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利用［反客為主］巧解題
樊宏標(biāo)
數(shù)學(xué)中的“反客為主”也稱更換主元，是指在解題過程中將兩個(gè)字母的主次互換，使問題達(dá)到消元、降次、化歸的目的，將復(fù)雜問題簡單化。用這種方法時(shí)必須抓住問題的實(shí)質(zhì)，要求同學(xué)們掙脫知識(shí)框架的束縛，激活多元思維，搭建解題新平臺(tái)。現(xiàn)以下面幾道題為例進(jìn)行說明。
例1 若不等式對滿足的所有m都成立，求x的取值范圍。
解：對該不等式，一般是將x看成變量，這樣就會(huì)使問題變得煩瑣，但如果將m看成變量，原不等式可整理為關(guān)于m的一次不等式，問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)在區(qū)間上恒小于零。故問題等價(jià)于解不等式組，解之可得。
評注：當(dāng)方程或不等式中出現(xiàn)參數(shù)時(shí)，同學(xué)們往往以自變量為主元，有時(shí)易致使解題思路受阻，解題過程不暢。若將題中已知范圍的參數(shù)與自變量“主、客轉(zhuǎn)化”，問題就會(huì)變得簡單。
例2 設(shè)，且恒成立，求m的取值范圍。
解：將以為主元轉(zhuǎn)換成以m為主元，由條件知。
（1）當(dāng)時(shí)，。
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，只須2m大于的最大值。
而，由知
當(dāng)且僅當(dāng)，即θ=0時(shí)等號(hào)成立。所以，m>0。
例3 已知二次函數(shù)，若時(shí)，總有，試求a的取值范圍。
解：當(dāng)x=0時(shí)，恒成立。
當(dāng)x≠0時(shí)，，
即，即，即
令，因?yàn)椋裕鲜鰡栴}轉(zhuǎn)化為時(shí)恒有，即當(dāng)時(shí)，。
解之得，因a≠0，故。
評注：上述幾例都是利用了“反客為主”的思想，用未知變量將參數(shù)表示出來。還利用了恒成立；恒成立等結(jié)論，求得參數(shù)的取值范圍。

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