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函數應用問題中不容忽視的“四種錯”
（浙江省紹興縣魯迅中學柯橋校區 施建昌 312030）
函數的應用問題主要是指將實際問題轉化為函數問題，就是“數學建模”，它是解決數學應用題的重要方法.在建模時常會因出現“忽視從實際出發”、“理解不全面”、“與事實不符”和“時間間隔計算出錯”四種解題誤區，下面就函數應用問題中的這四個誤區進行舉行分析：
一、忽視從實際出發確定函數的定義域致錯
例1、某工廠擬建一座平面圖（如圖）為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過16米，如果池外壁建造單價為每米400元，中間兩條隔壁建造單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元（池壁的厚度忽略不計，且池無蓋）（1）、寫出總造價（元）與污水處理池長（米）的函數關系式，并指出其定義域.
（2）求污水處理池的長和寬各為多少時，污水處理池的總造價最低？并求出最低總造價.
錯解：（1）污水處理池的長為米，則寬為米，總造價
=
（2），當且僅當，即
最低造價為44800元.
錯因分析：上述解法中的思路是正確的，第（1）問列的式子也正確，但是定義域是不嚴格的，應由已知條件進一步縮小范圍：.第（2）問中應用不等式解最值時忽視等號成立的條件為，但在定義域內取不到18，所以應根據函數的單調性進行分析求解.
正解：（1），則定義域為
（2）長和寬分別為16米，米時，總造價最低且為45000元.
二、由于對實際問題理解不全面而致錯
例2、在一個交通擁擠及事故易發路段，為了確保交通安全，交通部門規定，在此路段內的車速（單位：）的平方和車身長（單位：）的乘積與車距成正比，且最小車距不得少于半個車身長.假定車身長為（單位：），且當車速為時，車距恰為車身長，問交通繁忙時應規定怎樣的車速，才能在此路段的車流量最大？
錯解：，將代入得，，又將代入得，由題意得，
將，
綜上所知：取最大值.
錯因分析：上述解法中的結果雖然正確，但解題過程中是錯誤的，即雖然車速要求不低于，所以在求解過程中應分此兩種情況分類求解，得到分段函數.
正解：依題意，得，
則，顯然，當時，是的增函數，時，，
當時，，當且僅當時，，綜上所述，當時車流量Q取到最大值.
三、結果與事實不符而致錯
例3、WAP手機上網每月使用量在500分鐘以下（包括500分鐘），按30元計費；超過500分鐘的部分按0.15/分鐘計費。假如上網時間過短（小于60分鐘的），使用量在1分鐘以下不計費，在1分鐘以上（包括1分鐘）按0.5元/分鐘計費。WAP手機上網不收通話費和漫游費。
（1）寫出上網時間x分鐘與所付費用y元之間的函數關系式；
（2）12月小王WAP上網使用量為20小時，要付多少錢？
（3）小王10月份付了90元的WAP上網費，那么他上網的時間是多少？
錯解：1）設上網時間為分鐘，由已知條件所付費用關于的函數關系式為
（2）當分鐘，，應付元，
（3）90元已超過30元，所以上網時間超過500分鐘，由解析式可得上網時間為600分鐘。
錯解分析：此題錯解主要是對“超過500分鐘的部分按0.15/分鐘計費”中的“超過部分”理解出錯，產生了與事實相違的結論，如第（2）小題上了1200分鐘的網，要180元，是30元包月用500分鐘的6倍，而時間上才2倍多，與事實不符；又如第（3）小題，用了90元，幾乎是30元的3倍，而可上網時間才多了100分鐘，與事實不符.
正解：（1）設上網時間為分鐘，由已知條件所付費用關于的函數關系式為
（2）當分鐘，，應付元，
（3）90元已超過30元，所以上網時間超過500分鐘，由解析式可得上網時間為900分鐘。
四、時間間隔計算出錯
例4、某工廠轉換機制，在兩年內生產值的月增長率都是，則這兩年內第二年某月的產值比第一年相應月產值的增長率是多少？
錯解：設第一年某月的產值為，則第二年相應月的產值是，依題意所求增長率是.
錯解分析：對于增長率問題，主要是應用公式，對于往往指基數所在時間后跨過時間的間隔數.
正解：不妨設第一年2月份的產值為，則3月份的產值為，4月份的產值為，依次類推，到第二年2月份是第一年2月份后的第12個月，即一個時間間隔是一個月，這里跨過了12個月，故第二年2月份產值是，又由增長率的概念知，這兩年內的第二年某月的產值比第一年相應月的增長率為：.
函數應用問題解題時要掌握好函數應用問題解題的一般步驟，注意避免進入以上兩個誤區.具體的解題步驟一般有“審題”、“建模”、“求模”、“還原”四步，審題：弄清題意，分清條件結論，理順數量關系；建模：將文字語言轉化成數學語言，用數學知識建立相應的數學模型；求模：求解數學模型，得到數學結論；還原：將用數學方法得到的結論還原為實際問題的意義.
變式練習題
1、已知A、B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時的速度從A到達B地，在B地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回A地，把汽車離開A地的距離表示為時間的函數，表達式為
解析：由A到B共用時，停留1小時距離不變，由B返回時距離逐漸減小，
2、某種產品每件80元可售出30件，如果每件定價120元，則每天可售出20件，如果售出件數是定價的一次函數，則這個函數解析式為
解析：設售出件數為件，定價為元，則有或，設一次函數為，則有，因此一次函數為.另因，則，又，因此可得，即有，.
3、某人騎車沿直線旅行，先前進了a千米，休息了一段時間，又原路返回b千米(0再前進c千米，則此人離起點的距離y與時間x的關系示意圖是( )．
解析：觀察排除法.因“前進了a千米后休息了一段時間”， 排除A；接著“又原路返回b千米(04、開始時水桶甲中有升水，水通過水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，分鐘后剩余的水符合指數衰減曲線（是正常數），假設經過分鐘時水桶甲和水桶乙的水量相等，那么經過多少分鐘時水桶甲的水剩余2升？
解析：由題意，當時，，即，故，
設經過分鐘時水桶甲的水剩余2升，則，，，
答：經過6分鐘時水桶甲的水剩余2升

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