資源簡介

專題3 向量數量積的范圍問題
【典例1-1】（四川省巴中市2022-2023學年高一下學期期末）
1．折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨、韌紙或者綾絹做扇面的能折疊的扇子.某折扇如圖1所示，其平面圖為如圖2所示的扇形AOB，其半徑為3，，點E，F分別在，上，且，則的取值范圍是（ ）

A． B．
C． D．
【典例1-2】（2023春·江蘇鹽城·高一統考期中）
2．如圖所示，在邊長為3的等邊三角形ABC中，，且點P在以AD的中點O為圓心，OA為半徑的半圓上，若，則（ ）
A． B．
C．最大值為8 D．的最大值為
【題后反思】
關于向量問題，除利用基底法外，常常利用坐標法處理，即建立適當的直角坐標系，將向量用坐標的形式表示出來，用函數與方程的思想求解，，坐標法有時更能解決較為復雜的問題.
【舉一反三】
3．在矩形中，.若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．已知點是以為直徑的圓上任意一點，且，則的取值范圍是 ．
【必備知識】
【典例2-1】（2023春·江蘇南通·高二海門中學校考階段練習）
5．點P是正八邊形ABCDEFGH內一點(包括邊界)，且＝1，則的最大值為（ ）

A．1 B． C． D．
【典例2-2】（2023春·湖北武漢·高一湖北省武昌實驗中學校聯考期中）
6．在邊長為4的正方形中，動圓Q的半徑為1、圓心在線段（含端點）上運動，點P是圓Q上及其內部的動點，則的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【題后反思】
根據數量積的幾何意義，結合圖形特征，分析探求解題途徑.定義法是解決相關問題的最基本的方法，對向量來說，知道了“模”和“夾角”，內積就知道了.
【舉一反三】
（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）
7．在邊長為2的菱形中，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2023春·上海浦東新·高一華師大二附中校考期中）
8．北京冬奧會開幕式上的“雪花”元素驚艷了全世界（如圖②），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形ABCDEF（如圖①）．已知這個正六邊形的邊長為1，且P是其內部一點（包含邊界），則的最大值是 ．

【典例3-1】
9．在中，，，點為的中點，點為的中點，若設，則可用表示為 ；若，則的最大值為 ．
【典例3-2】（河北省石家莊市2022-2023學年高一下學期期中）
10．已知中，，，點P是外接圓圓周上的一個動點，則取值范圍是 ．
【題后反思】
當圖形中包含三角形時，可利用正弦定理、余弦定理，建立向量的夾角、向量的模之間的關系，確定數量積的范圍（最值）.
【舉一反三】
（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）
11．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1．從，，，四點中任取兩個點作為向量的始點和終點，則的最大值為 ．

（2023春·吉林·高一吉林一中校考階段練習）
12．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知角，若，且外接圓半徑為2，圓心為O，P為上的一動點，試求的最大值為 .
【典例4-1】（2023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯考期末）
13．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，M，N分別是AB，AD邊上的動點，下列命題中正確的有（ ）

A．若的周長為2，則∠MCN的正切值等于1
B．若的面積為，則∠MCN正切值的最小值為
C．若的周長為2，則的最小值為
D．若的面積為，則的最大值為
【典例4-2】（2023春·浙江溫州·高一統考期中）
14．平面向量，，滿足，，與夾角為，且，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小值為 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最大值為
【題后反思】
通過建立平面直角坐標系，將數量積用坐標表示出來，應用二次函數的性質或均值不等式，是解答數量積范圍（最值）問題的常用方法.
【舉一反三】
（2023春·江蘇南京·高一南京市江寧高級中學校聯考期中）
15．在平行四邊形ABCD中，，，則的最小值為（ ）
A．－10 B．－13
C． D．
（2023春·四川廣元·高一廣元中學校考期中）
16．在中，，，，AD是三角形的中線．E，F分別是AB，AC邊上的動點，，（x，），線段EF與AD相交于點G．已知的面積是的面積的2倍，則（ ）
A． B．x＋y的取值范圍為
C．若，則的取值范圍為 D．的取值范圍為
（2023春·江蘇宿遷·高一統考期中）
17．向量與向量夾角為鈍角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．且
C． D．且
（2023春·浙江舟山·高一舟山中學校考階段練習）
18．已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是　　
A． B． C． D．
19．已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
（2023春·山東濱州·高一山東省北鎮中學校聯考階段練習）
20．已知梯形，且為平面內一點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
21．如圖，在平面四邊形ABCD中，
若點E為邊CD上的動點，則的最小值為
A． B． C． D．
22．已知正三角形ABC的邊長為2，點D為邊BC的中點.若內一動點M滿足.則下列說法中正確的有（ ）
A．線段BM長度的最大為 B．的最大值為
C．面積的最小值為 D．的最小值為
（2023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯考期中）
23．已知是平面內一組基底，，，則與所成角的最大值為 ．
（2023春·四川廣元·高一廣元中學校考期中）
24．已知向量，，當取得最大值時， ．
（安徽省滁州市2022-2023學年高一下學期教學質量監測）
25．已知平面向量，滿足，，記向量與的夾角為θ.
（1）若，則 ；
（2）的取值范圍為 .
（2023春·江蘇蘇州·高一統考期中）
26．在鈍角三角形中，，，，.
(1)求的值；
(2)已知，，三點共線，若恒成立，求實數的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】利用向量的運算及數量積的定義求出數量積，結合余弦函數的值域即可求解范圍.
【詳解】設，則，因為，
所以，
又，所以，所以，
所以的取值范圍是.
故選：D
2．AD
【分析】對于A：利用向量的線性運算求解即可；對于B：利用展開計算；對于C：以點為原點，所在直線為軸，過點且垂直的直線為軸建立平面直角坐標系，設，利用向量的坐標運算求解；對于D：利用向量相等列式計算.
【詳解】對于A，因為，且點在以的中點為圓心，為半徑的半圓上，
所以，
則，故A正確；
對于B，，故B錯誤；
對于C，如圖，以點為原點，所在直線為軸，過點且垂直的直線為軸建立平面直角坐標系，
則，
因為點在以的中點為圓心，為半徑的單位圓上，且在軸的下半部分，
設，
則，
所以，
因為，所以，
所以當，即時，取得最大值，故C錯誤；
對于D，因為，所以，
即，
所以，所以，
因為，所以當時，取得最大值，故D正確.
故選：AD.
3．B
【分析】根據向量的坐標運算計算數量積，由三角函數的有界性即可求解.
【詳解】以為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則
,設 ，
故
所以 其中，
由于，所以，
故選：B

4．
【分析】依題意建立直角坐標系，利用向量數量積的坐標表示，結合三角函數的值域即可得解.
【詳解】依題意，以為軸，的中垂線為軸建立直角坐標系，如圖，

則，
因為點是以為直徑的圓上任意一點，故可設，
則，所以，
因為，所以，則，
故，即的取值范圍為.
故答案為：.
5．C
【分析】以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，先求出在方向上的投影的取值范圍，再由數量積的定義求出的最大值即可.
【詳解】連接AF，因為，故，
因為，故，
故，
以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，

則
在方向上的投影的取值范圍為，結合向量數量積的定義可知，
等于的模與在方向上的投影的乘積，
又，∴的最大值為，
故選：C ．
6．A
【分析】根據數量積的幾何意義，結合圖形關系即可求解最值.
【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，
由數量積的幾何意義可知：等于與在上的投影的乘積，
故當在上的投影最大時，數量積最大，此時點在以為圓心的圓的最上端處，此時投影為，故數量積為，
故當在上的投影最小時，數量積最小，此時點在以為圓心的圓的最下端處，此時投影為，故數量積為,
故，
故選：A

7．B
【分析】以為基底，求，利用函數性質求最小值.
【詳解】邊長為2的菱形中，，如圖所示，

則，，
，，
，
由于，所以當時，有最小值.
故選：B
8．##
【分析】由的幾何意義表示向量在方向上的投影乘以，在借助圖像可知當點在點處時，有最大值，由此即可求出答案.
【詳解】,
幾何意義表示向量在方向上的投影乘以，
由圖可知：當點在點處時，有最大值，
此時，，
所以的最大值是.
故答案為：
9． ．
【分析】由，得到，設，再由余弦定理和基本不等式求得，得到，即可求解.
【詳解】在中，，，點為的中點，點為的中點，
由，則，
設，
由余弦定理可得，
因為，可得，即，當且僅當時取等號，
又因為，則，
則
，
即的最大值為．
故答案為：；．
10．
【分析】根據正弦定理可知外接圓的半徑，設為的中點，根據向量的線性表示及數量積的運算可得，然后根據圓的性質可得，進而即得.
【詳解】設外接圓的半徑為，由正弦定理可得，
所以，如圖設外接圓的圓心為，為的中點，連接
則，
所以，
因為，
所以，
由圓的性質可知，即，
所以，即取值范圍是.
故答案為：.
11．4
【分析】要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，然后再根據圖形即可求出結果．
【詳解】由題意可知：則，
所以要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，

由圖形可知：當向量時，向量在向量上的投影最大，
,在中應用余弦定理，
即.
即的最大值為．
故答案為： ．
12．6
【分析】利用余弦定理可推出為等邊三角形，設D為AB的中點，求出的值，利用向量的運算結合數量積的運算律可求得，結合三角函數的范圍即可求得答案.
【詳解】由題意知，，故由，
得，
即為等邊三角形，設D為AB的中點，

故由題意得，
則，
所以
，
，
故的最大值為6，當，即P和C重合時，取得最大值，
故答案為：6
13．ABC
【分析】的周長為2時，求得∠MCN的正切值判斷選項A；求得的最小值判斷選項C；的面積為時，求得∠MCN的正切值的最小值判斷選項B；求得的最大值判斷選項D.
【詳解】當的周長為2時，
延長至P，使，連接.
則，則，，
又,
則，則,
又由，可得，
則，則

選項A判斷正確；
以A為原點，分別以所在直線為軸建立坐標系，
則，，
則,
當的周長為2時，，
由，
可得（當且僅當時等號成立）
則
則（當且僅當時等號成立），
則（當且僅當時等號成立），
故的周長為2，則的最小值為.選項C判斷正確；
當的面積為時，，即，
則（當且僅當時等號成立），
則（當且僅當時等號成立）.
故的面積為時，則的最大值為1. 選項D判斷錯誤；
由，可得
由，可得，，
則，
又，則
故的面積為時，∠MCN正切值的最小值為.選項B判斷正確.

故選：ABC
14．AD
【分析】設，，，利用和與夾角為，求出，利用，求出，然后結合向量的坐標運算和平面直角坐標系即可逐個選項判斷.
【詳解】由題知，設，，，
因為，與夾角為，
所以，即，
解得或，
即或，
因為，
所以或，
即或，
則或，即或，
所以，A正確；
以的起點為原點，的方向為軸正向建立平面直角坐標系，
當時，

則的終點落在上，的終點落在上，
作點關于的對稱點，
是指，即，
最小時，即的長度，
則，
當時，

則的終點落在上，的終點落在上，
作點關于的對稱點，
是指，即，
最小時，即的長度，
則，B錯；
如圖，當時，點為的終點，

則是指與的長，即，
根據圖像易知，沒有最大值，故C錯；
同理，當時，此時點為的終點，

則是指與的長，即，
根據圖像易知，沒有最大值，故C錯；
當時，，
，
當時，上式有最大值，且為；
當時，，
，
當時，上式有最大值，且為，D正確.
故選：AD
15．B
【分析】設，求得，令，化簡得到，結合二次函數的性質，即可求解.
【詳解】如圖所示，設，且，
在中，由余弦定理可得，
即，可得
可得，，
所以，
設，可得，
因為，當且僅當時，等號成立，
所以，
則，
當時，取得最小值，最小值為.
故選：B.
16．ACD
【分析】利用三角形面積公式即可得到，利用對勾函數的性質和基本不等式即可判斷B，利用共線向量定理的推論即可判斷C，利用轉化法計算即可判斷D.
【詳解】對A，，
，
又因為，即，
解得，故A正確，

對B，因為，，則，解得，則，
則，
當且僅當時等號成立，
根據對勾函數的圖象與性質可知當或1時，，則，故B錯誤，
對C，因為，，所以，
因為點三點共線，
則存在，使得
則有，則，，故C正確；
對D，，，
則
，
因為，則，則，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】關鍵點睛：本題較難的CD選項的判定，需要利用共線向量定理的推論，從而得到，然后解出，從而得到其范圍；對于D選項，則利用轉化法來計算，最后得到，再進行消元轉化為單變量表示即可得到其范圍.
17．B
【分析】根據向量數量積小于0，以及不共線可解.
【詳解】由題可知，即，
又向量不共線，所以，，
所以實數k的取值范圍為且.
故選：B
18．B
【分析】根據條件建立坐標系，求出點的坐標，利用坐標法結合向量數量積的公式進行計算即可．
【詳解】建立如圖所示的坐標系，以中點為坐標原點，
則，，，
設，則，，，
則
當，時，取得最小值，
故選：．
19．A
【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數量積定義可得，或然后結合三角函數的性質即可確定的最大值.
【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得

當點位于直線異側時或PB為直徑時，設，
則：
，則
當時，有最大值.

當點位于直線同側時，設，
則：
，
，則
當時，有最大值.
綜上可得，的最大值為.
故選：A.
【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數量積的問題轉化為三角函數求最值的問題，考查了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.
20．A
【分析】建立平面直角坐標系，求出和的坐標，再利用向量數量積的坐標運算即可求出結果.
【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，因為，則，，設，
所以，，故，
所以，
又為平面內一點，故當時，取到最小值.

故選：A.
21．A
【詳解】分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數量積分拆，設，數量積轉化為關于t的函數，用函數可求得最小值。
詳解：連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設
=
所以當時，上式取最小值 ，選A.
點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉化為函數求最值。
22．BD
【分析】以點為原點建立平面直角坐標系，求出動點的軌跡方程，再根據圓上得點到定點和定直線的距離的最值問題即可判斷AC；由即可判斷B；取最小值時，取最大值，也即與圓相切時，即可判斷D.
【詳解】如圖，以點為原點建立平面直角坐標系，
則，設，
由，得，
化簡得，
故動點的軌跡是一個以圓心為，半徑的圓不含原點，
A項：，所以，故A錯誤；
B項：
，故B正確；
C項：直線，即，
圓心到直線的距離為，
則點到直線的距離的最小值為，
所以面積的最小值為，故C錯誤；
D項：由題意得為銳角，
則取最小值時，取最大值，
也即與圓相切時，
此時，
故，故D正確.
故選：BD.

【點睛】關鍵點點睛：以點為原點建立平面直角坐標系，求出動點的軌跡方程，是解決本題的關鍵.
23．##
【分析】利用換元結合數量積的運算以及夾角公式運算求解.
【詳解】因為是平面內一組基底，即不共線，
設，顯然、不共線，且均不為零向量，
設的夾角為，則，，
又因為，則，
即，整理得，
所以，
又因為，則，
所以與所成角的最大值為.
故答案為：.
24．
【分析】先利用向量數量積的坐標表示與輔助角公式，求得取得最大值時的值，從而求得，再利用向量模的運算公式即可得解.
【詳解】因為，，
所以，
當且僅當，即時取最大值，
此時，
所以，
所以.
故答案為：.
25． ；
【分析】（1）先計算，，再根據向量夾角公式即可求解；
（2）令，則，根據向量夾角公式可得，令，可得，再根據函數的單調性即可求解.
【詳解】（1）因為，
，
所以，
又因為，所以；
（2）令，則，
因為，
，
所以，
令，則，
，
即，
所以，
因為在 上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，有最大值，為，
又當時，，
當時，，
所以，即的取值范圍為.
故答案為：；
26．(1)；
(2)的取值范圍為.
【分析】（1）由條件結合三角形面積公式求，利用表示，結合數量積的運算律求的值；
（2）設，利用表示，結合數量積運算律求，再求其最小值，由此可得的取值范圍.
【詳解】（1）因為，，，
又，
所以，
所以，所以或，
若，則，
則，
為三角形最大內角，不合題意；
所以，則，
，
則；
（2）由已知，設，
則，
所以，
，，
當時，取最小值，最小值為，
由恒成立可得，.
所以的取值范圍為，
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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