∠OCD＝∠ODC，求得∠DOB＝∠OCD+∠ODC＝2∠BCD，等量代換得到∠BOD＝∠A，求得∠BDO＝90°，根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）根據三角函數的定義得到OB＝5，求得BC＝OB+OC＝8，設AC＝3x，AB＝5x，根據勾股定理得到BC＝＝4x＝8，于是得到結論．
【解析】解：（1）直線AB與⊙O相切，
理由：連接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠DOB＝∠OCD+∠ODC＝2∠BCD，
∴，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BOD＝∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠BDO＝90°，
∵OD是⊙O的半徑，
∴直線AB與⊙O相切；
（2）∵sinB＝＝，OD＝3，
∴OB＝5，
∴BC＝OB+OC＝8，
在Rt△ACB中，sinB＝＝，
∴設AC＝3x，AB＝5x，
∴BC＝＝4x＝8，
∴x＝2，
∴AC＝3x＝6．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，切線的判定，解直角三角形，等腰三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
8．（2023 鹽城）如圖，在△ABC中，O是AC上（異于點A，C）的一點，⊙O恰好經過點A，B，AD⊥CB于點D，且AB平分∠CAD．
（1）判斷BC與⊙O的位置關系，并說明理由．
（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半徑長．
【答案】見解析
【點撥】（1）連接OB，證明AD∥OB，進而可以解決問題；
（2）利用勾股定理求出AD，然后根據平行線分線段成比例定理即可求出半徑．
【解析】解：（1）BC與⊙O相切，理由如下：
如圖，連接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB平分∠CAD，
∴∠DAB＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠OBA，
∴AD∥OB，
∵AD⊥CB，
∴OB⊥CB，
∵OB是⊙O的半徑，
∴BC與⊙O相切；
（2）∵∠D＝90°，AC＝10，DC＝8，
∴AD＝＝6，
∵AD∥OB，
∴＝，
∴＝，
∵OA＝OB，
∴OB＝，
∴⊙O的半徑長為．
【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系，勾股定理，平行線分線段成比例定理，切線的判定，平行線的性質，解決本題的關鍵是掌握切線的判定方法．
類型二 切線的性質
1．（2023 眉山）如圖，AB切⊙O于點B，連結OA交⊙O于點C，BD∥OA交⊙O于點D，連結CD，若∠OCD＝25°，則∠A的度數為（　?。?br/>A．25° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【點撥】連接OB，由切線的性質得到∠ABO＝90°，由平行線的性質得到∠D＝∠OCD＝25°，由圓周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．
【解析】解：連接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴半徑OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠D＝∠OCD＝25°，
∴∠O＝2∠D＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．
故選：C．
【點睛】本題考查切線的性質，圓周角定理，關鍵是由圓周角定理得到∠O＝2∠D，由切線的性質定理得到∠ABO＝90°，由直角三角形的性質即可求出∠A的度數．
2．（2023 重慶）如圖，AC是⊙O的切線，B為切點，連接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，則OC的長度是（　?。?br/>A．3 B． C． D．6
【答案】C
【點撥】根據切線的性質得到OB⊥AC，求得∠ABO＝∠CBO＝90°，得到OB＝AB＝2，根據勾股定理即可得到結論．
【解析】解：連接OB，
∵AC是⊙O的切線，
∴OB⊥AC，
∴∠ABO＝∠CBO＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝2，
∴OB＝AB＝2，
∵BC＝3，
∴OC＝＝＝，
故選：C．
【點睛】本題考查了切線的性質，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
3．（2023 無錫）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，OA與BC交于點D，AB＝AD，若∠C＝20°，則∠OAB等于（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【點撥】由AB與⊙O相切于點B，證明∠OBA＝90°，由OB＝OC，得∠OBC＝∠C＝20°，求得∠ABD＝∠OBA﹣∠OBC＝70°，因為AB＝AD，所以∠ADB＝∠ABD＝70°，則∠OAB＝40°，于是得到問題的答案．
【解析】解：∵AB與⊙O相切于點B，
∴AB⊥OB，
∴∠OBA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝20°，
∴∠ABD＝∠OBA﹣∠OBC＝90°﹣20°＝70°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝70°，
∴∠OAB＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故選：C．
【點睛】此題重點考查切線的性質定理、等腰三角形的性質、三角形內角和定理等知識，求得∠ABD＝70°是解題的關鍵．
4．（2023 哈爾濱）如圖，AB是⊙O的切線，A為切點，連接OA，點C在⊙O上，OC⊥OA，連接BC并延長，交⊙O于點D，連接OD，若∠B＝65°，則∠DOC的度數為（　　）
A．45° B．50° C．65° D．75°
【答案】B
【點撥】根據切線的性質證明AB∥OC，得∠OCD＝∠B＝65°，然后再根據等腰三角形的性質即可解決問題．
【解析】解：∵AB是⊙O的切線，A為切點，
∴OA⊥AB，
∵OC⊥OA，
∴AB∥OC，
∴∠OCD＝∠B＝65°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝65°，
∴∠DOC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故選：B．
【點睛】本題考查了切線的性質，解決本題的關鍵是掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑．
5．（2023 湘西州）如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D．若AB＝10，PC＝12，則sin∠CAD等于（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【點撥】連接OC、OD、CD，CD交PA于E，如圖，利用切線的性質和切線長定理得到OC⊥CP，PC＝PD，OP平分∠CPD，根據等腰三角形的性質得到OP⊥CD，則∠COB＝∠DOB，根據圓周角定理得到，所以∠COB＝∠CAD，然后求出sin∠COP即可．
【解析】解：連接OC、OD、CD，CD交PA于E，如圖，
∵PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D，
∴OC⊥CP，PC＝PD，OP平分∠CPD，
∴OP⊥CD，
∴＝，
∴∠COB＝∠DOB，
∵，
∴∠COB＝∠CAD，
∵AB＝10，
∴AO＝OC＝OB＝5，
∵OC＝5，PC＝12，
在Rt△OCP中，
，
∴，
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了圓周角定理和解直角三角形．
6．（2023 瀘州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在斜邊AB上，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點E，與AC相交于點F，連接DE．若AC＝8，BC＝6，則DE的長是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【點撥】首先求出AB＝10，先證△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性質可求出OE，BE的長，進而可求出CE的長和AE的長，然后再證△BDE和△BEA相似，最后利用相似三角形的性質即可求出DE．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：，
連接AE，OE，
設⊙O的半徑為r，則OA＝OE＝r，
∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，
∵BC與半圓相切，
∴OE⊥BC，
∵∠C＝90°，即AC⊥BC，
∴OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴，
即：，
由得：，
由得：，
∴，
在Rt△ACE中，AC＝8，，
由勾股定理得：，
∵BE為半圓的切線，
∴∠BED＝∠BAE，
又∠DBE＝∠EBA，
∴△BDE∽△BEA，
∴，
∴DE AB＝BE AE，
即：，
∴．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，弦切角定理，勾股定理等知識點，解答此題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，靈活運用相似三角形的性質和勾股定理進行計算．
7．（2023 濱州）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，且∠APB＝56°，若點C是⊙O上異于點A，B的一點，則∠ACB的大小為 　62°或118°?。?br/>【答案】62°或118°．
【點撥】由切線的性質求得∠PAO＝∠PBO＝90°，由多邊形內角和定理求得∠AOB＝124°，根據圓周角定理即可求得答案．
【解析】解：如圖，連接CA，BC，
∵PA、PB切⊙O于點A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，
由圓周角定理知，∠ACB＝∠AOB＝62°．
當點C在劣弧AB上時，
由圓內接四邊形的性質得∠ACB＝118°，
故答案為：62°或118°．
【點睛】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，熟練掌握相關定理是解決問題的關鍵．
8．（2023 黑龍江）如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于點C，連接BC，若∠P＝28°，則∠B＝　31　°．
【答案】31．
【點撥】利用圓的切線的性質定理得到∠OAP＝90°，利用直角三角形的性質得到∠AOP＝90°﹣∠P＝62°，再利用圓周角定理解答即可得出結論．
【解析】解：∵PA切⊙O于點A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°．
∵∠P＝28°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝62°，
∴∠B＝∠AOP＝31°．
故答案為：31．
【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，圓的切線的性質定理，直角三角形的性質，圓周角定理，熟練掌握上述定理與性質是解題的關鍵．
9．（2023 北京）如圖，OA是⊙O的半徑，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于點D，AE是⊙O的切線，AE交OC的延長線于點E．若∠AOC＝45°，BC＝2，則線段AE的長為 　?。?br/>【答案】見解析
【點撥】根據切線的性質得到∠A＝90°，根據等腰直角三角形的性質得到OD＝CD，OA＝AE，根據垂徑定理得到CD＝，于是得到結論．
【解析】解：∵OA是⊙O的半徑，AE是⊙O的切線，
∴∠A＝90°，
∵∠AOC＝45°，OA⊥BC，
∴△CDO和△EAO是等腰直角三角形，
∴OD＝CD，OA＝AE，
∵OA⊥BC，
∴CD＝，
∴OD＝CD＝1，
∴OC＝OD＝，
∴AE＝OA＝OC＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查了切線的性質，垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．
10．（2023 福建）如圖，已知△ABC內接于⊙O，CO的延長線交AB于點D，交⊙O于點E，交⊙O的切線AF于點F，且AF∥BC．
（1）求證：AO∥BE；
（2）求證：AO平分∠BAC．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析．
【點撥】（1）根據切線的性質得到AF⊥OA，求得∠OAF＝90°，根據圓周角定理得到∠CBE＝90°，求得∠OAF＝∠CBE，根據平行線的性質得到∠BAF＝∠ABC，于是得到∠OAB＝∠ABE，根據平行線的判定定理即可得到AO∥BE；
（2）根據圓周角定理得到∠ABE＝∠ACE，根據等腰三角形的性質得到∠ACE＝∠OAC，等量代換得到∠ABE＝∠OAC，由（1）知，∠OAB＝∠ABE，根據角平分線的定義即可得到結論．
【解析】證明：（1）∵AF是⊙O的切線，
∴AF⊥OA，
即∠OAF＝90°，
∵CE是⊙O的直徑，
∴∠CBE＝90°，
∴∠OAF＝∠CBE，
∵AF∥BC，
∴∠BAF＝∠ABC，
∴∠OAF﹣∠BAF＝∠CBE﹣∠ABC，
即∠OAB＝∠ABE，
∴AO∥BE；
（2）∵∠ABE 與∠ACE 都是所對的圓周角，
∴∠ABE＝∠ACE，
∵OA＝OC，
∴∠ACE＝∠OAC，
∴∠ABE＝∠OAC，
由（1）知，∠OAB＝∠ABE，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AO平分∠BAC．
【點睛】本題考查了切線的性質，角平分線的定義、平行線的判定與性質、等腰三角形的性質、熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．
11．（2023 甘孜州）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC為直徑的⊙O交AC邊于點D，過點C作⊙O的切線，交BD的延長線于點E．
（1）求證：∠DCE＝∠DBC；
（2）若AB＝2，CE＝3，求⊙O的半徑．
【答案】（1）見解析；
（2）．
【點撥】（1）先根據圓周角定理得到∠BDC＝90°．再根據切線的性質得到∠BCE＝90°．然后利用等角的余角相等得到∠DCE＝∠DBC；
（2）先證明AB∥CE得到∠A＝∠DCE，則可證明∠A＝∠DBC，利用正切的定義，在Rt△ABC中有anA＝，在Rt△BCE中有an∠EBC＝，所以＝，然后求出BC的長，從而得到⊙O的半徑．
【解析】（1）證明：∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC＝90°．
∵CE為⊙O的切線，
∴CE⊥BC，
∴∠BCE＝90°．
∵∠DCE+∠BCD＝90°，∠DBC+∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝∠DBC；
（2）解：∵∠ABC+∠BCE＝90°+90°＝180°，
∴AB∥CE，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBC，
在Rt△ABC中，tanA＝＝，
在Rt△BCE中，tan∠EBC＝＝，
即＝，
∴BC2＝2×3＝6，
∴BC＝，
∴⊙O的半徑為．
【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了圓周角定理和解直角三角形．
12．（2023 寧夏）如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線DC是⊙O的切線，切點為C，AE⊥DC，垂足為E．連接AC．
（1）求證：AC平分∠BAE；
（2）若AC＝5，tan∠ACE＝，求⊙O的半徑．
【答案】（1）見解析；
（2）．
【點撥】（1）連接OC，由切線的性質得到OC⊥DC，進而得到OC∥AE，根據平行線的性質和等腰三角形的性質即可證得結論；
（2）連接DE，根據直徑所對的圓周角是直角可得∠BDE＝90°，再利用（1）的結論可得tan∠ABC＝tan∠ACE＝，從而求出BC的長，然后再利用勾股定理求出AB的長，即可解答．
【解析】（1）證明：連接OC，
∵直線DC是⊙O的切線，切點為C，
∴OC⊥DC，
又∵AE⊥DC，垂足為E，
∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠ACO，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠EAC＝∠OAC，
∴AC平分∠BAE；
（2）解：連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
又∵AE⊥DC，
由（1）得：∠EAC＝∠OAC，
∴∠ABC＝∠ACE，
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝tan∠ACE＝，
∴＝＝，
∴BC＝，
在Rt△ABC中，AB＝＝，
∴OA＝．
【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，解直角三角形，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
類型三 切線的性質與判定綜合
1．（2023 廣西）如圖，PO平分∠APD，PA與⊙O相切于點A，延長AO交PD于點C，過點O作OB⊥PD，垂足為B．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為4，OC＝5，求PA的長．
【答案】見解析
【點撥】（1）由切線的性質得PA⊥OA，而PO平分∠APD，OB⊥PD，所以OB＝OA，則點B在⊙O上，即可證明PB是⊙O的切線；
（2）由OA＝OB＝4，OC＝5，得AC＝OA+OC＝9，BC＝＝3，由＝＝tan∠ACP＝，得PA＝AC＝12，所以PA的長是12．
【解析】（1）證明：∵PA與⊙O相切于點A，且OA是⊙O的半徑，
∴PA⊥OA，
∵PO平分∠APD，OB⊥PD于點B，OA⊥PA于點A，
∴OB＝OA，
∴點B在⊙O上，
∵OB是⊙O的半徑，且PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切線．
（2）解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，
∴AC＝OA+OC＝4+5＝9，
∵∠OBC＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∵∠A＝90°，
∴＝＝tan∠ACP＝，
∴PA＝AC＝×9＝12，
∴PA的長是12．
【點睛】此題重點考查切線的性質定理、角平分線的性質、勾股定理、銳角三角函數與解直角三角形等知識，根據角平分線的性質證明OB＝OA是解題的關鍵．
2．（2023 內蒙古）如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點，點C是的中點，連接BC，過點C的直線垂直于BE的延長線于點D，交BA的延長線于點P．
（1）求證：PC為⊙O的切線；
（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的長．
【答案】（1）略；（2）．
【點撥】（1）連接OC，證PD⊥CO即可；（2）利用線段成比例列方程即可．
【解析】
（1）證明：連接OC，
∵點C是的中點，
∴∠ABC＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥DB，
∵PD⊥BD，
∴PD⊥CO，
∴PC為⊙O的切線；
（2）解：連接AE，設OB＝OC＝r，
∵PC＝2BO＝2r，
∴OP＝＝3r，
∵PB＝10，
∴3r+r＝10，即r＝．
∵OC∥DB，
∴△PCO∽△PDB，
∴，
∴，
∴BD＝，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AE⊥BD，
∴AE∥PD，
∴，
∴，
∴BE＝．
【點睛】本題主要考查了切線，相似三角形等相關知識，找準線段成比例列方程是關鍵．
3．（2023 宜賓）如圖，以AB為直徑的⊙O上有兩點E、F，＝，過點E作直線CD⊥AF交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C，過C作CM平分∠ACD交AE于點M，交BE于點N．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：EM＝EN；
（3）如果N是CM的中點，且AB＝9，求EN的長．
【答案】（1）（2）證明見解析；
（3）EN的長為6．
【點撥】（1）連接OE，由＝，得∠FAE＝∠EAB，可得∠FAE＝∠AEO，AF∥OE，又CD⊥AF，故OE⊥CD，CD是⊙O的切線；
（2）由∠CEB＝∠EAC（弦切角定理），∠ECM＝∠ACM，可得∠ENM＝∠EMN，EM＝EN；
（3）證明△EMC∽△BNC，可得＝＝＝2，又△BEC∽△EAC，可得AE＝2BE，在Rt△ABE中，（2BE）2+BE2＝（9）2，求出BE＝9，故EN＝BE＝6．
【解析】（1）證明：連接OE，如圖：
∵＝，
∴∠FAE＝∠EAB，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠EAB，
∴∠FAE＝∠AEO，
∴AF∥OE，
∵CD⊥AF，
∴OE⊥CD，
∵OE是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）證明：如圖：
由（1）知CD是⊙O的切線，
∴∠CEB＝∠EAC（弦切角定理），
∵CM平分∠ACD，
∴∠ECM＝∠ACM，
∴∠CEB+∠ECM＝∠EAC+∠ACM，
∴∠ENM＝∠EMN，
∴EM＝EN；
（3）解：如圖：
由（2）知EM＝EN，∠EMN＝∠ENM，
∴∠EMN＝∠BNC，
∵∠ECM＝∠BCN，
∴△EMC∽△BNC，
∴＝＝，
∵N是CM的中點，
∴＝＝＝2，
∴EM＝2BN，CE＝2BC，
∵∠BEC＝∠EAB，∠BCE＝∠ECA，
∴△BEC∽△EAC，
∴＝＝＝，
∴AE＝2BE，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
∴（2BE）2+BE2＝（9）2，
∴BE＝9，
∵EN＝EM＝2BN，
∴EN＝BE＝6．
∴EN的長為6．
【點睛】本題考查切線的判定與性質，圓的性質及應用，涉及三角形相似的判定與性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理．
4．（2023 樂山）如圖，已知⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB＝90°，D是圓上一點，E是DC延長線上一點，連接AD、AE，且AD＝AE，CA＝CE．
（1）求證：直線AE是⊙O的切線；
（2）若sinE＝，⊙O的半徑為3，求AD的長．
【答案】（1）證明見解析；
（2）AD的長是．
【點撥】（1）先由∠ACB＝90°，證明AB是⊙O的直徑，再證明∠CAE＝∠B，則∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，即可證明直線AE是⊙O是的切線；
（2）由∠E＝∠CAE＝∠B，得＝sinB＝sinE＝＝，則CE＝CA＝AB＝×6＝4，CF＝CE＝×4＝，所以AF＝EF＝＝，則AD＝AE＝2AF＝．
【解析】（1）證明：∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直徑，
∵AD＝AE，
∴∠E＝∠D，
∵∠B＝∠D，
∴∠E＝∠B，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠B，
∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，
∵OA是⊙O的半徑，且AE⊥OA，
∴直線AE是⊙O的切線．
（2）解：作CF⊥AE于點F，則∠CFE＝90°，
∵∠E＝∠CAE＝∠B，
∴＝sinB＝sinE＝＝，
∵OA＝OB＝3，
∴AB＝6，
∴CE＝CA＝AB＝×6＝4，
∴CF＝CE＝×4＝，
∴AF＝EF＝＝＝，
∴AD＝AE＝2AF＝2×＝，
∴AD的長是．
【點睛】此題重點考查切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質、勾股定理、銳角三角函數與解直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．
5．（2023 常德）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB是直徑，C是的中點，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的長．
【答案】（1）見解析；
（2）DE＝，EC＝．
【點撥】（1）根據等腰三角形的性質以及圓心角、弦、弧之間的關系可得∠CAE＝∠OCA，進而得到OC∥AE，再根據平行線的性質得出OC⊥EC即可；
（2）利用相似三角形的性質，勾股定理以及圓心角、弧、弦之間的關系進行計算即可．
【解析】（1）證明：如圖，連接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵點C是的中點，
∴∠OAC＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是半徑，
∴CE是⊙O的切線；
（2）解：∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
又∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴，
即，
∴，
∵點C是的中點，即＝，
∴CD＝BC＝6，
∴，
答：DE＝，EC＝．
【點睛】本題考查切線的判定與性質，圓周角定理，勾股定理以及圓心角、弦、弧之間的關系，掌握切線的判定方法，圓周角定理，勾股定理以及圓心角、弦、弧之間的關系是正確解答的前提．
類型四 三角形的內切圓和內心
1．（2023 聊城）如圖，點O是△ABC外接圓的圓心，點I是△ABC的內心，連接OB，IA．若∠CAI＝35°，則∠OBC的度數為（　　）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
【答案】C
【點撥】連接IC，IB，OC，根據點I是△ABC的內心，得到AI平分∠BAC，根據角平分線的定義得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根據圓周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根據等腰三角形的性質即可得到結論．
【解析】解：連接OC，
∵點I是△ABC的內心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
∵點O是△ABC外接圓的圓心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的內切圓與內心，三角形的外接圓與外心，角平分線的定義，等腰三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
2．（2023 廣州）如圖，△ABC的內切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，若⊙I的半徑為r，∠A＝α，則（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分別為（　　）
A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
【答案】D
【點撥】如圖，連接IF，IE．利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質解決問題即可．
【解析】解：如圖，連接IF，IE．
∵△ABC的內切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，
∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，
∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，
∴∠EIF＝180°﹣α，
∴∠EDF＝∠EIF＝90°﹣α．
故選：D．
【點睛】本題考查三角形的內切圓與內心，圓周角定理，切線的性質等知識，解題的關鍵是掌握切線的性質，屬于中考?？碱}型．
3．（2023 威海）在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列說法錯誤的是（　?。?br/>A．1＜AB＜7 B．S△ABC≤6
C．△ABC內切圓的半徑r＜1 D．當AB＝時，△ABC是直角三角形
【答案】C
【點撥】根據三角形的性質逐個判斷即可．
【解析】解：A、由三角形三邊關系得，4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，故A正確，不符合題意；
B、當BC⊥AC時，S△ABC最大，此時S△ABC＝×3×4＝6，故B正確，不符合題意；
C、三角形內切圓半徑r＝，當S△ABC＝6時，則此時r＝＝1，所以r＜1錯誤，故C錯誤，符合題意；
D、當AB＝時，BC2＝AC2﹣AB2，所以△ABC時直角三角形，故D正確，不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形相關知識點的應用，三角形面積、勾股定理、內切圓半徑的求法是解題關鍵．
4．（2023 攀枝花）已知△ABC的周長為l，其內切圓的面積為πr2，則△ABC的面積為（　?。?br/>A．rl B．πrl C．rl D．πrl
【答案】A
【點撥】由題意可得S△AOB＝AB×OE＝AB×r，S△BOC＝BC×r，S△AOC＝AC×r，由面積關系可求解．
【解析】解：如圖，設內切圓O與△ABC相切于點D，點E，點F，連接OA，OB，OC，OE，OF，OD，
∵AB切⊙O于E，
∴OE⊥AB，OE＝r，
∴S△AOB＝AB×OE＝AB×r，
同理：S△BOC＝BC×r，
S△AOC＝AC×r，
∴S＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝AB×r+BC×r+AC×r＝（AB+BC+AC）×r，
∵l＝AB+BC+AC，
∴S＝lr，
故選：A．
【點睛】本題考查了三角形的內切圓與內心，掌握內切圓的性質是解題的關鍵．
5．（2022 婁底）如圖，等邊△ABC內切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內切圓中的黑色部分和白色部分關于等邊△ABC的內心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【點撥】根據題意和圖形，可知圓中的黑色部分的面積是圓的面積的一半，然后即可計算出圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比．
【解析】解：作AD⊥BC于點D，作BE⊥AC于點E，AD和BE交于點O，如圖所示，
設AB＝2a，則BD＝a，
∵∠ADB＝90°，
∴AD＝＝a，
∴OD＝AD＝a，
∴圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是：＝，
故選：A．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質、圓的面積、三角形的內切圓與內心，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
6．（2023 鎮江）《九章算術》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形內切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據勾、股，求得弦長．用勾、股、弦相加作為除數，用勾乘以股，再乘以2作為被除數，商即為該直角三角形內切圓的直徑，求得該直徑等于 　6　步（注：“步”為長度單位）．
【答案】6．
【點撥】根據勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據直角三角形的內切圓的半徑的求法確定出內切圓半徑，得到直徑．
【解析】解：根據勾股定理得：斜邊為＝17，
則該直角三角形能容納的圓形（內切圓）直徑為＝＝6步，
故答案為：6．
【點睛】此題考查了三角形的內切圓與內心，掌握Rt△ABC中，兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，其內切圓半徑r＝是解題的關鍵．
7．（2023 湖北）如圖，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的內切圓⊙O與AB，BC分別相切于點D，E，連接DE，AO的延長線交DE于點F，則∠AFD＝　35°?。?br/>【答案】35°．
【點撥】根據內切圓的定義和切線長定理，可以計算出∠AOB的度數和∠OGF的度數，然后即可計算出∠AFD的度數．
【解析】解：連接OD，OE，OB，OB交ED于點G，
∵∠ACB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝110°，
∵點O為△ABC的內切圓的圓心，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∴∠AOB＝125°，
∵OE＝OD，BD＝BE，
∴OB垂直平分DE，
∴∠OGE＝90°，
∴∠AFD＝∠AOB﹣∠OGF＝125°﹣90°＝35°，
故答案為：35°．
【點睛】本題考查三角形內切圓、切線長定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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