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均值不等式求最值策略
陳本平 陳同量 米新生
應(yīng)用平均值不等式求最值時，要把握平均值不等式成立的三個條件“一正二定三相等”。忽略了任何一個條件，就會導(dǎo)致解題失敗，若出現(xiàn)問題，又怎樣另辟蹊徑，尋求新方法來求最值呢？本文提出一些思路。
1. 調(diào)整符號，化負為正，使之適合“一正”條件，過第一關(guān)
例1. 已知，求函數(shù)的最值。
解：因為
所以
故
所以
當且僅當，即或時，等號成立，但不合條件，舍去，故當時，
2. 拆添配湊，變動為定，使之適合“二定”條件，過第二關(guān)
利用均值不等式求最值，變形構(gòu)造出“定值”是難點，其方法如下：
（1）變形法
例2. 求函數(shù)的最小值。
解：因為
所以
故
當且僅當，即時，
（2）配湊法
例3. 已知，求函數(shù)的最小值。
解：因為
則有
所以
當且僅當，即時，
3. 分離常數(shù)
（1）拆項法
例4. 當時，求的最小值。
解：因為
所以
所以
當且僅當，即取等號
另一解（舍去）
所以
（2）倒數(shù)法
例5. 若，求函數(shù)的最大值。
解：因為
所以
故
（3）平方法
例6. 已知，求函數(shù)的最大值。
解：
由于 所以
當且僅當時取等號，所以
4. 化歸轉(zhuǎn)化，尋求相等，過第三關(guān)
例7. 設(shè)，求的最小值。
解：因為
當且僅當，即時取等號
所以
點評：若與分別利用平均值不等式，再相乘求最值，問題出現(xiàn)在：前后取等條件不一致。
例8. 已知，且，求的最小值。
解：因為，且
所以
5. “三關(guān)”難過，前進受阻，應(yīng)另辟蹊徑
（1）利用代數(shù)、三角換元
例9. 若a，b為正實數(shù)，且，求的最小值。
解：因為，且
所以可設(shè)
則
當且僅當，即時取等號，這時，滿足，所以
（2）引入?yún)?shù)，巧渡難關(guān)
例10. 已知，且，求P＝x＋y的最小值。
解：設(shè)，由已知有
所以
欲取等號，當且僅當時，有
代入中，此時
所以
說明：請讀者用三角換元解此題，可令
（3）利用函數(shù)單調(diào)性
例11. 求的最小值。
解：設(shè)
則
易知
在上單調(diào)遞增，所以時，
此時
即時，

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