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構造函數利用單調性解題
田發勝
由函數單調性的定義容易知道：
（1）若函數在區間I上單調遞增，且，則；
（2）若函數在區間I上單調遞減，且，則；
（3）若函數在區間I上單調，且，則；
根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧。許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效。下面舉例說明這一思想在解題中的若干應用。
一、求值
例1 設x，y為實數，且滿足，則_______。
解：由已知條件，可得：
故若設，則上述條件即為：。
又易知函數在R上是單調增函數，所以由上式有：，即：。
二、解方程
例2 解方程。
解：原方程變為：
。
設，則原方程即為：，又，從而原方程即為：。
又易知函數在R上單調遞增，所以有，解得原方程的解為：。
三、求最值
例3 已知點B（0，6），C（0，2），試在x軸正半軸上求一點A，使得∠BAC最大。
解：設A（a，0），則a>0，∠BAC=α，易知。
因為，所以。又因為a>0所以。
所以，當且僅當時有最大值為。
又函數在（0，）上是單調遞增的，所以α的最大值為。即∠BAC的最大值為，此時A（，0）。
四、比較大小
例4 已知a>1，且，試比較的大小。
解：由條件得：。
引入函數，則上式即為：
。
易知函數在（0，+∞）上是增函數，所以。
五、證明不等式
例5 設a∈R，求證：。
證明：當或a=1時，不等式顯然成立。
當a>1時，函數在R上是增函數，
所以，所以；
當時，函數在R上是減函數，
所以，又。
所以
故對一切a∈R，不等式成立。
六、求參數范圍
例6 已知關于n的不等式對一切大于1的自然數都成立，試求實數a的取值范圍。
解：設。
因為
所以是關于n的單調增函數且當時，，故而要使對一切，n∈N恒成立，則需且只需，即成立即可。
所以，解得：。
故所求a的取值范圍為
。
例7 設函數
（a∈R，n∈N，n≥2），若當時，有意義，求a的取值范圍。
解：要使原函數在上有意義，應有在時
，即成立。
所以， （*）
記，
因為每一個在上都是增函數，
所以在上是增函數，從而它在x=1時取得最大值
所以（*）式等價于
也就是a的取值范圍是。

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