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函數(shù)解題中容易忽略的一些細(xì)節(jié)
張萬庫
函數(shù)是描述客觀世界中量與量之間對應(yīng)關(guān)系的一種重要數(shù)學(xué)模型，因而是中學(xué)數(shù)學(xué)主干知識(shí)之一。高一新生初學(xué)函數(shù)時(shí)，由于對函數(shù)的概念、性質(zhì)理解不透，解題中往往忽略了一些細(xì)節(jié)，造成錯(cuò)解。本文就此談幾點(diǎn)，供大家參考。
一. 忽視定義域的存在與作用
例1. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
錯(cuò)解：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。又是減函數(shù)，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是。
錯(cuò)因分析：上述錯(cuò)解忽略了函數(shù)的定義域是，而不是。
正解：函數(shù)的定義域是。在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。
又上是減函數(shù)，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是。
注：定義域是建立函數(shù)關(guān)系、研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，忽略函數(shù)定義域的存在與作用，就有可能出現(xiàn)錯(cuò)解。
二. 忽略對應(yīng)法則的意義與作用
例2. 要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象如何變換？
錯(cuò)解：把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移1個(gè)單位長度，就得到函數(shù)的圖象。
錯(cuò)因分析：函數(shù)圖象左右平移變換有一定規(guī)律。把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左或向右（）平移|h|個(gè)單位長度，就得到函數(shù)的圖象。中的f是對應(yīng)法則，是由x得到y(tǒng)的方法途徑，作用對象是x。中的f與的f意義一樣，只是作用對象是而不是x。上述錯(cuò)解中的與并不具有這里所說的關(guān)系，把看成，f的意義是“乘2，加1，取對數(shù)”，而并不是，需要進(jìn)行等價(jià)變換。
正解：由
把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，就得到函數(shù)
即的圖象。因此把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，就得到函數(shù)的圖象。
注：在研究函數(shù)圖象變換時(shí)，必須弄清具體函數(shù)中的對應(yīng)法則的意義及作用對象。
三. 忽略判別式的適用范圍
例3. 求函數(shù)的值域。
錯(cuò)解：由
得 ①
因，所以
即
解得
故函數(shù)的值域?yàn)?br/>錯(cuò)因分析：判別式的適用范圍是針對一元二次方程的。當(dāng)時(shí)，①式不是一元二次方程，則上述求解過程錯(cuò)誤。
正解：由，得 ②
當(dāng)即時(shí)
因所以
即
解得
當(dāng)時(shí)，②式為，顯然不成立，此時(shí)無實(shí)根，因此y=1不是此函數(shù)值。
綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?br/>四. 求反函數(shù)時(shí)，忽略原函數(shù)的值域
例4. 求函數(shù)的反函數(shù)。
錯(cuò)解：由，得，即，則
故函數(shù)的反函數(shù)是
錯(cuò)因分析：如果一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)，則原函數(shù)的定義域、值域與反函數(shù)的值域、定義域是互換的。因此反函數(shù)的定義域取決于原函數(shù)的值域而不是反函數(shù)本身。上述錯(cuò)解的原因就是在求反函數(shù)之前沒有事先確定原函數(shù)的值域。
正解：函數(shù)的定義域是，值域是。
由，得
則
故函數(shù)的反函數(shù)是
注：本題恰恰說明了求函數(shù)的值域不宜提出反函數(shù)法，而要慎重。
五. 忽略復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的充要條件
例5. 已知，求函數(shù)。
錯(cuò)解：令，則
可得
故
錯(cuò)因分析：兩個(gè)函數(shù)（定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽）與（定義域?yàn)镃，值域?yàn)镈），能夠復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的充要條件是，而不是B=C。因此，已知復(fù)合函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)求外層函數(shù)時(shí)，如果不是特別需要或人為構(gòu)造，外層函數(shù)的定義域應(yīng)該由其自身來確定。上述錯(cuò)解就是把的值作為的定義域而造成的。
正解：令，則
代入
得
故
注：例5中涉及三角函數(shù)知識(shí)，同學(xué)們還沒有接觸到，本文旨在介紹解題方法。數(shù)學(xué)是思維嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強(qiáng)的一門學(xué)科，數(shù)學(xué)問題的解決需要嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，稍不留心就會(huì)出錯(cuò)，正所謂“細(xì)節(jié)決定成敗”。

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