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專題4 平面向量的數量積
【必備知識】
（1）平面向量數量積的定義
已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積（或內積），記作，即=，規定：零向量與任一向量的數量積為0
（2）平面向量數量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數量，當為銳角時，它是正數；當為鈍角時，它是負數；當為直角時，它是0．
②的幾何意義：數量積等于的長度與在方向上射影的乘積．
2．數量積的運算律
已知向量、、和實數，則：
①；
②；
③．
3．數量積的性質
設、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則
①．
②．
③當與同向時，；當與反向時，．
特別地，或．
④．⑤．
4．數量積的坐標運算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
模
數量積
夾角
的充要條件
的充要條件
與的關系 （當且僅當時等號成立）
【必備技能】
（1）在上的投影是一個數量，它可以為正，可以為負，也可以等于0．
（2）數量積的運算要注意時，，但時不能得到或，因為時，也有．
（3）根據平面向量數量積的性質：，，等，所以平面向量數量積可以用來解決有關長度、角度、垂直的問題．
（4）若、、是實數，則
（）；但對于向量，就沒有這樣的性質，即若向量、、滿足（），則不一定有，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量．
（5）數量積運算不適合結合律，即，這是由于表示一個與共線的向量，表示一個與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等
【考向總覽】
考向一：利用定義及坐標運算求平面向量數量積（★★★★）
考向二：計算投影向量（★★★★）
考向三：平面向量數量積的范圍與最值（★★★★）
【考向歸類】
考向一利用定義及坐標運算求平面向量數量積
（22-23高一下·天津濱海新·期中）
【典例1-1】已知，其中.滿足，則 .
【答案】22
【分析】由，求得，再利用平面向量的數量積運算求解.
【詳解】解：因為，且，
所以，
解得，
所以，
所以，
故答案為：22
（2024高一·江蘇·專題練習）
【典例1-2】（1）已知，與的夾角為60°，求．
（2）如圖，在 ABCD中，，，，求：
①；
②．
【答案】（1）192 ；（2）①9 ；②－6 ．
【分析】（1）根據數量積的運算律，結合數量積公式，即可求解；
（2）①先求出與的夾角，再由數量積公式，即可求解；②先求出與的夾角，再由數量積公式，即可求解.
【詳解】（1）
．
（2）①因為，且方向相同，所以與的夾角是0°，為相等向量．
所以．
②因為與的夾角為60°，所以與的夾角為120°．
所以．
【備考提醒】
1．求平面向量的數量積是較為常規的題型，最重要的方法是緊扣數量積的定義找到解題思路．
2．平面向量數量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數特征，因而平面向量數量積是中學數學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛．
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇泰州·期中）
1．如圖，在四邊形ABCD中，AD=3，BC=4，E，F分別是AB，CD的中點，P，Q分別是AC，BD的中點，則 ．

（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）
2．如圖，在中，已知是的中點，，設與相交于點P，若，則 ， ．
考向二：計算投影向量
（22-23高一下·遼寧沈陽·期中）
【典例2-1】已知，，且則在上的投影數量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由得，從而求得，再由投影數量的定義直接計算即可．
【詳解】，
，
，即，
，
在上的投影數量為．
故選：D．
（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·期中）
【典例2-2】在平面直角坐標系中，，，，則在上的投影向量的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據在上的投影向量為可求出結果.
【詳解】因為，，，
所以，，
所以在上的投影為，
所以在上的投影向量為.
故選：C
【備考提醒】
平面向量的投影問題，是近幾年的高考熱點問題，應熟練掌握其公式：向量在向量方向上的投影為．
【舉一反三】
（22-23高一下·四川涼山·期中）
3．已知是的外心，外接圓半徑為2，且滿足，若在上的投影向量為，則（ ）
A．4 B． C． D．2
（23-24高二上·甘肅白銀·期中）
4．設向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
考向三：平面向量數量積的范圍與最值
（21-22高一下·甘肅白銀·期中）
【典例3-1】如圖，點是半徑為的扇形圓弧上一點，，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量數量積定義可求得，以為坐標原點建立平面直角坐標系，設，，將表示為關于的三角函數的形式，結合三角恒等變換知識可求得最大值.
【詳解】，，
；
以為坐標原點，可建立如圖所示平面直角坐標系，
則，，設，，
由得：，，
，其中，，
，，當時，.
故選：B.
（23-24高三上·江蘇南通·期中）
【典例3-2】在四邊形中，，，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】設結合圖象，運用數量積運算將轉化為，再利用倍角公式，輔助角公式轉化為，根據正弦函數的性質求最大值即可.
【詳解】
設，則，，
因為，所以，
故，所以，
即的最大值為.
故選：C
【備考提醒】
遇到最值問題時，往往利用坐標來建立函數，轉化為函數的最值問題，遇到圓的時候最好使用三角換元．
【舉一反三】
（22-23高一下·山東日照·期中）
5．如圖等腰直角三角形OAB，OB＝1，以AB為直徑作一半圓，點P為半圓上任意一點，則的最大值是（ ）

A．1 B． C． D．
（23-24高一下·廣東惠州·階段練習）
6．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，．若P為線段AB上一動點，則的最小值為 ．

【必備知識】
已知非零向量，，為向量、的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
模
數量積
夾角
的充要條件
的充要條件
與的關系 （當且僅當時等號成立）
【必備技能】
1.求平面向量的模長方法
①
②若，則.
2. 求平面向量的夾角的方法：
①利用求解.
②利用求解.
3. 有關平平面向量的垂直的兩類題型：
（1）利用坐標運算證明或判斷兩個向量的垂直問題
第一步:計算出這兩個向量的坐標
第二步：根據數量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數量積為0即可；
（2）已知兩個向量的垂直關系，求解相關參數的值（根據兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數）
【考向總覽】
考向一：平面向量的模（★★★★）
考向二：平面向量的夾角（★★★★）
考向三：平面向量的垂直（★★★★）
【考向歸類】
考向一：平面向量的模
（21-22高一下·湖南·期中）
【典例1-1】已知向量，，，若，則 .
【答案】
【分析】利用向量垂直的坐標表示求出t，再利用模的坐標表示計算作答.
【詳解】向量，，而，則，解得，，
則有，
所以.
故答案為：
（23-24高一下·四川達州·期中）
【典例1-2】若是邊長為2的等邊三角形，所在平面有一點C滿足，且，則的最小值為 ．
【答案】3
【分析】由向量等式兩邊平方整理為，利用消元，將其整理成二次函數，求其最值即可.
【詳解】由是邊長為2的等邊三角形可得：，
因，兩邊取平方，（*），
由可得代入（*）得，
故當時，，即的最小值為3.
故答案為：3.
【備考提醒】
求平面向量的模長方法
①
②若，則.
【舉一反三】
（23-24高二上·湖南·期中）
7．已知向量，滿足，，且，則 .
（22-23高三上·河南駐馬店·期中）
8．已知，，若向量滿足，則的取值范圍 .
考向二：平面向量的夾角
（22-23高三上·山東青島·期中）
【典例2-1】已知非零單位向量，滿足，則與的夾角余弦值為 .
【答案】/
【分析】由已知兩等式平方后可解得得，進而可求解.
【詳解】，，
又，，，
，
設與的夾角為，則
.
故答案為：
（22-23高一下·福建龍巖·期中）
【典例2-2】如圖，在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，則的余弦值為 ．
【答案】/
【分析】
根據題意建立直角坐標系，從而得到各點坐標，進而利用向量夾角余弦的坐標表示即可得解.
【詳解】依題意，以為原點，所在直線為軸，過作的垂線為軸，如圖所示，
因為，，，
所以，則，
，
即為向量與的夾角，
，
，，
.
故答案為：.
【備考提醒】
求平面向量的夾角的方法：
①利用求解.
②利用求解.
【舉一反三】
（22-23高一下·甘肅定西·階段練習）
9．設向量，，向量與的夾角為銳角，則x的范圍為 .
（22-23高一下·江西九江·期中）
10．設為平面內兩個不共線的非零向量，且，若對于任意實數，都有，則向量與的夾角為 .
考向三：平面向量的垂直
（22-23高一下·陜西延安·期中）
【典例3-1】已知非零向量，滿足，且，則向量與的夾角為 .
【答案】/
【分析】由已知得，再利用數量積公式化簡即得解.
【詳解】因為，所以，
所以，所以.
因為.
故答案為：
（22-23高一下·安徽·期中）
【典例3-2】中，，點P為所在平面內一點且，則C= ，若，則的最大值為 .
【答案】
【分析】由得，從而得到，由可得，從而得到是等腰直接三角形，建立直角坐標系，令，設，由得到點的軌跡是以為直徑的圓，從而得到，由圓方程確定，從而求解.
【詳解】因為，所以，即，
所以，即，
又因為，所以，
由正弦定理可得，所以，
所以是等腰直角三角形，令，則，
如圖，以點為原點，以為軸，軸建立直角坐標系，設，
則，
，，，
因為，所以，即.
因為，則點的軌跡是以為直徑的圓，
所以點的軌跡方程為
所以，即，
所以當時，有最大值，最大值為.
故答案為：；
【備考提醒】
有關平平面向量的垂直的兩類題型：
（1）利用坐標運算證明或判斷兩個向量的垂直問題
第一步:計算出這兩個向量的坐標
第二步：根據數量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數量積為0即可；
（2）已知兩個向量的垂直關系，求解相關參數的值（根據兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數）
【舉一反三】
（22-23高一下·河南·期中）
11．已知向量，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·遼寧鐵嶺·期中）
12．已知非零向量滿足，則與的夾角為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．##1.75
【分析】可連接，根據題意即可得出四邊形為平行四邊形，從而可得出，然后進行數量積的運算即可．
【詳解】如圖，連接，

∵為的中點，為對角線的中點，
，，
∴四邊形為平行四邊形，
，，
，，
故答案為：
2． ## ##
【分析】由向量的線性運算可得，再由三點共線即可得出答案；用和表示和，根據平面向量的數量積運算律可求出結果.
【詳解】因為，
所以
因為三點共線，所以，解得：.
所以，
因為是的中點，所以，
所以.
故答案為：；.
3．A
【分析】根據題意，由條件可得，然后結合圖形，由平面向量數量積的幾何意義即可得到結果.
【詳解】∵，∴為中點，則為直徑，∴，
又∵在上的投影向量為，如圖：

過作，垂足為點，∴，
∴為中點，則，
∴.
故選：A
4．C
【分析】利用向量在向量上的投影向量得到，再利用基本不等式求解.
【詳解】解：向量在向量上的投影向量為，
則，當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為．
故選：C
5．D
【分析】建立直角坐標，應用圓上點的坐標及向量數量積的坐標運算計算即可.
【詳解】

如圖以 OA , OB 所在直線分別為軸，軸建系．則
以AB為直徑作一半圓，點P為半圓上任意一點，
半圓為,
設，則.
．
故選：D．
6．
【分析】以點為原點建立直角坐標系，設，再根據向量數量積的坐標公式結合二次函數的性質即可得解.
【詳解】如圖，以點為原點建立直角坐標系，
則，設，
故，
所以，
則當時，取得最小值.

故答案為：.
7．
【分析】根據數量積的運算性質求解，再由數量積求解模長即可.
【詳解】因為，所以，則
所以.
故答案為：.
8．
【分析】由題，模長都為3，且相互垂直，設 ，，，由模長關系可得坐標滿足的方程，將看作動點到原點的距離，數形結合，求出的取值范圍.
【詳解】，設，，，因為，
得，即點在以為圓心，3為半徑的的圓上，
，即動點到原點的距離，
圓心到原點距離為，故，.
故答案為：.
9．且
【分析】根據已知可得，且不共線，求解即可.
【詳解】向量，，由得，，所以.
由已知得，，所以，即，且不共線.
則，所以.
又不共線，則.所以x的取值范圍為且.
故答案為：且.
10．##
【分析】將題設不等式兩邊平方并展開整理得對任意實數恒成立，結合即可求向量的夾角.
【詳解】令，則，
所以，即，
所以對任意實數恒成立，
故成立，
所以，即，而，
所以.
故答案為：
11．D
【分析】求出的坐標，根據向量的垂直的坐標表示列式計算，可得答案.
【詳解】由題意得，，且，
所以，所以，
故選：D
12．
【分析】由已知可得：，并且，整理可得，進而可得，即可得到，即，再根據向量的夾角公式可求答案.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
兩式相減得，
所以，
將代入第一個式子可得：，
所以，即.
設向量與的夾角為，則，
因為，所以向量與的夾角大小為.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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