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解斜三角形及其應用錯解分析
山東省棗莊市第九中學 秦振
解斜三角形及某應用問題難度大、綜合性強、解題有一定的技巧，學生在解題時，經常因為審題不細、考慮不周、方法不當等原因而錯解題目。下面就學生在解題中出現的錯誤分類辨析如下，供大家參考。
一、已知條件弱用
例1. 在不等邊△ABC中，a為最大邊，如果，求A的取值范圍。
錯解：∵。則
，由于cosA在（0°，180°）上為減函數
且
又∵A為△ABC的內角，∴0°＜A＜90°。
辨析：錯因是審題不細，已知條件弱用。題設是為最大邊，而錯解中只把a看做是三角形的普通一條邊，造成解題錯誤。
正解：由上面的解法，可得A＜90°。
又∵a為最大邊，∴A＞60°。因此得A的取值范圍是（60°，90°）。
二、三角變化生疏
例2. 在△ABC中，若，試判斷△ABC的形狀。
錯解：由正弦定理，得
即
。
∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。
辨析：由，得2A＝2B。這是三角變換中常見的錯誤，原因是不熟悉三角函數的性質，三角變換生疏。
正解：同上得，∴2A＝
或。
∵或。
故△ABC為等腰三角形或直角三角形。
三、方法不當
例3. 在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值。
錯解：∵A＝60°，b＝1，，又，
∴，解得c＝4。
由余弦定理，得
又由正弦定理，得。
∴。
辨析：如此復雜的算式，計算困難。其原因是公式不熟、方法不當造成的。
正解：由已知可得。由正弦定理，得
。
。
四、忽視制約條件
例4. 在△ABC中，，C＝30°，求a＋b的最大值。
錯解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。
由正弦定理，得
，
又∵
∴。
故的最大值為。
辨析：錯因是未弄清A與150°－A之間的關系。這里A與150°－A是相互制約的，不是相互獨立的兩個量，sinA與sin(150°－A)不能同時取最大值1，因此所得的結果也是錯誤的。
正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。
由正弦定理，得
因此
∴a＋b的最大值為。
五、未挖掘隱含條件
例5. 在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求A。
錯解：由余弦定理，得
∴。
又由正弦定理，得
而。
辨析：由題意，∴。因此A＝150°是不可能的。錯因是沒有認真審題，未利用隱含條件。在解題時，要善于應用題中的條件，特別是隱含條件，全面細致地分析問題，避免錯誤發生。
正解：同上，
。
六、用錯邏輯連結詞
例6. 在△ABC中，，判斷△ABC的形狀。
錯解：在△ABC中，∵，由正弦定理
得
∴
∴A＝B且A＋B＝90°
故△ABC為等腰直角三角形。
辨析：對三角公式不熟，不理解邏輯連結詞“或”、“且”的意義，導致結論錯誤。
正解：在△ABC中，∵，由正弦定理，
得。
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，
∴A＝B或A＋B＝90°。
故△ABC為等腰三角形或直角三角形。
七、解題不完整
例7. 若a，b，c是三角形的三邊長，證明長為的三條線段能構成銳角三角形。
錯解：不妨設，只要考慮最大邊的對角θ為銳角即可。
。
由于a，b，c是三角形的三邊長，根據三角形三邊關系，有，即。
∴長為的三條線段能構成銳角三角形。
辨析：三條線段構成銳角三角形，要滿足兩個條件：①三條邊滿足三角形邊長關系；②最長線段的對角是銳角。顯然錯解只驗證了第二個條件，而缺少第一個條件。
正解：由錯解可得
又∵
即長為的三條線段能構成銳角三角形。

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