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平面向量的數(shù)量積典例精析
四川 譚森
例1 平面內(nèi)有向量，點X為直線OP上的一個動點。
（1）當?shù)淖鴺耍?br/>（2）當點X滿足（1）的條件和結(jié)論時，求cosAXB的值。
分析：因為點X在直線OP上，向量共線，可以得到關于坐標的一個關系式；再根據(jù)的最小值，求得；而cosAXB是向量夾角的余弦，利用數(shù)量積的知識容易解決。
解：（1）設
又
于是
由二次函數(shù)的知識，可知當y＝2時，有最小值-8。此時；
（2）當，即y＝2時，有，，。
說明：由于X是OP上的動點，則向量均是不確定的，它們的模和方向均是變化的，于是它們的數(shù)量積也處在不確定的狀態(tài)，這個數(shù)量積由的模及它們的夾角三個要素同時決定，由解題過程即可以看出它們都是變量y的函數(shù)。
另外，求出的坐標后，可直接用坐標公式求這兩個向量夾角的余弦值。
例2 設平面內(nèi)有兩個向量。
（1）證明；
（2）若兩個向量與的模相等，求。
分析：題目的條件及所求結(jié)論均非常明確，只要能得到，即可證明（1），再利用||與||相等，確定的值。
證明：（1）
（2）
由已知，可得到
注意到
于是（*）式化為。由于
說明：由解題過程可知a與b均是單位向量，由向量加法的平行四邊形法則，可知是以a，b為鄰邊的平行四邊形兩條對角線，從（1）中，垂直，可知這個平行四邊形是菱形，而由（2）知時，a與b的夾角為，因此。故，又，有（為a與b的夾角）。這時。此時由a及b為鄰邊組成的四邊形是正方形。

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