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排列組合的常見題型及其解法
李鋒
排列、組合的概念具有廣泛的實際意義，解決排列、組合問題，關鍵要搞清楚是否與元素的順序有關。復雜的排列、組合問題往往是對元素或位置進行限制，因此掌握一些基本的排列、組合問題的類型與解法對學好這部分知識很重要。
一. 特殊元素（位置）用優先法
把有限制條件的元素（位置）稱為特殊元素（位置），對于這類問題一般采取特殊元素（位置）優先安排的方法。
例1. 6人站成一橫排，其中甲不站左端也不站右端，有多少種不同站法？
分析：解有限制條件的元素（位置）這類問題常采取特殊元素（位置）優先安排的方法。
解法1：（元素分析法）因為甲不能站左右兩端，故第一步先讓甲排在左右兩端之間的任一位置上，有種站法；第二步再讓其余的5人站在其他5個位置上，有種站法，故站法共有：＝480（種）
解法2：（位置分析法）因為左右兩端不站甲，故第一步先從甲以外的5個人中任選兩人站在左右兩端，有種；第二步再讓剩余的4個人（含甲）站在中間4個位置，有種，故站法共有：（種）
二. 相鄰問題用捆綁法
對于要求某幾個元素必須排在一起的問題，可用“捆綁法”：即將這幾個元素看作一個整體，視為一個元素，與其他元素進行排列，然后相鄰元素內部再進行排列。
例2. 5個男生和3個女生排成一排，3個女生必須排在一起，有多少種不同排法？
解：把3個女生視為一個元素，與5個男生進行排列，共有種，然后女生內部再進行排列，有種，所以排法共有：（種）。
三. 相離問題用插空法
元素相離（即不相鄰）問題，可以先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素插入已排好的元素位置之間和兩端的空中。
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相鄰有多少種排法？
解：先將其余4人排成一排，有種，再往4人之間及兩端的5個空位中讓甲、乙、丙插入，有種，所以排法共有：（種）
四. 定序問題用除法
對于在排列中，當某些元素次序一定時，可用此法。解題方法是：先將n個元素進行全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到調序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，則有種排列方法。
例4. 由數字0、1、2、3、4、5組成沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字的六位數有多少個？
解：不考慮限制條件，組成的六位數有種，其中個位與十位上的數字一定，所以所求的六位數有：
（個）
五. 分排問題用直排法
對于把幾個元素分成若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求，可采取統一成一排的方法求解。
例5. 9個人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，則不同的坐法共有多少種？
解：9個人可以在三排中隨意就坐，無其他限制條件，所以三排可以看作一排來處理，不同的坐標共有種。
六. 復雜問題用排除法
對于某些比較復雜的或抽象的排列問題，可以采用轉化思想，從問題的反面去考慮，先求出無限制條件的方法種數，然后去掉不符合條件的方法種數。在應用此法時要注意做到不重不漏。
例6. 四面體的頂點和各棱中點共有10個點，取其中4個不共面的點，則不同的取法共有（ ）
A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種
解：從10個點中任取4個點有種取法，其中4點共面的情況有三類。第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面內，有種；第二類，取任一條棱上的3個點及該棱對棱的中點，這4點共面，有6種；第三類，由中位線構成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），它的4個點共面，有3種。以上三類情況不合要求應減掉，所以不同的取法共有：（種）。
七. 多元問題用分類法
按題目條件，把符合條件的排列、組合問題分成互不重復的若干類，分別計算，最后計算總數。
例7. 已知直線中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數。
解：設傾斜角為，由為銳角，得，即a，b異號。
（1）若c＝0，a，b各有3種取法，排除2個重復（，，），故有：3×3－2＝7（條）。
（2）若，a有3種取法，b有3種取法，而同時c還有4種取法，且其中任意兩條直線均不相同，故這樣的直線有：3×3×4＝36（條）。
從而符合要求的直線共有：7＋36＝43（條）
八. 排列、組合綜合問題用先選后排的策略
處理排列、組合綜合性問題一般是先選元素，后排列。
例8. 將4名教師分派到3所中學任教，每所中學至少1名教師，則不同的分派方案共有多少種？
解：可分兩步進行：第一步先將4名教師分為三組（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（種），第二步將這三組教師分派到3種中學任教有種方法。由分步計數原理得不同的分派方案共有：（種）。因此共有36種方案。
九. 隔板模型法
常用于解決整數分解型排列、組合的問題。
例9. 有10個三好學生名額，分配到6個班，每班至少1個名額，共有多少種不同的分配方案？
解：6個班，可用5個隔板，將10個名額并排成一排，名額之間有9個空，將5個隔板插入9個空，每一種插法，對應一種分配方案，故方案有：（種）

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