資源簡介

2023~2024學年高一下學期 數學必修第二冊導學案 編號：038
8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
班級 姓名
學習目標
1．通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的求法．
2．會求與棱柱、棱錐、棱臺有關的組合體的表面積與體積．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 一、棱柱、棱錐、棱臺的表面積圖形表面積多面體 INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMATINET 多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和，也就是 的面積
閱讀教材，完成右邊的內容 二、棱柱、棱錐、棱臺的體積幾何體體積說明棱柱V棱柱＝ S為棱柱的底面積，h為棱柱的高棱錐V棱錐＝ S為棱錐的底面積，h為棱錐的高棱臺V棱臺＝ S′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高
棱柱、棱錐、棱臺的表面積 例1、如圖是一個搭建好的帳篷，它的下部是一個正六棱柱，上部是一個正六棱錐，其中帳篷的高為PO，正六棱錐的高為PO1，且PO＝3PO1．當PO1＝2 m，PA1＝4 m時，求帳篷的表面積．變式1、(1)側面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時，該三棱錐的表面積是 (2)現有一個底面是菱形的直四棱柱，它的體對角線長為9和15，高是5，則該直四棱柱的側面積為________．
棱柱、棱錐、棱臺的體積 例2、如圖，正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為a．截面A1DB將正方體分成兩部分，其體積分別為V1，V2，且V2＞V1．(1)求V1，V2以及V1∶V2； (2)求點A到平面A1BD的距離d．變式2、(1)如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E為AA1的中點，F為CC1上一點，求三棱錐A1－D1EF的體積．(2)在三棱臺ABC A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1 ABC，三棱錐B A1B1C，三棱錐C A1B1C1的體積之比．
與正棱柱、正棱錐、正棱臺有關的體積和表面積問題 例3、正四棱臺兩底面邊長分別為20 cm和10 cm，側面面積為780 cm2．求其體積．變式3、一個正四棱錐的底面邊長為3 cm，側棱長為5 cm，則它的體積為________ cm3，表面積為________ cm2．
課后作業
一、基礎訓練題
1．若六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，側面為矩形，側棱長為4，則其側面積等于(　　)
A．12 B．48
C．64 D．72
2．如圖，已知ABCD－A1B1C1D1為正方體，則正四面體D－A1BC1的表面積與正方體的表面積之比是(　　)
A． B．
C． D．
3．我國古代《九章算術》里，記載了一個“商功”的例子：今有芻童，下廣二丈，袤三丈，上廣三丈，袤四丈，高三丈．問積幾何？其意思是：今有上下底面皆為長方形的草垛(如圖所示)，下底寬2丈，長3丈，上底寬3丈，長4丈，高3丈．問它的體積是多少？該書提供的算法是：上底長的2倍與下底長的和與上底寬相乘，同樣下底長的2倍與上底長的和與下底寬相乘，將兩次運算結果相加，再乘以高，最后除以6.則這個問題中的芻童的體積為(　　)
A．13.25立方丈 B．26.5立方丈
C．53立方丈 D．106立方丈
4．(多選題)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝4，
點M為棱AA1的中點，則下列說法正確的是(　　)
A．三棱錐A－MBC的體積為
B．四棱錐A1－BB1C1C的側面積為20
C．三棱錐A1－ABC與三棱錐M－ABC的體積之比為1∶2
D．四棱錐A1－BB1C1C與三棱錐A1－MBC的體積之比為4∶1
5．已知一個長方體的三個面的面積分別是，，，則這個長方體的體積為________．
6．如圖，已知正三棱錐S ABC的側面積是底面積的2倍，正三棱錐的
高SO＝3，則此正三棱錐的表面積________．
7．三棱錐P ABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐D ABE的體積為V1，
P ABC的體積為V2，則＝________.
8．已知一個正四棱臺的上、下底面的邊長分別為1和2，其側面積恰好等于兩底面面積之和，則該正四棱臺的高為________．
9．如圖1，一個正三棱柱容器，底面邊長為a，高為2a，內裝水若干，將容器放倒，把一個側面作為底面，如圖2，這時水面恰好為中截面，則圖1中容器內水面的高度是________．
10．現需要設計一個倉庫，它由上、下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部分的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積是多少？
11．已知正六棱錐被過高PO的中點O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺OO′和較小的棱錐PO′.
(1)求大棱錐、小棱錐、棱臺的側面積之比；
(2)若大棱錐PO的側棱長為12 cm，小棱錐的底面邊長為4 cm，求截得的棱臺的側面積和表面積．
二、綜合訓練題
12．魯班鎖起源于中國古代建筑的榫卯結構．魯班鎖類玩具比較多，形狀和內部的構造各不相同，一般都是易拆難裝．圖1是一個魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖玩具的表面積為(　　)
圖1　　 　　　　　　圖2
A．8(6＋6＋) B．6(8＋8＋)
C．8(6＋6＋) D．6(8＋8＋)
13．(多選題)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別為棱AA1，CC1的中點，以下結論正確的是(　　)
A．V三棱錐B1－EFB＝V三棱錐B1－EFD1
B．四棱錐B1－EBFD1為正四棱錐
C．四棱錐B1－EBFD1的體積為
D．多面體BCDD1EF的體積為
三、能力提升題
14．若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的表面積為(　　)
A． B．2 C． D．
15．已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成，如圖所示，其中長方體的長、寬、高分別為4,3,3，三棱柱底面是直角邊分別為4,3的直角三角形，側棱長為3，則此幾何體的體積是________，表面積是________．
16．如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．
8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
參考答案
1、【答案】D　【解析】該六棱柱的6個側面是全等的矩形，則S側＝6×(3×4)＝72.
2、【答案】B
【解析】設正方體的棱長為1，則正方體的表面積為6，正四面體D－A1BC1的棱長為，
表面積為4××sin 60°×＝2，∴正四面體D－A1BC1的表面積與正方體的表面積之比是.
3、【答案】B　
【解析】由題意知，芻童的體積為[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)．
4、【答案】AD
【解析】依題意，△ABC的底邊BC上的高為＝2，面積S＝×2×2＝2，
故V三棱錐A－MBC＝V三棱錐M－ABC＝S·MA＝×2×2＝，故A正確；
四棱錐A1－BB1C1C的側面積為S側＝S△A1B1C1＋S△A1BC＋S△A1B1B＋S△A1C1C
＝2＋×2×＋3×4＝2＋2＋12，故B錯誤；
由三棱錐A1－ABC與三棱錐M－ABC同底，得其體積之比為＝2，故C錯誤；
因為V四棱錐A1－BB1C1C＝V三棱柱ABC－A1B1C1－V三棱錐A1－ABC
＝S·AA1－S·AA1＝S·AA1，V三棱錐A1－MBC＝V三棱錐A1－ABC－V三棱錐M－ABC
＝S·AA1－S·AA1＝S·AA1，則＝S·AA1×＝4，故D正確．
5、【答案】　
【解析】設三條棱長分別為a，b，c，則三式相乘得(abc)2＝6，故長方體的體積V＝abc＝．
6、【答案】27　
【解析】如圖，設正三棱錐的底面邊長為a，斜高為h′，過點O作OE⊥AB，
與AB交于點E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h′．
∵S側＝2S底，∴·3a·h′＝a2×2，∴a＝h′．∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2．
∴32＋＝h′2．∴h′＝2，∴a＝h′＝6．
∴S底＝a2＝×62＝9，S側＝2S底＝18，∴S表＝S側＋S底＝18＋9＝27．
7、【答案】
【解析】如圖，設點C到平面PAB的距離為h，三角形PAB的面積為S，
則V2＝Sh，V1＝VE ADB＝×S×h＝Sh，所以＝.
8、【答案】
【解析】設正四棱臺的高、斜高分別為h，h′.由題意得，4××(1＋2)×h′＝12＋22，解得h′＝.
根據棱臺的高、斜高、邊心距構成直角梯形，可得h2＋，解得h＝.
9、【答案】a
【解析】設題圖1中容器內液面的高度為h，液體的體積為V，則V＝S△ABCh.題圖2中液體組成了一個直四棱柱，其底面積為S△ABC，高為2a，則V＝S△ABC·2a，∴h＝＝a.
10、【解】由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m，因為A1B1＝AB＝6 m，
所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝·A1B12·PO1＝×62×2＝24(m3)，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
11、【解】(1)由題意知S小棱錐側∶S大棱錐側＝1∶4，則S大棱錐側∶S小棱錐側∶S棱臺側＝4∶1∶3.
(2)∵小棱錐的底面邊長為4 cm，∴大棱錐的底面邊長為8 cm，又大棱錐的側棱長為12 cm，
∴棱臺的側棱長為6 cm.
所以棱臺的一個側面的高h′＝＝4(cm)，∴S棱臺側＝6××4＝144(cm2)，
∴S棱臺表＝S棱臺側＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝144＋120(cm2)．
12、【答案】A
【解析】由題圖，可知該魯班鎖玩具可以看成是由一個棱長為2(1＋)的正方體截去了8個正三棱錐而得到的，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2，側棱長為，
則該魯班鎖玩具的表面積為6×[4×(1＋)2－4×××]＋8××2×＝8(6＋6＋)．
13、【答案】ACD
【解析】由已知得EB＝BF＝FD1＝D1E＝，D1F∥BE，則四邊形EBFD1是菱形．
A中兩個三棱錐等底同高，所以V三棱錐B1－EFB＝V三棱錐B1－EFD1，故A正確；
明顯底面EBFD1不是正方形，故B錯誤；
V四棱錐B1－EBFD1＝2V三棱錐B1－EFB＝2V三棱錐F－B1EB
＝2×S△B1EB×2＝2××2×2＝，故C正確；
連接DE，BD，則多面體BCDD1EF的體積等于正方體體積的一半減去三棱錐B－ADE的體積，
即V＝×2×2×2－××2×1×2＝，故D正確．故選ACD.
14、【答案】B　
【解析】所求凸多面體的表面積是兩個底面
邊長為1，高為的四棱錐的側面積之和，如圖，四棱錐的側棱長l＝，
所以，以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的表面積S＝8××1×1×sin 60°＝2．
15、【答案】90　138　
【解析】該幾何體的體積V＝4×6×3＋×4×3×3＝90，
表面積S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋×4×3×2＋×3＋3×4＝138．
16、【解】如圖，連接EB，EC，AC，V四棱錐E－ABCD＝×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF，
∴V三棱錐F－EBC＝V三棱錐C－EFB＝V三棱錐C－ABE＝V三棱錐E－ABC＝×V四棱錐E－ABCD＝4.
∴多面體的體積V＝V四棱錐E－ABCD＋V三棱錐F－EBC＝16＋4＝20.
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