資源簡介

例說處理和（差）角范圍問題的幾點做法
倪步國
在三角解題中經常遇到確定和（差）角范圍的問題，學生常因確定和（差）角范圍的偏差導致解題失誤。本文舉例說明這類問題的處理方法。
一. 合理選用公式來確定
例1 已知α，β均為銳角， sinα=，求α+β的值。
解析：由已知條件有
cosα=，且0＜α+β＜π。
又cos(α+β)
=cosαcosβ-sinαsinβ
評注：若本題選擇正弦的和角公式，會因為一、二象限角的正弦值均為正，而得出兩個結果，導致解題失誤，這就需要注意公式的合理選用，若將本例改為：設α是銳角，，且，求α+β的值，則選用正弦和角公式合理。
另外，四個象限角的正切值正負相間，故本例亦可選用正切和角公式。
二. 借用其他三角函數來確定
合理選用公式，僅對兩角和（差）的范圍在相鄰兩個象限時起作用，而對于其它情形，可通過兩角和（差）的兩個三角公式，來確定兩角和（差）的范圍。
例2 已知，且α，β都是第二象限角，試確定2α+β，2α-β所在象限。
解析：由條件α，β都是第二象限角，則有
因為2α+β，2α－β都可能落在三個象限，單獨使用正（余）弦和差角公式，從值的符號都不能決定2α+β，2α－β的象限，但同時使用正弦、余弦的和差角公式，即可解決。
由cos(2α+β)
=cos2αcosβ－sin2αsinβ
知2α+β在一、四象限。
又sin(2α+β)
=sin2αcosβ+cos2αsinβ
知2α+β在一、二象限。
綜上知2α+β在第一象限。
同理可確定2α-β在第三象限。
三. 挖掘隱含條件來確定
例3 已知cos(α－β)= 都是銳角，求cos(α+β)的值。
解析：由已知條件有
因為0＜sin2α=，
所以0＜2α＜，
所以0＜α＜。 ①
又因為0＜β＜，
所以＜-β＜0 。 ②
由①、②得＜α-β＜。
又因為cos（α-β）=，
所以。
=。
從而cos(α+β)
=cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)
評析：本例通過0＜sin2α= ，發現了隱含條件：0＜α＜，將α-β的范圍縮小為，進而由cos(α-β)= ,將α-β的范圍確定為，從而避免了增解。
例4 已知，且tanα,tnaβ是一元二次方程的兩個根，求α+β的值。
解析：由已知條件得tanα+tanβ= ，
tanαtanβ=4＞0，
所以tnaα＜0，tanβ＜0。
又因為，
所以
所以-π＜α+β＜0。
又因為tan(α+β)=
=
所以α+β= 。
評析：本例根據韋達定理tanα+tanβ= ，tanαtanβ=4，挖掘出了隱含條件tanα＜0,tanβ＜0，知，，得出了α+β的確切范圍，從而順利求解。
總之，在處理兩角和（差）范圍問題時，要注意對題目條件加以研究，特別對隱含條件的挖掘，合理選用公式靈活處理。另外涉及多角和（差）的問題，亦可依照上面做法處理。

展開更多......

收起↑