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淺談動(dòng)點(diǎn)的軌跡
關(guān)于點(diǎn)的軌跡求解問題,在高中數(shù)學(xué)中教學(xué)的內(nèi)容不多，但非常重要，是高考命題的熱點(diǎn)。這類問題也是高中數(shù)學(xué)里面的重點(diǎn)和難點(diǎn)，求解起來難度較大，涉及到的知識(shí)點(diǎn)也比較多。
重要性主要表現(xiàn)在，一方面綜合性較強(qiáng)，要求知識(shí)點(diǎn)較多。在掌握了幾何問題的基礎(chǔ)上才能正確進(jìn)行證明。另一方面軌跡的運(yùn)用較廣，有作圖中常用的交軌法，解析幾何中的曲線與方程等，都必須以平面幾何的知識(shí)為基礎(chǔ)。學(xué)生的軌跡這部分內(nèi)容掌握的好壞，直接關(guān)系到后續(xù)有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，是非常重要的。
一、一般地，軌跡命題包含三個(gè)重要部分：指定條件，軌跡形狀，軌跡位置或大小。
通常有三類命題形式：
第一類，告訴軌跡的形狀、大小、位置。
如：一動(dòng)點(diǎn)距一定線段的兩端等遠(yuǎn),它的軌跡是一直線,這直線是定線段的垂直平分線.
第二類，指定條件，告訴形狀（大小，位置怎樣，隱藏在題目里）。
如：一動(dòng)點(diǎn)距一定線段兩端等遠(yuǎn)，它的軌跡是一條直線。
第三類，指定條件，其余隱藏。
如：求一動(dòng)點(diǎn)距一線段的兩端等遠(yuǎn)的軌跡。
二、在探究軌跡問題時(shí)，我們經(jīng)常用一般的方法。
（1）、定形：掌握所求基本圖形的特征。動(dòng)點(diǎn)能否無窮遠(yuǎn)，有無端點(diǎn)否，
確定軌跡是否是直線，射線，圓，線段，孤立點(diǎn)等。
圖形
直線
射線
線段
圓
孤立點(diǎn)
端點(diǎn)
無
有
有
無
有
可否無窮遠(yuǎn)
能
能
否
否
否

（2）、定位：第一單一軌跡，如直線，線段，射線，圓等。第二合成軌跡，由兩個(gè)或兩個(gè)以上的單一軌跡合成的軌跡。
軌跡
直線
射線
線段
圓
圓弧
定位條件
1、兩點(diǎn)
2、一點(diǎn)及方向
1、端點(diǎn)及方向
2、端點(diǎn)及另一點(diǎn)
兩端點(diǎn)
圓心及半徑
直徑，弦
三點(diǎn)
兩端點(diǎn)及內(nèi)接角
兩端及另一點(diǎn)?

（3） 描跡法：按題目指定條件，作出相當(dāng)數(shù)量的軌跡點(diǎn)，然后就其布列形勢，用一條光滑的曲線連接而成。用此方法可以引導(dǎo)我們的思路，指出解決問題的途徑。
例1、與一個(gè)角兩邊相切的圓，其圓心的軌跡是這個(gè)角的平分線。
作圖：（1—1）
由此可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線（證明略） 。
例2，已知圓上的兩切線交成定角，則交點(diǎn)的軌跡是這已知圓的一個(gè)同心圓。
作圖1—2
由此可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是已知圓的一個(gè)同心圓(證明略)。
（4）代入法：在研究軌跡中，除了描跡法用得最直接，最多外，還有常用的解析幾何的方法，建立直角坐標(biāo)系，求軌跡方程。
求解時(shí)，一般問什么，設(shè)什么（即：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x,y），進(jìn)而研究x,y與已知條件的關(guān)系。
例3，（定值），AP上的中線OB為定長b,求P點(diǎn)的軌跡。
解：建立直角坐標(biāo)系（如圖1—3）

設(shè)：延長OB到C，使
連PC，AC，則OACP為平行四邊形，由平行四邊形對角線與四邊之間的關(guān)系得：
即：
化簡得：
所以：P點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2b為半徑的圓。
（5）幾何變換法：在軌跡探求過程中，根據(jù)題目的已知條件，如存在平行線，等邊三角形，線段的中垂線，線段中點(diǎn)等幾何條件時(shí)，有時(shí)使用變換法求軌跡，更易求解。
例4、過圓周上一定點(diǎn)，作動(dòng)弦，求其中點(diǎn)的軌跡。
分析：作圖1—4

在⊙O上，A為定點(diǎn)，∵⊙O為軸對稱圖形，其中為對稱軸之一，則各個(gè)弦中點(diǎn)P的軌跡是以為對稱軸的圖形，而A、O為軌跡上的點(diǎn)，A、O以外的軌跡上的中點(diǎn)，有，又A、P、O不共線，故軌跡AO為直徑的圓。（證明略）
因此，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)可以看成另一動(dòng)點(diǎn)，在某種變換下可以對應(yīng)，且另一個(gè)點(diǎn)的軌跡已知時(shí)，均可考慮變換法。
據(jù)于軌跡的抽象性，命題結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，求解的靈活性等，在解題或授課過程中，都須全面考慮，全面計(jì)劃，分散難點(diǎn)，各個(gè)擊破。注意具體到抽象的思維，以實(shí)例說明抽象概念，學(xué)生應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上記憶。

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