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利用集合的包含關系解題
張振華 潘美芬
集合的包含關系是一重要知識點和高考考查點，它在題目中或明或暗，特別是“暗”（綜合型題目）的。如果你對集合的包含關系沒有一個深刻的認識與理解，往往就很難捕捉到，也就很難解決問題。如何準確把握與深入挖掘這一關系，利用這一關系解題呢？
例1. （2005年全國卷III第22題）
已知函數
（I）求的單調區間和值域；
（II）設，函數，若對于任意，總存在，使得成立，求a的取值范圍。
解析：（I）利用導數法易得在上是減函數，在上是增函數，所以的值域為。
（II）因為
所以時，是減函數
所以
而
即當時，有
對于任意，總存在
使得
則
所以且
解得
點評：關鍵是把“若對于任意……成立”轉化為“”這種集合的包含關系。
例2. 已知不等式（1）和不等式（2），若滿足（2）的x值也滿足（1），求a的取值范圍。
解析：設不等式（1）、（2）的解集分別為A、B，則由題意知，且。這相當于方程的兩異根在區間（1，3）內，其充要條件為：
且
且
由此可得
變式：已知不等式和不等式的解集分別為A、B，若，求a的取值范圍。
解析：當時，有，得，此時，
當時，同例2，可得
綜上，所求a值范圍為
例3. 已知p：，若的必要而不充分條件，求實數m的取值范圍。
解析：
因為的必要而不充分條件
所以其等價命題為：p是q的充分而不必要條件
即若設，
則
所以，且
求得。
集合與三角、函數、不等式、解析幾何等知識結合，形成多知識點的綜合型問題，符合“考綱”在知識交匯點處命題的指導思想，其解題的關鍵在于靈活運用有關知識，特別是捕捉到集合的包含關系，居高臨下解決問題。

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