資源簡介

淺談“構(gòu)造法”解題
余國清
一. 構(gòu)造函數(shù)解題
例1. （1）在實數(shù)范圍內(nèi)解。
（2）解不等式
方程與不等式都是高次的，展開求解是不現(xiàn)實的。根據(jù)其自身特點，分別作適當?shù)淖冃危缓髽?gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的有關性質(zhì)求解。
（1）原方程變形為。
設函數(shù)，上述方程即為。
由于在上是單調(diào)增函數(shù)，故若，則必有成立。因此，即，故原方程有唯一解。
（2）設，，易證f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)。
，
為奇函數(shù)，從而f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，
原不等式可化為，即，即。
點評：函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)的兩個十分重要的性質(zhì)，要熟練掌握函數(shù)的圖象的幾何特征和代數(shù)含義，它們在研究方程、不等式中經(jīng)常用到。
二. 構(gòu)造一元二次方程解題
例2. 已知三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且，求A、B、C的大小。
由題知，聯(lián)想到，由A、B、C成等差數(shù)列，得，故。
是方程的兩根，得。當A點評：由根與系數(shù)的關系來構(gòu)造一元二次方程是最常見的思路，不可忽視。
三. 構(gòu)造數(shù)列解題
例3. 已知，求滿足的正整數(shù)n的取值范圍。
解析：
因此可知數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列。
。
，得。所求n的取值范圍是。
點評：有一些與數(shù)列有關的問題或看似無關的問題（變量為正整數(shù)的函數(shù)），通過巧妙地構(gòu)造出一個數(shù)列，其問題的本質(zhì)能更好地凸顯出來，并能用數(shù)列的有關知識較簡捷地解答。
四. 構(gòu)造幾何圖形解題
例4. 試證：對任何，都有
，當有僅當時等號成立。
觀察題目特點，從聯(lián)想到余弦定理，可以構(gòu)造三角形，同理，另兩個根式也可構(gòu)造三角形，利用幾何圖形進行證明。
根據(jù)題意構(gòu)造圖形（如上圖），其中AB=a，BC=c，BD=b，，由余弦定理得：
在中，，則。但當A、D、C三點共線時等號成立，此時，，即。
，即
點評：本題若不構(gòu)造一個三角形，而是運用三角知識解題，直接將兩邊平方，則無論是用綜合法還是分析法，不僅計算過程十分復雜，而且很不容易說明。
例5. 設關于的方程在區(qū)間（0，）內(nèi)有相異的兩個實根。求實數(shù)a的取值范圍。
設，則由題設知，直線與圓有兩個不同的交點A（）和B（）。
即原點O到直線的距離小于1，即。
解得：。
又因為、，且，直線不過點（1，0），即。
所以，即
點評：將代數(shù)問題構(gòu)造平面圖形后，用平面解析幾何的有關知識解題，實際上是數(shù)形結(jié)合思想的靈活應用。

展開更多......

收起↑