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構(gòu)造向量巧解有關(guān)不等式問題
陳靜
新教材中新增了向量的內(nèi)容，其中兩個向量的數(shù)量積有一個性質(zhì)：（其中θ為向量a與b的夾角），則，又，則易得到以下推論：
（1）；
（2）；
（3）當(dāng)a與b同向時，；當(dāng)a與b反向時，；
（4）當(dāng)a與b共線時，。
下面例析以上推論在解不等式問題中的應(yīng)用。
一、證明不等式
例1 已知。
證明：設(shè)m=（1，1），，則
由性質(zhì)，得
例2 已知。
證明：設(shè)m=（1，1，1），n=（x，y，z），則
由性質(zhì)
例3 已知a，b，c，求證：。
證明：設(shè)，，
則
由性質(zhì)，得
例4 已知a,b為正數(shù)，求證：。
證明：設(shè)
由性質(zhì)，得
例5 設(shè)，求證：。
證明：設(shè)m=（a,b），n=（c,d），則
由性質(zhì)，得
二、比較大小
例6 已知m,n,a,b,c,d，那么p，q的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. p解：設(shè)，，則
由性質(zhì)得
即，故選（A）
三、求最值
例7 已知m,n,x,y，且，那么mx+ny的最大值為（ ）
A. B.
C. D.
解：設(shè)p=（m,n），q=（x,y），則
由數(shù)量積的坐標運算，得
而
從而有
當(dāng)p與q同向時，mx+ny取最大值，故選（A）。
例8 求函數(shù)的最大值。
解：設(shè)，則
由性質(zhì)，得
當(dāng)
四、求參數(shù)的取值范圍
例9 設(shè)x,y為正數(shù)，不等式恒成立，求a的取值范圍。
解：設(shè)，則
由性質(zhì)，得
又不等式恒成立
故有
黑龍江省大慶市66中學(xué)（163000）

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