資源簡介

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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題21 相似和位似問題
考點掃描☆聚焦中考
相似和位似問題近幾年各地中考主要以填空題或選擇題形式考查，屬于中檔題，難度一般，少數以解答題的形式考查，此類題型屬于中高檔題，難度比較大；考查內容主要有：相似三角形的定義、性質與判定；平行線分線段成比例定理；相似多邊形的性質；位似的性質；考查熱點有：相似三角形的性質及判定；位似的性質；平行線分線段成比例定理、相似三角形與生活實際問題的應用。
考點剖析☆典型例題
例1（2023 北京）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，則的值為 　　．
【答案】
【點撥】根據題意求出AF，再根據平行線分線段成比例定理計算即可．
【解析】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．
例2 （2023 綿陽）黃金分割由于其美學性質，受到攝影愛好者和藝術家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點E，以E為圓心，線段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（　　）
A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a
【答案】D
【點撥】設AB＝x，根據正方形的性質可得AB＝BC＝x，然后根據黃金矩形的定義可得＝，從而可得＝，最后進行計算即可解答．
【解析】解：設AB＝x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝x，
∵矩形ABFG是黃金矩形，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝（2+2）a，
經檢驗：x＝（2+2）a是原方程的根，
∴AB＝（2+2）a，
故選：D．
【點睛】本題考查了黃金分割，正方形的性質，矩形的性質，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．
例3 （2022 上海）如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點E，F在線段BC上，點Q在線段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ AB．
求證：（1）∠CAE＝∠BAF；
（2）CF FQ＝AF BQ．
【答案】證明見解析
【點撥】（1）根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠C，利用SAS證明△ACE≌△ABF，根據全等三角形的性質即可得解；
（2）利用全等三角形的性質，結合題意證明△ACE∽AFQ，△CAF∽△BFQ，根據相似三角形的性質即可得解．
【解析】證明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CF＝BE，
∴CF﹣EF＝BE﹣EF，
即CE＝BF，
在△ACE和△ABF中，
，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE＝∠BAF；
（2）∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，
∵AE2＝AQ AB，AC＝AB，
∴＝，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC＝∠AQF，
∴∠AEF＝∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴∠BQF＝∠AFE，
∵∠B＝∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴＝，
即CF FQ＝AF BQ．
【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
例4 （2023 湖州）某數學興趣小組測量校園內一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架（EF）放在離樹（AB）適當距離的水平地面上的點F處，再把鏡子水平放在支架（EF）上的點E處，然后沿著直線BF后退至點D處，這時恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量BF，DF，EF，觀測者目高（CD）的長，利用測得的數據可以求出這棵樹的高度．已知CD⊥BD于點D，EF⊥BD于點F，AB⊥BD于點B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，則這棵樹的高度（AB的長）是 　4.1　米．
【答案】4.1
【點撥】過點E作水平線交AB于點G，交CD于點H，根據鏡面反射的性質求出△CHE∽△AGE，再根據對應邊成比例解答即可．
【解析】解：過點E作水平線交AB于點G，交CD于點H，如圖，
∵DB是水平線，CD，EF，AB都是鉛垂線，
∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，
∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），
又根據題意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，
∴△CHE∽△AGE，
∴，即，
解得：AG＝3.6米，
∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．
故答案為：4.1．
【點睛】本題考查的是相似三角形的應用，通過作輔助線構造相似三角形，并利用相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．
例5（2023 朝陽）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，2），B（4，1），以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點A的對應點A′的坐標是（　　）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
【答案】D
【點撥】根據位似變換的性質計算，得到答案．
【解析】解：∵以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點A的坐標為（2，2），
∴點A的對應點A′的坐標為（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），
故選：D．
【點睛】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．
考點過關☆專項突破
類型一 比例線段
1．（2023 金昌）若＝，則ab＝（　　）
A．6 B． C．1 D．
【答案】A
【點撥】直接利用比例的性質，內項之積等于外項之積即可得出答案．
【解析】解：∵＝，
∴ab＝6．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了比例的性質，正確將原式變形是解題關鍵．
2．（2023 吉林）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【點撥】由DE∥BC，利用平行線分線段成比例，可得出＝，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出結論．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴＝＝＝＝．
故選：A．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例”是解題的關鍵．
3．（2023 常州）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：
畫法 圖形
（1）以A為端點畫一條射線；（2）用圓規在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；（3）過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N．M、N就是線段AB的三等分點．
這一畫圖過程體現的數學依據是（　　）
A．兩直線平行，同位角相等 B．兩條平行線之間的距離處處相等
C．垂直于同一條直線的兩條直線平行 D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【答案】D
【點撥】根據平行線分線段成比例定理解答即可．
【解析】解：∵CM∥DN∥BE，
∴AC：CD：DE＝AM：MN：NB，
∵AC＝CD＝DE，
∴AM＝MN＝NB，
∴這一畫圖過程體現的數學依據是兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，
故選：D．
【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，尺規作圖，掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．
4．（2022 巴中）如圖，在平面直角坐標系中，C為△AOB的OA邊上一點，AC：OC＝1：2，過C作CD∥OB交AB于點D，C、D兩點縱坐標分別為1、3，則B點的縱坐標為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【點撥】根據CD∥OB得出，根據AC：OC＝1：2，得出，根據C、D兩點縱坐標分別為1、3，得出OB＝6，即可得出答案．
【解析】解：∵CD∥OB，
∴，
∵AC：OC＝1：2，
∴，
∵C、D兩點縱坐標分別為1、3，
∴CD＝3﹣1＝2，
∴，
解得：OB＝6，
∴B點的縱坐標為6，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，平面直角坐標系中點的坐標，根據題意得出，是解題的關鍵．
5．（2023 濟南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點E，連接DE．以下結論不正確的是（　　）
A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．
【答案】C
【點撥】根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再根據題意可得：CP平分∠ACB，從而可得∠BCE＝∠ACE＝36°，然后利用等量代換可得∠A＝∠ACE＝36°，從而可得AE＝CE，再利用三角形的外角性質可得∠B＝∠CEB＝72°，從而可得CB＝CE，進而可得AE＝CE＝CB，最后根據黃金三角形的定義可得＝，從而可得＝，再利用三角形的面積可得＝＝，從而進行計算即可解答．
【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，
由題意得：CP平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，
∴∠A＝∠ACE＝36°，
∴AE＝CE，
∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，
∴∠B＝∠CEB＝72°，
∴CB＝CE，
∴AE＝CE＝CB，
∵△BCE是頂角為36°的等腰三角形，
∴△BCE是黃金三角形，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
故A、B、D不符合題意，C符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了黃金分割，角平分線的性質，等腰三角形的判定與性質，作圖﹣基本作圖，熟練掌握等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵．
6．（2021 大慶）已知，則＝　　．
【答案】．
【點撥】利用比例的性質設x＝2k，則y＝3k，z＝4k，將x，y，z的值代入后化簡計算即可．
【解析】解：∵，
∴設x＝2k，則y＝3k，z＝4k，
∴＝．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了比例的性質，利用比例的性質設x＝2k，則y＝3k，z＝4k是解題的關鍵．
7．（2023 麗水）小慧同學在學習了九年級上冊“4.1 比例線段”3節課后，發現學習內容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當的數值，感受這種特殊化的學習過程．
【答案】2．
【點撥】由＝2，得到a＝2c，因此＝，得到b＝c，故＝＝，＝＝，所以＝＝．
【解析】解：當＝2時，＝＝，理由如下：
∵＝2，
∴a＝2c，
∴＝，
∴b＝c，
∴＝＝，＝＝，
∴＝＝．
故答案為：2．
【點睛】本題考查比例線段，關鍵是由＝2，＝＝，得到b＝c．
8．（2023 達州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為 　（80﹣160）　cm．（結果保留根號）
【答案】（80﹣160）．
【點撥】根據黃金分割的定義，進行計算即可解答．
【解析】解：∵點C是靠近點B的黃金分割點，AB＝80cm，
∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，
∵點D是靠近點A的黃金分割點，AB＝80cm，
∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，
∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，
∴支撐點C，D之間的距離為（80﹣160）cm，
故答案為：（80﹣160）．
【點睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．
類型二 相似三角形的性質與判定
1．（2023 重慶）若兩個相似三角形周長的比為1：4，則這兩個三角形對應邊的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【答案】B
【點撥】根據相似三角形的性質：相似三角形周長的比等于相似比，求解即可．
【解析】解：∵兩個相似三角形周長的比為1：4，
∴這兩個三角形對應邊的比為1：4，
故選：B．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．
2．（2023 哈爾濱）如圖，AC，BD相交于點O，AB∥DC，M是AB的中點，MN∥AC，交BD于點N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，則MN的長為（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【點撥】由AB∥DC易得△CDO∽△ABO，根據相似三角形的性質可得＝，于是AC＝OA+OC＝OA+OA＝12，求出OA＝8，易得MN為△AOB的中位線，則MN＝OA．
【解析】解：∵AB∥DC，
∴△CDO∽△ABO，
∴，
∵DO：OB＝1：2，
∴＝，
∴OC＝OA，
∵AC＝OA+OC＝12，
∴OA+OA＝12，
∴OA＝8，
∵MN∥AC，M是AB的中點，
∴MN為△AOB的中位線，
∴MN＝OA＝＝4．
故選：B．
【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理，熟記“8”字模型相似三角形，以及三角形中位線定理是解題關鍵．
3．（2023 東營）如圖，△ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長為（　　）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
【答案】C
【點撥】先證∠CAD＝∠BDE，再根據∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根據相似三角形的性質即可求出AD的長．
【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴，
∵BD＝4DC，
∴設DC＝x，
則BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴，
∴AD＝3，
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形相似的判定與性質，等邊三角形的性質，掌握有兩個角相等的兩個三角形相似是解題的關鍵．
4．（2023 雅安）如圖，在 ABCD中，F是AD上一點，CF交BD于點E，CF的延長線交BA的延長線于點G，EF＝1，EC＝3，則GF的長為（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【點撥】根據平行四邊形的性質得出AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，于是推出△DEF∽△BEC，△DFC∽△AFG，先求出DF與BC的比值，繼而得出DF與AF的比值，再根據相似三角形對應邊成比例即可求出GF的長．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，
∵EF＝1，EC＝3，
∴，
即，
∴，
∵AB∥CD，
∴△DFC∽△AFG，
∴，
∵EF＝1，EC＝3，
∴CF＝4，
∴，
∴GF＝8，
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和相似三角形的判定與性質，熟練掌握這些圖形的性質是解題的關鍵．
5．（2023 徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點．若點E在邊AC上，且，則AE的長為（　　）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
【答案】D
【點撥】由直角三角形的性質可求AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，分兩種情況討論，由三角形中位線定理和相似三角形的性質可求解．
【解析】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，
∵點D是AB的中點，
∴AD＝，
∵，
∴DE＝1，
如圖，當∠ADE＝90°時，
∵∠ADE＝∠ABC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE＝2，
如圖，當∠ADE≠90°時，取AC的中點H，連接DH，
∵點D是AB中點，點H是AC的中點，
∴DH∥BC，DH＝BC＝1，
∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，
∴∠DEH＝60°，
∴∠ADE＝∠A＝30°，
∴AE＝DE＝1，
故選：D．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．
6．（2021 鎮江）如圖，點D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點，若＝，則＝　　．
【答案】
【點撥】根據相似三角形對應中線的比等于相似比求出，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．
【解析】解：∵M，N分別是DE，BC的中點，
∴AM、AN分別為△ADE、△ABC的中線，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對應中線的比等于相似比是解題的關鍵．
7．（2023 樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點，連結AC、DE交于點F．若，則＝　　．
【答案】．
【點撥】通過證明△AEF∽△CDF，可得＝，即可求解．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵，
∴設AE＝2a，則BE＝3a，
∴AB＝CD＝5a，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝，
∴＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，證明三角形相似是解題的關鍵．
8．（2023 大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊AD上，現將矩形折疊，折痕為BN，點A對應的點記為點M，若點M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是 　△MCB　．
【答案】△MCB．
【點撥】利用矩形的性質得到∠D＝∠C＝90°，然后利用折疊的性質推導出∠BMN＝∠A＝90°，進而得到∠DNM＝∠CMB，由此推斷出△NDM∽△MCB．
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折疊的性質可知，∠BMN＝∠A＝90°，
∴∠DMN+∠CMB＝90°，
∴∠DNM＝∠CMB，
∴△NDM∽△MCB，
故答案為：△MCB．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定、矩形的性質以及翻折變換（折疊問題），熟練掌握相似三角形的判定方法是解答本題的關鍵：兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
9．（2023 呼和浩特）如圖，正方形ABCD的邊長為，點E是CD的中點，BE與AC交于點M，F是AD上一點，連接BF分別交AC，AE于點G，H，且BF⊥AE，連接MH，則AH＝　2　，MH＝　　．
【答案】2，．
【點撥】先求出AE＝5，證△DAE和△ABF全等得DE＝AF＝，AE＝BF＝5，再證△AFH∽△ADE，利用相似三角形的性質可得AH的長；過點M作MN⊥AE于點N，先求出AE＝BE＝5，EH＝3，BH＝4，證△MEC∽△MBA得ME：MB＝CE：AB＝1：2，進而得ME：EB＝1：3，再證△MNE∽△BHE，利用相似三角形的性質得MN＝，EN＝1，進而得HN＝2，最后在Rt△MHN中，由勾股定理可求出MH．
【解析】解：∵四邊形ABCD為正方形，且邊長為，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，
∵點E為CD的中點，
∴DE＝CE＝，
在Rt△ADE中，AD＝，DE＝，
由勾股定理得：，
∵∠BAD＝90°，BF⊥AE，
∴∠BAH+∠DAE＝90°，∠ABF+∠BAH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，
在△DAE和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴DE＝AF＝，AE＝BF＝5，
∵BF⊥AE，∠D＝90°，
∴∠AHF＝∠D＝90°，
又∠HAF＝∠DAE，
∴△AFH∽△ADE，
∴AH：AD＝AF：AE，
即：AH：＝：5，
∴AH＝2．
過點M作MN⊥AE于點N，如圖：
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE＝BE＝5，
∴EH＝AE﹣AH＝5﹣2＝3，
在Rt△AHB中，AB＝，AH＝2，
由勾股定理得：，
∵AB∥CD，
∴△MEC∽△MBA，
∴ME：MB＝CE：AB，
即：ME：MB＝：2，
∴ME：MB＝1：2，
∴ME：EB＝1：3，
∵BF⊥AE，MN⊥AE，
∴MN∥BH，
∴△MNE∽△BHE，
∴MN：BH＝EN：EH＝ME：EB
∴MN：4＝EN：3＝1：3，
∴MN＝，EN＝1，
∴HN＝EH﹣EN＝3﹣1＝2，
在Rt△MHN中，MN＝，HN＝2，
由勾股定理得：．
故答案為：2，．
【點睛】此題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質，靈活運用相似三角形的性質和勾股定理進行計算是解答此題的關鍵．
10．（2022 杭州）如圖，在△ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，＝．
（1）若AB＝8，求線段AD的長．
（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．
【答案】（1）2；
（2）6．
【點撥】（1）證明△ADE∽△ABC，根據相似三角形對應邊的比相等列式，可解答；
（2）根據相似三角形面積的比等于相似比的平方可得△ABC的面積是16，同理可得△EFC的面積＝9，根據面積差可得答案．
【解析】解：（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，
∴DE∥BF，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵AB＝8，
∴AD＝2；
（2）∵△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面積為1，
∴△ABC的面積是16，
∵四邊形BFED是平行四邊形，
∴EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴△EFC的面積＝9，
∴平行四邊形BFED的面積＝16﹣9﹣1＝6．
【點睛】本題主要平行四邊形的性質，相似三角形的性質和判定，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題關鍵．
11．（2023 上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求證：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF CE．
【答案】證明過程見解析．
【點撥】（1）證明△ACF≌△DAE（ASA），即可解決問題；
（2）證明△ABF∽△CDE，得AF DE＝BF CE，結合（1）AF＝DE，即可解決問題．
【解析】證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△DAE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，
∴AF DE＝BF CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF CE．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，梯形，勾股定理，熟練運用相似三角形的性質和判定是本題的關鍵．
12．（2023 眉山）如圖， ABCD中，點E是AD的中點，連結CE并延長交BA的延長線于點F．
（1）求證：AF＝AB；
（2）點G是線段AF上一點，滿足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于點H，若AG＝2，FG＝6，求GH的長．
【答案】（1）證明見解析；
（2）1.2．
【點撥】（1）先根據AAS證明△CDE≌△FAE，得CE＝EF，再根據平行線分線段成比例定理可得結論；
（2）先根據（1）可得：AB＝AF＝8，由平行線的性質和等腰三角形的判定可得CG＝GF＝6，證明△DCH∽△AGH，列比例式可得GH的長．
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，
∵E是AD的中點，
∴DE＝AE，
∴△CDE≌△FAE（AAS），
∴CE＝EF，
∵AE∥BC，
∴＝＝1，
∴AF＝AB；
（2）解：∵AG＝2，FG＝6，
∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，
∴AB＝AF＝8，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB＝8，
∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，
∴∠F＝∠FCG，
∴CG＝FG＝6，
∵CD∥AF，
∴△DCH∽△AGH，
∴＝，即＝，
∴GH＝1.2．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質，相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定等知識，掌握三角形全等和相似的性質和判定是解本題的關鍵．
13．（2023 蘇州）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．
（1）求證：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的長．
【答案】（1）證明過程見解析；
（2）ED＝．
【點撥】（1）根據圓周角定理得∠BDE＝∠BAC，進而可以證明結論；
（2）過點C作CG⊥AB，垂足為G，證明△DBE∽△ABC，得＝，代入值即可解決問題．
【解析】（1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∵ 所對的圓周角為∠BDE和∠BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴△DBE∽△ABC；
（2）解：如圖，過點C作CG⊥AB，垂足為G，
∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，
∴AB＝＝5，
∵CG⊥AB，
∴AG＝ACcosA＝×＝1，
∵AF＝2，
∴FG＝AG＝1，
∴AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，
∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，
∵△DBE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴ED＝．
【點睛】本題考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質、解直角三角形、勾股定理等知識點，解決本題的關鍵是得到△DBE∽△ABC．
類型三 相似三角形的應用
1．（2023 南充）如圖，數學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（　　）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
【答案】B
【點撥】根據鏡面反射的性質，△ABC∽△EDC，再根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可．
【解析】解：如圖：
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
即，
∴DE＝8（m），
故選：B．
【點睛】本題考查了相似三角形的應用．應用鏡面反射的基本性質，得出三角形相似，再運用相似三角形對應邊成比例即可解答．
2．（2023 南京）如圖，不等臂蹺蹺板AB的一端A碰到地面時，另一端B到地面的高度為60cm；當AB的一端B碰到地面時，另一端A到地面的高度為90cm，則蹺蹺板AB的支撐點O到地面的高度OH是（　　）
A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm
【答案】A
【點撥】過點B作BC⊥AH，垂足為C，再證明A字模型相似△AOH∽△ABC，從而可得＝，過點A作AD⊥BH，垂足為D，然后證明A字模型相似△ABD∽△OBH，從而可得＝，最后進行計算即可解答．
【解析】解：如圖：過點B作BC⊥AH，垂足為C，
∵OH⊥AC，BC⊥AC，
∴∠AHO＝∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝∠OAH，
∴△AOH∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
如圖：過點A作AD⊥BH，垂足為D，
∵OH⊥BD，AD⊥BD，
∴∠OHB＝∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝∠OBH，
∴△ABD∽△OBH，
∴＝，
∴＝，
∴+＝+，
∴+＝，
∴+＝1，
解得：OH＝36，
∴蹺蹺板AB的支撐點O到地面的高度OH是36cm，
故選：A．
【點睛】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關鍵．
3．（2023 鎮江）如圖，用一個卡鉗（AD＝BC，＝＝）測量某個零件的內孔直徑AB，量得CD長度為6cm，則AB等于 　18　cm．
【答案】18．
【點撥】根據相似三角形的判定和性質，可以求得AB的長．
【解析】解：∵＝＝，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝3，
∵CD＝6cm，
∴AB＝6×3＝18（cm），
故答案為：18．
【點睛】本題考查相似三角形的應用，求出AB的值是解答本題的關鍵．
4．（2023 濰坊）在《數書九章》（宋 秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內，點A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點F遠眺塔頂B，視線恰好經過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據以上信息，塔的高度為 　18.2　米．
【答案】18.2．
【點撥】過點F作FG⊥CD，垂足為G，延長FG交AB于點H，根據題意可得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，從而可得∠DGF＝∠BHF＝90°，DG＝5.6米，然后證明A字模型相似三角形△FDG∽△FBH，從而利用相似三角形的性質求出BH的長，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．
【解析】解：過點F作FG⊥CD，垂足為G，延長FG交AB于點H，
由題意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，
∴∠DGF＝∠BHF＝90°，
∵CD＝7米，
∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），
∵∠DFG＝∠BFH，
∴△FDG∽△FBH，
∴＝，
∴＝，
∴BH＝16.8，
∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），
∴塔的高度為18.2米，
故答案為：18.2．
【點睛】本題考查了相似三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
5．（2023 攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區銀川市賀蘭縣拜寺口內，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術珍品．某數學興趣小組決定采用我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標桿EF和GH，兩標桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標桿EF和GH在同一豎直平面內．從標桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點，A、F、D在一直線上；從標桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請你根據以上測量數據，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．
【答案】該古建筑AB的高度為36m．
【點撥】設BD＝x m，則BC＝（x+48）m，通過證明△ABD∽△EFD，得到，即，同理得到，則可建立方程，解方程即可得到答案．
【解析】解：設BD＝x m，則BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴△ABD∽△FED，
∴，即，
同理可證△ABC∽△HGC，
∴，即，
∴，
解得x＝48，
經檢驗，x＝48是原方程的解，
∴＝，
∴AB＝36m，
∴該古建筑AB的高度為36m．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用，利用相似三角形的性質建立方程是解題的關鍵．
6．（2023 南京）如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺燈和一支鉛筆，點光源O與鉛筆AB所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，AB在地面上形成的影子為CD（不計折射），AB∥CD．
（1）在桌面上沿著AB方向平移鉛筆，試說明CD的長度不變．
（2）桌面上一點P恰在點O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度為60cm．在點O與AB所確定的平面內，將AB繞點A旋轉，使得CD的長度最大．
①畫出此時AB所在位置的示意圖；
②CD的長度的最大值為 　80　cm．
【答案】（1）見證明過程．
（2）①如圖：
②80cm．
【點撥】（1）設AB平移到EF，EF在地面上形成的影子為MN．利用平行相似即可；（2）①以A為圓心，AB長為半徑畫圓，當OQ與⊙A相切于H時，此時CD最大為CQ．②先證明△GHA～△GPO，再利用勾股定理求出AG＝30，由，即可求出CD的長度的最大值．
【解析】解：（1）設AB平移到EF，EF在地面上形成的影子為MN．
∵AB∥CD，
∴△OAB～△OCD，
△OEF～△OMN，
△OEB～△OMD，
∴，，，
∴，
∵EF＝AB，
∴MN＝CD，
∴沿著AB方向平移時，CD長度不變．
（2）①以A為圓心，AB長為半徑畫圓，
當OQ與⊙A相切于H時，此時CD最大為CQ．
此時AB所在位置為AH．
②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°，
∴△GHA～△GPO，
∴，
∴設GA＝x，則GO＝2x，
在Rt△OPG中，
OP2+PG2＝OG2，
∴362+（18+x）2＝（2x）2，
∴x2﹣12x﹣540＝0，
∴x1＝30，x2＝﹣18（舍去），
∴AG＝30，
由①，
∴，
∴CQ＝80，
即CD的長度的最大值為80cm．
【點睛】本題考查了相似三角形的應用，正確寫出比例式，并進行換算是解題關鍵．
類型四 圖形的位似
1．（2023 浙江）如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現以原點O為位似中心，在第一象限內作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標是（　　）
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
【答案】C
【點撥】根據位似變換的性質解答即可．
【解析】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，
∴△ABC與△A′B′C′位似比為1：2，
∵點C的坐標為（3，2），
∴點C′的坐標為（3×2，2×2），即（6，4），
故選：C．
【點睛】本題考查的是位似變換的性質、相似三角形的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．
2．（2023 煙臺）如圖，在直角坐標系中，每個網格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形PA1A2A3的頂點坐標分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點A100的坐標為（　　）
A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）
【答案】A
【點撥】根據位似變換的概念、點的坐標的變化情況找出點的橫縱坐標的變化規律，根據規律解答即可．
【解析】解：由題意可知：點A1（﹣2，1），點A4（﹣1，2），點A7（0，3），
∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1，
∴頂點A100的坐標為（33﹣2，33+1），即（31，34），
故選：A．
【點睛】本題考查的是位似變換、點的坐標的變化規律，根據點的坐標的變化情況正確找出規律是解題的關鍵．
3．（2023 遂寧）在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標系中，格點△ABC、△DEF成位似關系，則位似中心的坐標為（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）
【答案】A
【點撥】根據位似中心的定義作答．
【解析】解：如圖：
△ABC與△DEF的對應頂點的連線相交于點（﹣1，0），則位似中心的坐標為（﹣1，0）．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了位似變換，坐標與圖形性質，解題的關鍵是掌握“位似中心”的確定方法．
4．（2023 鄂州）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點O是位似中心，且＝3．若A（9，3），則A1點的坐標是 　（3，1）　．
【答案】（3，1）．
【點撥】根據位似變換的性質計算，得到答案．
【解析】解：∵△ABC與△A1B1C1位似，且原點O為位似中心，且＝3，點A（9，3），
∴×9＝3，×3＝1，
即A1點的坐標是（3，1），
故答案為：（3，1）．
【點睛】本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．
5．（2023 阜新）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3，則△ABC和△DEF的面積比是 　4：9　．
【答案】4：9
【點撥】先利用位似的性質得到△ABC∽△DEF，相似比為2：3，然后根據相似三角形的性質解決問題．
【解析】解：∵△ABC與△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，位似比為2：3，
∴△ABC∽△DEF，相似比為2：3，
∴△ABC與△DEF的面積之比為22：32＝4：9．
故答案為：4：9．
【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質、相似三角形的性質，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．
6．（2023 盤錦）如圖，△ABO的頂點坐標是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點O為位似中心，將△ABO縮小為原來的，得到△A′B′O，則點A′的坐標為 　（，2）或（﹣，﹣2）　．
【答案】（，2）或（﹣，﹣2）．
【點撥】根據位似變換的性質計算，得到答案．
【解析】解：∵以原點O為位似中心，把△ABC縮小為原來的，可以得到△A'B'O，點A的坐標為（2，6），
∴點A'的坐標是（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（，2）或（﹣，﹣2）．
故答案為：（，2）或（﹣，﹣2）．
【點睛】本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．
7．（2023 長春）如圖，△ABC和△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長之比為 　1：3　．
【答案】1：3．
【點撥】根據題意求出OA：OA′＝1：3，根據相似三角形的性質求出AC：A′C′，根據相似三角形的性質計算即可．
【解析】解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以點O為位似中心的位似圖形，
∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，
∴△ABC與△A′B′C′的周長比為1：3，
故答案為：1：3．
【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質，掌握位似圖形的對應邊互相平行是解題的關鍵．
8．（2023 綏化）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△AB′C′的相似比為1：2，點A是位似中心，已知點A（2，0），點C（a，b），∠C＝90°．則點C′的坐標為 　（6﹣2a，﹣2b）　.（結果用含a，b的式子表示）
【答案】（6﹣2a，﹣2b）．
【點撥】過C作CM⊥AB于M，過C′⊥AB′于N，則∠ANC′＝∠AMC＝90°，根據相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．
【解析】解：過C作CM⊥AB于M，過C′⊥AB′于N，
則∠ANC′＝∠AMC＝90°，
∵△ABC與△AB′C′的相似比為1：2，
∴，
∵∠NAC′＝∠CAM，
∴△ACM∽△AC′N，
∴，
∵點A（2，0），點C（a，b），
∴OA＝2，OM＝a，CM＝b，
∴AM＝a﹣2，
∴，
∴AN＝2a﹣4，C′N＝2b，
∴ON＝AN﹣OA＝2a﹣6，
∴點C′的坐標為（6﹣2a，﹣2b），
故答案為：（6﹣2a，﹣2b）．
【點睛】本題考查的是位似變換和坐標與圖形性質，掌握相似三角形的性質：相似三角形的對應邊的比相等是解題的關鍵．
9．（2022 河池）如圖、在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）畫出與△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）以原點O為位似中心，在第三象限內畫一個△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為2：1，并寫出點B2的坐標．
【答案】（1）見解析；
（2）B2（﹣4，﹣6）．
【點撥】（1）根據關于y軸對稱的點的坐標得到A1、B1、C1的坐標，然后描點即可；
（2）把A、B、C的坐標都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐標，然后描點即可．
【解析】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；
（2）如圖，△A2B2C2為所作，點B2的坐標為（﹣4，﹣6）；
【點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．也考查了軸對稱變換．
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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題21 相似和位似問題
考點掃描☆聚焦中考
相似和位似問題近幾年各地中考主要以填空題或選擇題形式考查，屬于中檔題，難度一般，少數以解答題的形式考查，此類題型屬于中高檔題，難度比較大；考查內容主要有：相似三角形的定義、性質與判定；平行線分線段成比例定理；相似多邊形的性質；位似的性質；考查熱點有：相似三角形的性質及判定；位似的性質；平行線分線段成比例定理、相似三角形與生活實際問題的應用。
考點剖析☆典型例題
例1（2023 北京）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，則的值為 　　．
例2 （2023 綿陽）黃金分割由于其美學性質，受到攝影愛好者和藝術家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點E，以E為圓心，線段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（　　）
A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a
例3 （2022 上海）如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點E，F在線段BC上，點Q在線段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ AB．
求證：（1）∠CAE＝∠BAF；
（2）CF FQ＝AF BQ．
例4 （2023 湖州）某數學興趣小組測量校園內一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架（EF）放在離樹（AB）適當距離的水平地面上的點F處，再把鏡子水平放在支架（EF）上的點E處，然后沿著直線BF后退至點D處，這時恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量BF，DF，EF，觀測者目高（CD）的長，利用測得的數據可以求出這棵樹的高度．已知CD⊥BD于點D，EF⊥BD于點F，AB⊥BD于點B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，則這棵樹的高度（AB的長）是 　　米．
例5（2023 朝陽）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，2），B（4，1），以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點A的對應點A′的坐標是（　　）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
考點過關☆專項突破
類型一 比例線段
1．（2023 金昌）若＝，則ab＝（　　）
A．6 B． C．1 D．
C于點E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 常州）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：
畫法 圖形
（1）以A為端點畫一條射線；（2）用圓規在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；（3）過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N．M、N就是線段AB的三等分點．
這一畫圖過程體現的數學依據是（　　）
A．兩直線平行，同位角相等 B．兩條平行線之間的距離處處相等
C．垂直于同一條直線的兩條直線平行 D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
4．（2022 巴中）如圖，在平面直角坐標系中，C為△AOB的OA邊上一點，AC：OC＝1：2，過C作CD∥OB交AB于點D，C、D兩點縱坐標分別為1、3，則B點的縱坐標為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2023 濟南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點E，連接DE．以下結論不正確的是（　　）
A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．
6．（2021 大慶）已知，則＝　　．
7．（2023 麗水）小慧同學在學習了九年級上冊“4.1 比例線段”3節課后，發現學習內容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當的數值，感受這種特殊化的學習過程．
8．（2023 達州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為
　 　cm．（結果保留根號）
類型二 相似三角形的性質與判定
1．（2023 重慶）若兩個相似三角形周長的比為1：4，則這兩個三角形對應邊的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
2．（2023 哈爾濱）如圖，AC，BD相交于點O，AB∥DC，M是AB的中點，MN∥AC，交BD于點N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，則MN的長為（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2023 東營）如圖，△ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長為（　　）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
4．（2023 雅安）如圖，在 ABCD中，F是AD上一點，CF交BD于點E，CF的延長線交BA的延長線于點G，EF＝1，EC＝3，則GF的長為（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2023 徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點．若點E在邊AC上，且，則AE的長為（　　）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
6．（2021 鎮江）如圖，點D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點，若＝，則＝　　．
7．（2023 樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點，連結AC、DE交于點F．若，則＝　　．
8．（2023 大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊AD上，現將矩形折疊，折痕為BN，點A對應的點記為點M，若點M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是 　 　．
9．（2023 呼和浩特）如圖，正方形ABCD的邊長為，點E是CD的中點，BE與AC交于點M，F是AD上一點，連接BF分別交AC，AE于點G，H，且BF⊥AE，連接MH，則AH＝　　，MH＝　　．
10．（2022 杭州）如圖，在△ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，＝．
（1）若AB＝8，求線段AD的長．
（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．
11．（2023 上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求證：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF CE．
12．（2023 眉山）如圖， ABCD中，點E是AD的中點，連結CE并延長交BA的延長線于點F．
（1）求證：AF＝AB；
（2）點G是線段AF上一點，滿足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于點H，若AG＝2，FG＝6，求GH的長．
13．（2023 蘇州）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．
（1）求證：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的長．
類型三 相似三角形的應用
1．（2023 南充）如圖，數學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（　　）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
2．（2023 南京）如圖，不等臂蹺蹺板AB的一端A碰到地面時，另一端B到地面的高度為60cm；當AB的一端B碰到地面時，另一端A到地面的高度為90cm，則蹺蹺板AB的支撐點O到地面的高度OH是（　　）
A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm
3．（2023 鎮江）如圖，用一個卡鉗（AD＝BC，＝＝）測量某個零件的內孔直徑AB，量得CD長度為6cm，則AB等于 　　cm．
4．（2023 濰坊）在《數書九章》（宋 秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內，點A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點F遠眺塔頂B，視線恰好經過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據以上信息，塔的高度為
　　米．
5．（2023 攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區銀川市賀蘭縣拜寺口內，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術珍品．某數學興趣小組決定采用我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標桿EF和GH，兩標桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標桿EF和GH在同一豎直平面內．從標桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點，A、F、D在一直線上；從標桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請你根據以上測量數據，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．
6．（2023 南京）如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺燈和一支鉛筆，點光源O與鉛筆AB所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，AB在地面上形成的影子為CD（不計折射），AB∥CD．
（1）在桌面上沿著AB方向平移鉛筆，試說明CD的長度不變．
（2）桌面上一點P恰在點O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度為60cm．在點O與AB所確定的平面內，將AB繞點A旋轉，使得CD的長度最大．
①畫出此時AB所在位置的示意圖；
②CD的長度的最大值為 　　cm．
類型四 圖形的位似
1．（2023 浙江）如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現以原點O為位似中心，在第一象限內作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標是（　　）
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
2．（2023 煙臺）如圖，在直角坐標系中，每個網格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形PA1A2A3的頂點坐標分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點A100的坐標為（　　）
A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）
3．（2023 遂寧）在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標系中，格點△ABC、△DEF成位似關系，則位似中心的坐標為（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）
4．（2023 鄂州）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點O是位似中心，且＝3．若A（9，3），則A1點的坐標是 　　．
5．（2023 阜新）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3，則△ABC和△DEF的面積比是 　　．
6．（2023 盤錦）如圖，△ABO的頂點坐標是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點O為位似中心，將△ABO縮小為原來的，得到△A′B′O，則點A′的坐標為 　　．
7．（2023 長春）如圖，△ABC和△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長之比為 　　．
8．（2023 綏化）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△AB′C′的相似比為1：2，點A是位似中心，已知點A（2，0），點C（a，b），∠C＝90°．則點C′的坐標為 　　.（結果用含a，b的式子表示）
9．（2022 河池）如圖、在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）畫出與△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）以原點O為位似中心，在第三象限內畫一個△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為2：1，并寫出點B2的坐標．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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