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巧構造 妙解題
高琴
1. 直接構造
例1. 求函數的值域。
分析：由于可以看作定點（2，3）與動點（-cosx，sinx）連線的斜率，故f(x)的值域即為斜率的最大、最小值。
解：令，則表示單位圓
表示連接定點P（2，3）與單位圓上任一點（，）所得直線的斜率。
顯然該直線與圓相切時，k取得最值，此時，圓心（0，0）到這條直線的距離為1，即
所以
故
例2. 已知三條不同的直線，，共點，求的值。
分析：由條件知為某一元方程的根，于是想法構造出這個一元方程，然后用韋達定理求值。
解：設（m，n）是三條直線的交點，則可構造方程，即
（*）
由條件知，均為關于的一元三次方程（*）的根。
由韋達定理知
2. 由條件入手構造
例3. 已知實數x，y，z滿足，求證：
分析：由已知得，以x，y為根構造一元二次方程，再由判別式非負證得結論。
解：構造一元二次方程
其中x，y為方程的兩實根
所以
即
故△＝0，即
3. 由結論入手構造
例4. 求證：若，，則
分析：待證式的左邊求和的分母是三次式，為降低分母次數，構造一個恒不等式。
所以左邊
故原式得證。
例5. 已知實數x，y滿足，求證：
分析：要證原式成立，即證
即證
由三角函數線知可構造下圖，此時不等式右邊為圖中三個矩形的面積之和，而單位圓的面積為，所以
故結論成立。

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