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例談解題中“主元思想”的應用
湖北省鄂州高中 肖安平 湖北省黃岡中學 王憲生
在數學解題中常用到“主元思想”，所謂“主元思想”，即是指在含有兩個或兩個以上字母的問題的解決過程中，選擇其中一個字母作為研究的主要對象，視為“主元”，而將其余各字母視作參數或常量，來指導解題的一種思想方法．這一思想方法運用的核心是確定“主元”、選擇“主元”，在多變量問題的解題中一旦選對了“主元”，等價于戰斗中選擇準了主攻方向．
下面利用兩道例題的分析和解題研究來簡單介紹一下應該如何運用“主元思想”和如何選擇解題中的“主元”：
[例1]設不等式mx2—2x－m+1﹤0對滿足︱m︱≤2的一切m都成立，求x的取值范圍．
[分析1]可以將原不等式化為（x2－1）m﹤2x－1①，采用分離變量法，視為主元，通過討論x2－1的符號來求解．
[解答1]（1）當x2－1=O即x=±1時，①成立2x－1﹥O，∴x=1；
（2）當x2－1﹥0即x﹤－1或x﹥1時，由①式得m﹤，
由題意知﹥2，由此得不等式組，解得1﹤x﹤；
（3）當x2—1﹤0即－1﹤x﹤1時，由①得m﹥，
由題意知﹤－2，由此得不等式組，解得﹤x﹤1；
綜上可知：﹤x﹤．
[分析2]視m為主元，將原不等式看成關于m的不等式，進而將不等式的左邊看成關于m的函數，利用函數的性質解題．
[解答2]設f（m）=（x2－1）m+1－2x，
則︱m︱≤2時，恒有f（m）﹤0，
∴，解得．
[點評]上述兩種解法都運用了“主元思想”，但從解題過程來看，視m為主元比視x為主元要簡便得多．事實告訴我們，若能稍微改變一下思維習慣，在含有多個變量的問題中，合理運用“主元思想”，優先考慮如何選擇主元是十分必要的．
[例2]設a、b、c、d是實數，且滿足（a+b+c）2≥2（a2+b2+c2）+4d，求證：ab+bc+ac≥3d．
[分析]原不等式為關于a、b、c的對稱輪換式，若能證明ab≥d，則同理可證bc≥d，ac≥d，從而命題得證．三個變量在解題中具有等同地位，誰可以作為主元？由于題設中的不等式可變形為c2－2（a+b）c+a2+b2－2ab+4d≤0，從變形的結構形式看，此時可以視c為主元，構造函數f（x）=x2－2（a+b）x+a2+b2－2ab+4d，進而通過研究該函數的性質來幫助尋找與的不等關系．
[解答]如分析中所設，易知f（x）是開口向上的拋物線，
∵f（c）≤0，從而拋物線與x軸有交點，
∴△=4（a+b）2－4（a2+b2－2ab+4d）≥0，即 ab≥d，
同理，若分別視a、b為主元，則可證得bc≥d，ac≥d，
∴ab+bc+ac≥3d，證畢．
[點評]對于含有多個變量的等式或不等式，可以運用“主元思想”來指導對式子的整理和變形，從多個變元中選擇出一個作為主元，可以使我們的研究目標更加清晰，以便于在紛繁復雜的關系中理出頭緒．許多看似復雜、困難的問題，運用這樣的思想方法去求解，常常可以收到“避虛就實、變繁成簡，化難為易”的解題效果．
最后給出兩個問題留給讀者作為練習：
（1）已知a、b、c∈R，a+b+c=0，abc=1，求證a、b、c中至少有一個大于．
（2）已知k=a+x=b+y=c+z，a，b，c，x，y，z均為正數，求證：ay+bz+cxk2．
參考解答：
（1）由a+b+c=0得b=-a-c代入abc=1中，得-ac（a+c）=1ac2+a2c+1=0，將該式視C為未知數（主元）的方程，則△=a4-4a≥0，∵a0，∴a≥，若在該式視a為主元，則可得c≥，故原命題成立．
（2）由條件可知x=k－a，y=k－b，z=k－c，k0，a、b、c ∈（0，k），記f（a）=ay+bz+cx，則將x，y，z代入后得：f（a）=（k-b-c）a+bk+ck-bc（0ak），其中0b，ck，
當b+c≥k時，f（a）f（o）=bk+ck－bc=k2－（k－b）（k－c）k2
當b+ck時，f（a）f（k）=（k－b－c）k+bk+ck－bc=k2－bck2
綜上可知：f（a）k2，即ay+bz+cxk2．

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