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例析圓中的最值問題
介志剛
在解圓中的最值問題時，涉及到二元函數變量的取值范圍，直接涉及到不等式的有關性質，如果不注意合理使用不等式的性質，就會造成錯解，下面分析一例。
例：平面上有兩點A（-1，0），B（1，0），P為圓上的一點，試求的最大值與最小值，并求相應的P點坐標。
錯解1：把已知圓的一般方程化為標準方程得，設點P的坐標為，則
點P（）在已知圓上，
同理，
，即。
的最大值為116，最小值為4。
錯解2：設點P的坐標為（），則
當時等號成立，把代入圓的方程化簡，得，解得，取較小值得，這時。
的最小值為，而無最大值。
錯因分析1：在錯解1中，產生錯誤的原因，在于把看成相互獨立的，能同時達到最大值、最小值的量。實際上作為兩個“變量”是相互聯系的，它們同時受的約束，這個約束條件表示了與的最大取值區間。但是，當、成為沒有聯系的獨立變量后，就不一定同時滿足約束條件了，離開了約束條件的變量肯定會擴大解集。例如當取得最大值5時，只能等于4，不能取得最大值6；當取得最大值6時，只能等于3，不能取得最大值5。同樣也不能同時取得最小值。
在不等式的性質中，若“”，但反之，由“”，也就是說，的充分不必要條件。
錯解用的是放縮變形，不是同解變形，故改變了解集，比如：設，，可以得到：
然而，由卻得不出，只能得出。這是因為中的不是獨立的，而是相互制約的，從而擴大了所求S的取值范圍。
比如，，但是是不成立的，因為，這也是由于與都受條件約束，當與離開約束條件以后，的范圍明顯發生了改變，即擴大了取值范圍。
錯因分析2：在錯解2中，利用不等式求最值，不等式的一邊必須為定值，若乘積為定值m，則當時，平方和的最小值為；若平方和為定值n，則當時，乘積的最大值為。但因錯解2中乘積不是定值，因而不能應用這一方法求最值。
正解：把已知圓的一般方程化為標準方程得，設點P的坐標為，則
點P在已知圓上，
的最大值是100，這時點P的坐標是。S的最小值是20，這時點P的坐標是（）。
印象文華：
不等式的性質是解題的理論基礎，要深刻理解與正確應用不等式的性質，不僅要弄清每一個性質的條件和結論各是什么，還需要弄清條件和結論之間是“單向”的（如就是單向的，即條件是結論的充分不必要條件；還有，但等也是單向的）、不可逆的，還是“雙向”的（如的充分必要條件，即）。在解題時若被忽視，就容易產生錯誤。
“同向不等式兩邊分別相加所得不等式與原不等式同向”這一性質是單向的，用它來做變形，是非同解變形，這樣，每應用一次這一性質，就會使所求范圍擴大。
在使用重要不等式定理求最值時，必須具備三個條件：①在所求最值的代數式中，各變數均應是正數（如不是，則進行變號轉換）；②各變數的和或積必須為常數，以確保不等式一邊為定值（如不是，則進行拆項或分解，務必使不等式的一端的和或積為常數）；③各變數有相等的可能。若這三個條件缺少任何一個，使用此定理解題都是錯誤的，也就是平常所說的“一正、二定、三相等”。
圓上點的坐標（x,y）可以設成，，由此可將相關的二元問題化為一元問題，有利于問題的求解。

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