資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
班級 姓名
學習目標
1．通過對圓柱、圓錐、圓臺的研究，掌握圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積的求法．
2．會求與圓柱、圓錐、圓臺有關的組合體的表面積與體積．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 一、圓柱、圓錐、圓臺的表面積幾何體圓柱(底面半徑為r，母線長為l)圓錐(底面半徑為r，母線長為l)圓臺(上、下底面半徑分別為r′，r，母線長為l)側面展開圖底面面積S底＝ S底＝ S上底＝ S下底＝ 側面面積S側＝ S側＝ S側＝ 表面積S＝ S＝ S＝ 【即時訓練1】(1)已知圓柱 OO′的母線 l＝4 cm，表面積為 42π cm2，則圓柱 OO′的底面半徑 r＝______cm.(2)表面積為 3π的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓面，則該圓錐的底面直徑為________．(3)一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側面積是32π，則母線長為________．
閱讀教材，完成右邊的內容 二、圓柱、圓錐、圓臺的體積幾何體體積柱體V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)，V圓柱＝ (r為底面半徑，h為高)錐體V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)，V圓錐＝ (r為底面半徑，h為高)臺體V臺體＝(S′＋＋S)h(S′，S分別為上、下底面面積，h為高)，V圓臺＝ (r′，r分別是上、下底面半徑，h是高)．【即時訓練2】(1)已知圓錐的母線長是8，底面周長為6π，則它的體積是________．(2)圓臺的上、下底面面積分別是2,4，高為3，則圓臺的體積是________．
閱讀教材，完成右邊的內容 三、球的表面積和體積(1)球的表面積設球的半徑為R，則球的表面積S＝ ，即球的表面積等于它的大圓面積的 倍．(2)球的體積設球的半徑為R，則球的體積V＝ ．【即時訓練3】(1)已知球的表面積為64π，則它的體積是________．(2)已知球的體積為π，則它的表面積是________．
變式1、軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側面積是底面積的______倍．
圓柱、圓錐、圓臺的體積 例2、(1)過圓錐的高的中點且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是________．(2)圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的體積比是______．變式2、圓臺的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm，它的側面展開圖扇環的圓心角是180°(如圖)，那么圓臺的體積是 ．
組合體的表面積與體積 例3、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內過點C作l⊥CB，以l為軸旋轉一周，求旋轉體的表面積和體積．變式3、如圖，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2，下底BC＝10，底角∠ABC＝60°，現繞腰AB所在的直線旋轉一周，求所得的旋轉體的體積．
課后作業
一、基礎訓練題
1．若一圓錐的底面半徑為1，其側面積是底面積的3倍，則該圓錐的體積為(　　)
A．8π　　 B．4π　 　
C．4π　 　 D．π
2．一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側面積是32π，則母線長為(　　)
A．2 B．2
C．4 D．8
3．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為(　　)
A．7 B．6
C．5 D．3
4．已知某圓柱的底面周長為12，高為2，矩形ABCD是該圓柱的軸截面，則在此圓柱側面上，從A到C的路徑中，最短路徑的長度為(　　)
A．2 B．2
C．3 D．2
5．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是1∶3，這截面把圓錐母線分為兩段的比是(　　)
A．1∶3 B．1∶ (－1)
C．1∶9 D．∶2
6．表面積為3π的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________．
7．我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)
8．圓柱形容器內盛有高為8 cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________ cm．
9．圓臺的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm，它的側面展開圖扇環的圓心角是180°(如圖)，那么圓臺的體積是________．
10．若圓錐的表面積是15π，側面展開圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．
11．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5, CD＝2，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD邊所在的直線旋轉一周所成幾何體的表面積和體積．
二、綜合訓練題
12．(多選題)如圖，△ABC的三邊長分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5，過點C作CD⊥AB，垂足為D，下列說法正確的是(　　)
A．以BC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側面積為15π
B．以BC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為36π
C．以AC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側面積為25π
D．以AC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為16π
13．如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，這時圓柱、圓錐、球的體積之比為________.
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14．如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b．那么圓柱被截后剩下部分的體積是________．
三、能力提升題
15．圓柱內有一個內接長方體ABCD A1B1C1D1，長方體的體對角線長是10 cm，圓柱的側面展開圖為矩形，此矩形的面積是100π cm2，則圓柱的底面半徑為________cm，高為________cm．
16．如圖在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內接一個高為的圓柱，求圓柱的表面積．
8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
參考答案
1、【答案】D　
【解析】設圓錐的高為h，母線為l，則側面積為πrl，底面積為πr2，
由側面積是底面積的3倍，得，π×1×l＝3π×12，
解得l＝3，h＝＝2，故該圓錐的體積為×π×12×2＝π．
2、【答案】C　
【解析】圓臺的軸截面如圖，　
由題意知，l＝(r＋R)，S圓臺側＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4．
【答案】A　
【解析】設圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r．由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7．
4、【答案】A　
【解析】圓柱的側面展開圖如圖，圓柱的側面展開圖是矩形，且矩形的長為12，寬為2，則在此圓柱側面上從A到C的最短路徑為線段AC，AC＝＝2．故選A．
5、【答案】B　
【解析】由面積比為1∶3，知小圓錐母線與原圓錐母線長之比為1∶，
故截面把圓錐母線分為1∶(－1)兩部分．
6、【答案】2　
【解析】設圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，由題意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr．
解得r＝1，即直徑為2．
7、【答案】3　
【解析】圓臺的軸截面是下底長為12寸，上底長為28寸，高為18寸的等腰梯形，雨水線恰為中位線，故雨水線直徑是20寸，所以降水量為＝3(寸)．
8、【答案】4　
【解析】設球的半徑為r cm，則3×πr3＋πr2×8＝πr2×6r，解得r＝4．
9、【答案】 cm3　
【解析】180°＝×360°，∴l＝20，h＝10，V＝π(r＋r＋r1r2)·h＝ (cm3)．
10、【解】設圓錐的底面半徑為r，母線為l，則2πr＝πl，得l＝6r．
又S圓錐＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝，
圓錐的高h＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6×\r(\f(15,7))))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(15,7)))))＝5，
V＝πr2h＝π××5＝π．
11、【解】　
將四邊形ABCD繞AD邊所在的直線旋轉一周形成一個被挖去一個圓錐的圓臺，如圖．
由題意可得CD＝2，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5，AE＝4，BC＝5，
所以幾何體的表面積為
S＝π·EC·DC＋π(EC＋AB)·BC＋π·AB2＝4π＋35π＋25π＝60π＋4π，
幾何體的體積為V＝π·(CE2＋AB2＋CE·AB)·AE－π·CE2·DE＝52π－π＝.
12、【答案】AD
【解析】以BC所在直線為軸旋轉時，所得旋轉體為底面半徑為3，母線長為5，高為4的圓錐，
∴側面積為π×3×5＝15π，體積為×π×32×4＝12π，∴A正確、B錯誤；
以AC所在直線為軸旋轉時，所得旋轉體為底面半徑為4，母線長為5，高為3的圓錐，
側面積為π×4×5＝20π，體積為×π×42×3＝16π，∴C錯誤、D正確．
13、【答案】3∶1∶2
【解析】設球的半徑為R，則V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，V圓錐＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，
故V圓柱∶V圓錐∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2.
14、【答案】　
【解析】采取補體方法，相當于一個母線長為a＋b的圓柱截成了兩個體積相等的部分，
所以剩下部分的體積V＝．
15、【答案】5　10　
【解析】設圓柱底面半徑為r cm，高為h cm，如圖所示，則圓柱軸截面長方形的對角線長等于它的內接長方體的體對角線長，則：
所以
即圓柱的底面半徑為5 cm，高為10 cm．
16、【解】設圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，表面積為S．
則R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2．
如圖所示，易知△AEB∽△AOC，
所以＝，即＝，所以r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S側＝2πr·h＝2π．
所以S＝S底＋S側＝2π＋2π＝(2＋2)π．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
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