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關于函數的對稱性和周期性
函數的對稱性、周期性是函數的兩個基本性質。在中學數學中，研究一個函數，首看定義域、值域，然后就要研究對稱性（中心對稱、軸對稱）、周期性，并且在高考中也經常考察函數的對稱性、周期性以及它們之間的聯系，2005年，廣東、福建兩省的高考題均出現大題和小題。下面我們就一些常見的性質進行研究。
一、函數的對稱性
1、函數滿足時，函數的圖象關于直線對稱。
證明：在函數上任取一點（x1，y1），則，點（x1，y1）關于直線的對稱點（，y1），當時，，故點（，y1）也在函數圖象上。由于點（x1，y1）是圖象上任意一點，因此，函數的圖象關于直線對稱。
（注：特別地，a=b=0時，該函數為偶函數。）
2、函數滿足時，函數的圖象關于點（，）對稱。
證明：在函數上任取一點（x1，y1），則，點（x1，y1）關于點 （，）的對稱點（，c－y1），當時， ，即點（，c－y1）在函數的圖象上。由于點（x1，y1）為函數圖象上的任意一點可知，函數的圖象關于點（，）對稱。
（注：當a=b=c=0時，函數為奇函數。）
3、函數的圖象與的圖象關于直線對稱。
證明：在函數上任取一點（x1，y1），則，點（x1，y1）關于直線對稱點（，y1）。由于，故點（，y1）在函數上。由點（x1，y1）是函數圖象上任一點，因此與關于直線對稱。
二、周期性
1、一般地，對于函數，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有，那么函數就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期。
2、對于非零常數A，若函數滿足，則函數必有一個周期為2A。
證明：
∴函數的一個周期為2A。
3、對于非零常數A，函數滿足，則函數的一個周期為2A。
證明：略。
4、對于非零常數A，函數滿足，則函數的一個周期為2A。
證明：略。
三、對稱性和周期性之間的聯系
1、函數有兩根對稱軸x=a，x=b時，那么該函數必是周期函數，且對稱軸之間距離的兩倍必是函數的一個周期。
已知：函數滿足，（a≠b），求證：函數是周期函數。
證明：∵得
得
∴
∴
∴函數是周期函數，且是一個周期。
2、函數滿足和（a≠b）時，函數是周期函數。
（函數圖象有兩個對稱中心（a，）、（b，）時，函數是周期函數，且對稱中心距離的兩倍，是函數的一個周期。）
證明：由

得
得
∴函數是以2b－2a為周期的函數。
3、函數有一個對稱中心（a，c）和一個對稱軸）（a≠b）時，該函數也是周期函數，且一個周期是。
證明：略。
四、知識運用
2005高考中，福建、廣東兩省的試卷都出現了對這方面的知識的考查，并且福建卷的12題是一個錯題。現一并錄陳如下，供大家參考。
1、（2005·福建理）是定義在R上的以3為周期的奇函數，且，則方程在區間（0，6）內解的個數的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：是R上的奇函數，則，由得，
∴
∴x=1，2，3，4，5時，
這是答案中的五個解。
但是
又 知
而 知 也成立，可知：在（0，6）內的解的個數的最小值為7。
2、（2005·廣東 19）設函數在（，）上滿足，，且在閉區間[0，7]上，只有。
⑴試判斷函數的奇偶性；
⑵試求方程在閉區間[－2005，2005]上的根的個數，并證明你的結論。
解：⑴由，得函數的對稱軸為，。由前面的知識可知函數的一個周期為T=10。
因為函數在[0，7]上只有
可知 ，
又
∴
而 且，則，
因此，函數既不是奇函數，也不是偶函數。
⑵由，可得
故函數在[0，10]和[－10，0]上均有兩個解，滿足；從而可知函數在[0，2005]上有402個解，在[－2005，0]上有400個解。所以，函數在[－2005，2005]上共有802個解。
通聯：江蘇省阜寧中學數學組 張敬祝
郵編：224400
電活：0515—7988769

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